Application of the collocation method with B-spline to the grlw equation

 ⎨U(x, 0) = U(a, 0) = 0
 ⎪U(x, 0) = U(b, 0) = 0
 ⎩ i = 0,1,  , N.
    
 Eliminating δ, δ, δ and δ from the system (11), we get: 
 Aδ = r, 
where A is the penta-diagonal matrix given by 
 54 60 6 0 0 0 ... 0 
 101 135 105
 1 0 0 ... 0 
   4 2 4 
   1 26 66 26 1 0 ... 0 
 ... ... ... 
   A 
 ... ... ... 
 0 ... 0 1 26 66 26 1 
 105 135 101
 0 ... 0 0 1 
   4 2 4 
   0 ... 0 0 0 6 60 54 
      
and δ = (δ, δ,  , δ) , r = (f(x), f(x),  , f(x)) . 
3. STABILITY ANALYSIS 
 To apply  the  Von-Neumann  stability  for  the system (6),  we  must  first linearize this 
system. 
18   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
  
 We have:         δ = ξ exp(iγjh) , i = √−1,              (10) 
where γ is the mode number and h is the element size. 
 
 Being applicable to only linear schemes the nonlinear term U U is linearized by taking 
U as a  locally constant value ϑ. The linearized form of proposed scheme is given as 
         
 ρδ + ρδ + ρδ + ρδ + ρδ = ρδ + ρδ + ρδ + ρδ +
 
 ρδ  (11) 
where 
 ρ = 1 − a + a, ρ = 26 − 10a + 2a, ρ = 66 − 6a, 
 ρ = 26 + 10a + 2a, ρ = 1 + a + a, 
 5(α + εϑ)∆t 5a −20β
 a = , a =  , a = . 
  2  h  h
  
 Substitretion of δ = exp(iγjh)ξ , into Eq. (11) leads to  
 ξρ exp(−2ihγ) + ρ exp(−iγh) + ρ + ρ exp(iγh) + ρ exp(2iγh) =
 ρ exp(−2iγh) + ρ exp(−iγh) + ρ + ρ exp(iγh) + ρ exp(2iγh).  (12) 
 Simplifying Eq. (12), we get: 
 C − iD
  = , 
 C + iD
where 
 C = (ρ + ρ) cos(2ϕ) + (ρ + ρ)cosϕ + ρ, D
 = (ρ − ρ) sin(2ϕ) + (ρ − ρ)cosϕ 
 ϕ = γh. 
 
 So |ξ| =  = 1. 
 
 Therefore, the linearized numerical scheme for the mGRLW equation is unconditionally 
stable. 
4. NUMERICAL EXAMPLE 
 We now obtain the numerical solution of the GRLW equation for some problems. To 
show the efficiency of the present method for our problem in comparison with the exact 
solution, we report L∞ and L using formula 
 L∞ = max|U(x, t) − u(x, t)|, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   19 
 
 
 
 L = h |U(x, t) − u(x, t)|  , 
 
where U is numerical solution and u denotes exact solution. 
 Three invariants of motion which correspond to the conservation of mass, momentum, 
and energy are given as 
  
  
 I =  udx, I =  (u + βu)dx, I 
  
 
  2β(p + 1) 
 =  u − u dx. 
  ε
 The exact solution of the GRLW is: 
 E
 u(x, t) = , 
  
 cosh (θ(x − x − ct))
where 
   −  ( + 1)( + 2)( − )
  =  ,  =  . 
 2  2
   The initial condition of Equation (1) given by: 
 E
 f(x) = . 
  
 cosh (θ(x − x)
 To  get  the  variants  and  error  norms,  we  choose  four  sets  of  parameters  by  taking 
different  values  of  p,  h,  c  and  ∆t and  the  same  values  of = 1, ε = 13, β = 0.1, a = 0, 
b = 100, x = 40.  The variants and error norms are calculated from time t = 0 to t = 10. 
 In the first case, we take p = 2, h = 0.1, ∆t = 0.1, c = 1.01. The variants and error norms 
  
are listed in Table 1. In this table, we get, the changes of variants I × 10 , I × 10  and 
 
I × 10 from their initial values are less than 0.3, 0.5 and 0.2, respectively. The error nomrs 
  
L and L∞ are less than 2.344479 × 10  and 1.166120 × 10 , respectively.  
 In the second case, p = 2, h = 0.2, ∆t = 0.1, c = 1.01. The variants and error norms are 
  
listed  in  Table 2.  In  this  table,  we  get,  the  changes  of  variants  I × 10 , I × 10 and 
 
I × 10 from  their  initial  values  are  less  than  0.4,  0.5  and  0.2,  respectively.  The  error 
  
nomrs L and L∞  are less than 2.344994 × 10  and 1.164312 × 10 , respectively. 
20   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 Table 1. Variants and error norms of the GRLW equation with  = 2,  = 1, 
  = 13,  = 0.1,  = 0,  = 100,  = 40, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  = 1.01,  ∈ [0, 10] 
 t 0 2 4 6 8 10 
 I  0.678287  0.678293  0.678299  0.678305  0.678311  0.678170 
 I  0.029433  0.029433  0.029434  0.029435  0.029436  0.029437 
 I  0.000046  0.000046  0.000046  0.000046  0.000046  0.000046 
 
 L × 10     0  0.471693  0.942647  1.412144  1.879580  2.344479 
 
 L∞ × 10     0  0.222742  0.454863  0.691595  0.929801  1.166120 
 Table 2. Variants and error norms of the GRLW equation with  = 2,  = 1, 
  = 13,  = 0.1,  = 0,  = 100,  = 40, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  = 1.01,  ∈ [0, 10] 
 t 0 2 4 6 8 10 
 I  0.678287  0.678293  0.678299  0.678305  0.678311  0.678317 
 I  0.029433  0.029433  0.029434  0.029435  0.029359  0.029437 
 I  0.000046  0.000046  0.000046  0.000046  0.000046  0.000046 
 
 L × 10     0  0.471801  0.942860  1.412461  1.879997  2.344994 
 
 L∞ × 10     0  0.222831  0.453852  0.691887  0.930200  1.164312 
 Thirdly, if p = 3, h = 0.1, ∆t = 0.01and ∆t = 0.025,c = 1. 01, and c = 1.001, then the 
numerical results are reported in Table 3 and Table 4.  
   
 In Table 3, we see that, changes of the variants I × 10 , I × 10  and I × 10 from 
their initial value are less than 0.2, 0.5 and 0.1, respectively. The error nomrs L, L∞ are less 
than 0.951768 × 10 and 0.550608 × 10, respectively. The motion of a single solitary 
wave is displayed at times t = 0, 6, 10 in Figure 1. 
  
 In Table 4, changes of the variants I × 10, I × 10  and I × 10 from their initial 
value  are  less  than  0.2,  0.8  and  0.9,  respectively.  The  error  nomrs  L, L∞  are  less  than 
3.495260 × 10  and  1.687792 × 10,  respectively.  The  motion  of  a  single  solitary 
wave is displayed at times t = 0, 6, 10 in Figure 2. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   21 
 Table 3. Variants and error norms of the GRLW equation with  = 3,  = 1, 
  = 13,  = 0.1,  = 0,  = 100,  = 40, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  = 1.01,  ∈ [0, 10] 
 t 0 2 4 6 8 10 
 I  1.759327  1.759348  1.759369  1.759390  1.759411  1.759432 
 I  0.214500  0.214509  0.214519  0.214529  0.214538  0.214548 
 I  0.004856  0.004856  0.004855  0.004853  0.004850  0.004848 
 
 L × 10     0   0.195276  0.388971  0.579943  0.767609  0.951768 
 
 L∞ × 10     0  0.110925  0.226747  0.339792  0.447835  0.550608 
 Table 4. Variants and error norms of the GRLW equation with  = 3,  = 1, 
  = 13,  = 0.1,  = 0,  = 100,  = 40, ∆ = 0.025, ℎ = 0.1,  = 1.001,  ∈ [0, 10] 
 t 0 2 4 6 8 10 
 I  2.540639  2.545207  2.549572  2.553716  2.557596  2.561150 
 I  0.144896  0.144910  0.144924  0.144938  0.144952  0.144966 
 I  0.000753  0.000753  0.000753  0.000753  0.000753  0.000753 
 
 L × 10     0  0.413323  1.087032  1.854905  2.668369  3.495260 
 
 L∞ × 10     0  0.484072  0.880360  1.204781  1.470369  1.687792 
 Figure 1. Single solitary wave with p =3,  = 1,  = 13,  = 0.1,  = 0, 
  = 100,  = 40, ∆ = 0.01, h = 0.1, c = 1.01, t = 0, 6, 10 
 Finally, we choose the quantities p = 4, α = 1, ε = 122, β = 360, a = 0, b = 100, x =
40, ∆t = 0.01, h = 0.1, c= 0.1.001.  
22   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 The numerical computation are done up to  t = 20. The obtained results are given in 
  
Table  5  which  clearly  shows  that  the  changes  of  the  variants  I × 10 , I × 10   and 
 
I × 10  from their initial value are less than 0.6, 0.2 and 0.4, respectively. The error nomrs 
  
L, L∞ are less than 2.647811 × 10  and 0.685645 × 10 , respectively. Solitary wave 
profiles are depicted at time levels in Figure 3. 
 Figure 2. Single solitary wave with p =3, Figure 3. Single solitary wave with 
  = 1,  = 13,  = 0.1,  = 0, p = 4,  = 1,  = 122,  = 360, 
  = 100,  = 40, ∆ = 0.025, h = 0.1,  = 0,  = 100,  = 50, ∆ = 0.01, 
 c = 1.001, t = 0, 6, 10 h = 0.1, c = 1.001, t = 0, 10, 20. 
 Table 5. Variants and error norms of the GRLW equation with  = 4,  = 1, 
  = 122,  = 360,  = 0,  = 100,  = 50, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  = 1.001,  ∈ [0,20] 
 t 0 5 10 15 20 
 I  10.516333  10.516566  10.516546  10.516299  10.515780 
 I  1.104843  1.104892  1.104888  1.104837  1.104729 
 I  0.012194  0.012195  0.012195  0.012194  0.012191 
 
 L × 10        0  0.611587  1.243961  1.917332  2.647811 
 
 L∞ × 10        0  0.150865  0.315534  0.493848  0.685645 
 For the purpose of illustration of the presented method for solving the GRLW equation, 
we use parameters p =2, 3, 5, 7, 9 with α = 1, ε = 122, β = 360, a = 0, b = 100, x = 50. 
The parameters ∆t, h, c are given by different values. The error norms at t = 20 are listed in 
Table 6 and Table 7.  
 The plot of the estimated solution at time t = 10 in Figure 4.  
 From these tables, we see that, the error norms L, L∞ are quite small for present method. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   23 
 b) p = 3 
 a) p = 2 
 a) p = 5  b) p = 7  c) p = 9 
 Figure 4. Single solitary wave with 
  = 1,  = 122,  = 360,  = 0,  = 100,  = 50, t = 0, 10, 20. 
 Table 6. Error norms for single solitary wave for the wave of the GRLW equation with  = 1, 
  = 122,  = 360,  = 0,  = 100,  = 50, t = 20. 
 p = 2 p = 3 p = 5 
  1.0001 1.001 1.0001 1.001 1.0001 1.001 
 h ∆ 
 L  0.1  0.01  0.004482  0.088766  0.047287  0.818658  0.377707  5.529901 
 ×  0.2  0.01  0.002899  0.088349  0.037387  0.822547  0.340665  5.535953 
 10  0.1  0.05  0.002830  0.089675  0.038396  0.830843  0.356645  5.559609 
   0.2  0.05  0.003044  0.090680  0.040881  0.837106  0.367814  5.597731 
 L∞  0.1  0.01  0.000739  0.023181  0.010066  0.213927  0.092579  1.423652 
 ×  0.2  0.01  0.000739  0.023181  0.010066  0.213927  0.092578  1.423652 
 10  0.1  0.05  0.000738  0.023181  0.010065  0.213926  0.092579  1.423653 
   0.2  0.05  0.000738  0.023181  0.010065  0.213926  0.092578  1.423652 
 24   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 Table 7. Error norms for single solitary wave for the wave of the GRLW equation with 
  = 1,  = 122,  = 360,  = 0,  = 100,  = 50, t = 20 
 p = 7 p = 9 
    1.0001 1.001 1.0001 1.001 
   h ∆ 
 L  0.1  0.01  1.037021  13.513875  1.895832  23.097371 
 ×  0.2  0.01  0.969144  13.539687  1.824487  23.188402 
 10  0.1  0.05  1.010284  13.578334  1.883411  23.220042 
   0.2  0.05  1.033718  13.654954  1.925747  23.333349 
 L∞  0.1  0.01  0.261341  3.446876  0.488891  5.835234 
 ×  0.2  0.01  0.261340  3.446875  0.488890  5.835235 
 10  0.1  0.05  0.261341  3.446876  0.488891  5.835234 
   0.2  0.05  0.261340  3.446875  0.488890  5.835235 
 5. CONCLUSION 
 In this work, we have used the quintic B-spline collocation method for solution of the 
 GRLW equation. We tasted our scheme through single solitary wave and the obtained results 
 are tabulaces. These tables show that, the changes of variants are small. The error norms 
 L, L∞ for the GRLW equation are acceptable. So the present method is more capable for 
 solving these equations. 
 REFERENCES 
1. S.S.Askar  and  A.A.Karawia  (2015),  “On  solving  pentadiagonal  linear  systems  via 
 transformations”, Mathematical Problems in Engineering, Vol. 2015, pp.1-9.   
2. S.Battal Gazi Karakoça, Halil Zeybek (2016), “Solitary - wave solutions of the GRLW equation 
 using septic B - spline collocation method”,  Applied Mathematics and Computation, Vol. 289, 
 pp.159-171.  
3. H.Che, X.Pan, L.Zhang and  Y.Wang (2012), “Numerical analysis of a linear-implicit average 
 scheme  for  generalized  Benjamin-Bona-Mahony-Burgers  equation”,  J.Applied Mathematics, 
 Vol. 2012, pp.1-14. 
4. D.J.Evans  and  K.R.Raslan  (2005),  “Solitary  waves  for  the  generalized  equal  width  (GEW) 
 equation”, International J. of Computer Mathematics, Vol. 82(4), pp.445-455. 
5. C.M.García-Lospez, J.I.Ramos (2012), “Effects of convection on a modified GRLW equation”, 
 Applied Mathematics and Computation, Vol. 219, pp.4118-4132. 
6. C.M.García-Lospez,  J.I.Ramos  (2015),  “Solitari  waves  generated  by  bell-shaped  initial 
 conditions in the invicis and viscous GRLW equations”, Applied Mathematical Modelling, Vol. 
 39(21), pp.6645-6668. 
7. P.A.Hammad, M.S.EI–Azab (2015), “A 2N order compact finite difference method for solving 
 the  generalized  regularized  long  wave  (GRLW)  equation”,  Applied Mathematics and 
 Computation, Vol. 253, pp.248-261. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   25 
8. B.Hong,  D.Lu  (2008),  “New  exact  solutions  for  the  generalized  BBM  and  Burgers-BBM 
 equations”, World Journal of Modelling and Simulation, Vol. 4(4), pp.243-249. 
9. S.Islam,  F.Haq  and  I.A.Tirmizi  (2010),  “Collocation  method  using  quartic  B-spline  for 
 numerical solution of the modified equal width wave equation”, J.Appl.Math.Inform, Vol. 28(3-
 4), pp.611-624.  
10. A.G.Kaplan,  Y.Dereli  (2017),  “Numerical  solutions  of  the  GEW  equation  using  MLS 
 collocation  method”,  International Journal of Modern Physics C,  Vol.  28(1),  1750011,  
 pp.1-23.  
11. M.Mohammadi, R.Mokhtari (2011), “Solving the generalized regularized long wave equation 
 on the basis of a reproducing kernel space”, J. of Computation and Applied Mathematics, Vol. 
 235, pp.4003-4014. 
12. R.Mokhtari,  M.Mohammadi  (2010),  “Numerical  solution  of  GRLW  equation  using  sinc-
 collocation method”, Computer Physics Communications, Vol. 181, pp.1266-1274. 
13. E.Pindza and E.Maré (2014), “Solving the generalized regularized long wave equation using a 
 distributed  approximating  functional  method”,  International Journal of Computational 
 Mathematics, Vol. 2014, pp.1-12. 
14. P.M.Prenter (1975), “Splines and Variational Methods”, Wiley, New York.  
15. T.Roshan (2011), “A Petrov – Galerkin method for solving the generalized equal width (GEW) 
 equation”, J. Comput.Appl.Math., Vol. 235, pp.1641-1652. 
16. T.Roshan (2012), “A Petrov–Galerkin method for solving the generalized regularized long wave 
 (GRLW) equation”, Computers and Mathematics with Applications, Vol. 63, pp.943-956.  
17. M.Zarebnia and R.Parvaz (2013), “Cubic B-spline collocation method for numerical solution of 
 the  Benjamin-Bona-Mahony-Burgers  equation”,  International Journal of Mathematical, 
 Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering, Vol. 7(3), pp.540-543. 
18. H.Zeybek  and  S.Battal  Gazi  Karakoça  (2017),  “Application  of  the  collocation  method  with  
 B - spline to the GEW equation”,  Electronic Transactions on Numerical Analysis, Vol. 46, 
 pp.71-88. 
 PHƯƠNG PHÁP COLLOCATION VỚI CƠ SỞ B-SPLINE BẬC 5 
 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GRLW 
 Tóm tắt: Trong bài báo này, nghiệm số của phương trình GRLW sẽ tìm được dựa trên cơ 
 sở sử dụng cơ sở B–spline bậc 5. Chúng ta chứng minh lược đồ sai phân ứng với phương 
 trình là ổn định vô điều kiện theo phương pháp Von–Neumann. Thuật toán được giải minh 
 họa với sóng đơn và thể hiện bằng đồ thị. Kết quả số chứng tỏ phương pháp đưa ra có thể 
 giải phương trình trên. 
 Từ khóa: Phương trình GRLW, spline bậc 5, phương pháp Collocation, phương pháp sai 
 phân hữu hạn.