Bài giảng CAD/CAM - Chương 2: Cơ sở của mô hình hoá hình học - Nguyễn Thế Tranh

t cong cong dạng phương trình ẩn. 
 Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt 
cầu thoả bất đẳng thức: x 2 + y 2 + z 2 −1< 0 
và phương trình: x 2 + y 2 + z 2 −1 = 0 (2.13) 
 biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu. 
 Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới 
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0. 
 2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số. 
 Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ 
chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi 
phương trình: 
 r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] (2.14) 
 trong đó: u và v là tham số của mặt cong. 
 Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13) 
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu: 
 r(u,v) = (cosvcosu,cosvsinu,sinv) (2.15) 
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤ π / 2 
 Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới 
hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. 
 3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số. 
 Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte 
(u ≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số: 
 r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (2.16) 
 Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu 
diễn dưới dạng tường minh: 
 z = (1− x2 − y 2 )1/ 2 với (x2 + y 2 ) ≤1 (2.17) 
 đường sinh phương v 
 điểm gốc 
 v ·
 Hình học mặt cong (u=0,v=0) 
 được minh hoạ trên hình 
 2.3. Ta thường gọi phần ·
 mặt cong trong miền tham u 
 số giớ i hạn là mặt lưới. Các đường 
 mặt lưới liên kết theo điều đường sinh biên 
 kiện kết nối liên tục tạo phương u 
 thành mặt cong phức hợp. 
 (u=1,v=1)· 
 mặt lưới 
 Hình 2.3 : Hình học mặt cong 
 2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. 
 Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v) 
(Hình 2.4): 
 q(t) = [u(t),v(t)]T (2.18) 
 Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong 
r(u,v), sao cho: 
 r(t) = r(u(t), v(t)) 
 = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19) 
 v 
 r
 rv &
 Trường hợp đặc 
 ru 
 biệt của (2.19) là đường q(t) u 
 cong đẳng tham số: v r(t) 
 * r(u,v) 
 v = v ,u(t) = t
 u 
 u = u* ,v(t) = t
 Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong 
 và mặt phẳng tiếp tuyến 
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Vectơ tiếp tuyến. 
 Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau: 
 2
 ru = ∂r / ∂u ; rv = ∂r / ∂v ; ruv = ∂ r / ∂u∂v (2.20) 
 Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có: 
 dr ∂r du ∂r dv
 r& = = + = ruu& + rvv& (2.21) 
 dt ∂u dt ∂v dt
trong đó: r& là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp tuyến của 
 * *
đường cong đẳng tham số u = u , v = v . Ba vectơ tiếp tuyến r& , ru, rv xác định mặt 
phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4). 
 Vectơ pháp tuyến. 
 Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp 
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi: 
 n = (ru × rv )/ ru × rv (2.22) 
 Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong. 
 Ma trận cơ sở thứ nhất. 
 Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận: 
 r& = ruu& + rvv& = Λq& (2.23) 
 T
trong đó: Λ = ru ,rv ; q& = dq(t)/ dt = (du / dt,dv / dt) = [u& v&] . Giá trị vectơ tiếp tuyến 
được tính như sau: 
 2 T T T T
 r& = (r&) (r&) = q& Λ Λq& = q& Gq& (2.24) 
 T ⎡ru .ru ru .rv ⎤
trong đó: G = Λ Λ = ⎢ ⎥ : Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25) 
 ⎣ru .rv rv .rv ⎦
 Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau: 
 T 1/ 2
 T = r&/ r& = (Λq&) /(q& Gq&) (2.26) 
 Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích 
mặt cắt theo công thức đơn giản sau: 
 1/ 2
 S = r × r dudv = G dudv (2.27) 
 ∫∫ u v ∫∫
 2.2.3 Độ cong. 
 Ma trận cơ sở thứ hai. 
 Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai 
của r(t) theo t có giá trị như sau: 
 &r& = u&(u&ruu + v&ruv ) + u&&ru + v&(v&rvv + u&ruv ) + v&&rv (2.28) 
 Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với 
chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có: 
 2 2 T
 &r&.n = (u&) ruu .n + 2u&v&ruv .n + (v&) rvv .n = q& Dq& (2.29a) 
 ⎡u&⎤ ⎡ruu .n ruv .n⎤
trong đó: q& = ⎢ ⎥ ; và D = ⎢ ⎥ : ma trận cơ sở thứ hai. 
 ⎣v&⎦ ⎣ruv .n rvv .n⎦
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Độ cong pháp tuyến. 
 Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau: 
 dr& d(s&T)
 &r& = = = &s&T + s&T& = &s&T + s&(s&kN) 
 dt dt
 Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0: 
 2
 &r&.n = (s&) kN.n (2.29b) 
 Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công 
thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng s& = r& , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công 
thức sau: 
 T T
 &r&.n q& Dq& q& Dq&
 kn ≡ kN.n = 2 = 2 = T (2.30) 
 (s&) (s&) q& Gq&
 Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau: 
 Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua 
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của 
đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo 
phương vectơ q& . 
 Độ cong chính. 
 Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của q& : 
 T
 q& Dq&
 kn (q&) = T 
 q& Gq&
 Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức: 
 ∂kn
 = 2Dq& − 2knGq& = 0 (2.31) 
 ∂q&
 Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác 
định từ (2.30) như sau: 
 b + (b 2 − ac)1/ 2 b − (b 2 − ac)1/ 2
 k = ; k = (2.32) 
 n1 a n2 a
 ⎡g1 h ⎤ ⎡d1 e ⎤ g1d 2 + g 2 d1
trong đó: a = G = ⎢ ⎥ ; c = D = ⎢ ⎥ ; b = − eh 
 ⎣ h g 2 ⎦ ⎣ e d 2 ⎦ 2
 Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D. 
 Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu 
diễn độ trơn láng của mặt cong. 
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ. 
 Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa 
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay. 
 2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. 
 Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ 
(x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s 
(sx,sy) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác 
định như sau: 
 x’ = x + tx ; y’ = y + ty (2.33) 
 x’ = sx.x ; y’ = sy.y (2.34) 
 x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35) 
 y y y 
 P’(x’,y’) P’(x’,y’) P’(x’,y’) 
 P(x,y) ty r P(x,y) 
 r 
 P(x,y) θ 
 tx 
 x x α x 
 o o o 
 a) b) c) 
 Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D 
 Phép biến đổi đồng nhất. 
 Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống 
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. 
 Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không 
gian (n+1) chiều. 
 Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ 
độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ: 
 x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36) 
 trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng. 
 Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân 
với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với 
hệ số h. 
 Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35) 
dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi 
đồng nhất M: 
 P’h = PhM (2.37) 
 trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1) 
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ 
(S) và phép quay (R) có giá trị như sau: 
 ⎡1 0 0⎤ ⎡s x 0 0⎤ ⎡ cosθ sinθ 0⎤
 ⎢ ⎥
 T = 0 1 0 ; S = ⎢ 0 s 0⎥ ; R = ⎢− sinθ cosθ 0⎥ 
 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥
 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 ⎣tx t y 1⎦ ⎣ 0 0 1⎦ ⎣ 0 0 1⎦
 2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. 
 Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ 
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển 
t (tx, ty, tx); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau: 
 x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (2.38) 
 x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (2.39) 
 Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch 
chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ 
đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S): 
 P’h = PhT (2.40a) 
 P’h = PhS (2.40b) 
 trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1) 
 ⎡1 0 0 0⎤ ⎡sx 0 0 0⎤
 ⎢ ⎥
 0 1 0 0 ⎢ 0 s 0 0⎥
 T = ⎢ ⎥ ; S = ⎢ y ⎥ 
 ⎢0 0 1 0⎥ ⎢ 0 0 sz 0⎥
 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 ⎣⎢tx t y tz 1⎦⎥ ⎣ 0 0 0 1⎦
 Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép 
quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ 
độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1). 
 Bảng 2.1 
 Phép quay cơ bản X’ Y’ Z’ 
 quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ 
 quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ 
 quanh trục z ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z 
 Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có 
giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ): 
 ⎡1 0 0 0⎤ ⎡C 0 − S 0⎤ ⎡ C S00⎤
 ⎢0 C S 0⎥ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢−SC00⎥
R(x,θ ) = ⎢ ⎥ ; R(y,θ ) = ⎢ ⎥ ; Rz(,θ )= ⎢ ⎥ (2.41) 
 ⎢0 − S C 0⎥ ⎢S 0 C 0⎥ ⎢ 00C 0⎥
 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 ⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣ 0001⎦
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép 
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau: 
 (x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H (2.42) 
 ⎡r11 r12 r13 0⎤ ⎡ 0⎤
 ⎢ ⎥
 r r r 0 ⎢ R 0⎥
trong đó: H = ⎢ 21 22 23 ⎥ = ⎢ ⎥ 
 ⎢r31 r32 r33 0⎥ ⎢ 0⎥
 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 ⎣⎢t x t y t z 1⎦⎥ ⎣ t 1⎦
hay biểu diễn dưới dạng khác: 
 (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (2.43) 
 Ta thấy rằng ma trận xoay R (2.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa 
các vectơ hàng của R: 
 n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (2.44) 
thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả 
điều kiện: 
 n x o = a; o x a = n; a x n = o và n = o = a =1 (2.45) 
 2.3.3 Phép ánh xạ. 
 Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn 
không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. 
 Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ 
khác nhau. 
 Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được 
định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ 
độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình 
học so với cả 2 hệ toạ độ. 
 Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ 
độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. 
 Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi 
là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn 
giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. 
 Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm 
việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. 
 Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối 
tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng 
cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ. 
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai 
như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định 
toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện: 
 P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H 
trong đó: 
 P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z) 
 P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’) 
 H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) 
so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’). 
 2.3.4 Khung toạ độ. 
 Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học 
từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự 
thay đổi hệ toạ độ. 
 Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động 
(Hình 2.6). Cho ih, jh và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu: 
 ih = (1 0 0 1) ; jh = (0 1 0 1) ; kh = (0 0 1 1) (2.46) 
 Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất: 
 i’h = ih H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a) 
 j’h = jhH = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b) 
 k’h= khH = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c) 
 Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng 
nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42). 
Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự: 
 P’h = (0 0 0 1) H = (tx ty tz 1) = (t 1) (2.48) 
 Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ. 
 Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ 
toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố 
định). 
 a 
 r 
 o 
 Viết lại biểu thức (2.42) 
 P H 
 ta có: 
 r’ n 
 P’h = Ph H 
 hay: t 
 -1 z 
 Ph = P’h H 
 r’ = rH 
 k 
 y 
 i j 
 Hình 2.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức 
 hệ toạ độ chuyển động 
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
trong đó: 
 Ph = (r 1) = (x y z 1) 
 P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1) 
 r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc. 
 r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ 
toạ độ hệ thống). 
 n n n 0
 ⎡ x y z ⎤ ⎧ nx ox ax 0⎫
 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪
 ox oy oz 0 −1 ⎪ ny oy a y 0⎪
 H = ⎢ ⎥ ; H = ⎨ ⎬ 
 ⎢a a a 0⎥
 x y z ⎪ nz oy az 0⎪
 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪
 ⎣⎢t x t y t z 1⎦⎥ ⎩− n.t − o.t − a.t 1⎭
 n = (nx ny nz) ; o = (ox oy oz) ; a = (ax ay az) ; t = (tx ty tz) 
Tóm lại: 
 Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất 
là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương 
thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng 
đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho 
lập trình. 
 Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận: 
 Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm 
riêng ru, rv của mặt cong. Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối 
tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường 
cong đẳng tham số của mặt cong.