Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chủ đề 3: Nguyên hàm & Tích phân

c khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox 
Ⓐ. 4 2V e= − . Ⓑ. ( )4 2V e = − . Ⓒ. 2 5V e= − . Ⓓ. ( )2 5V e = − . 
Câu 9: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị của các hàm số 23 , 0y x x y= − = . 
 Ⓐ. 
16
15
. Ⓑ.
16
15
 . Ⓒ.
81
10
 . Ⓓ.
16
15 
. 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 85 
Câu 10: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị của các hàm số 3, 0, 1y x y x= = = . 
Ⓐ.
4
. Ⓑ.
4
7
. Ⓒ.
2
. Ⓓ.
7
. 
Câu 11: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị của các hàm số 9, 0, 1, 3xy y x x= = = = . 
Ⓐ.54 . Ⓑ.6 . Ⓒ.12 . Ⓓ. 6 . 
Câu 12: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị của các hàm số ( )
1
cos , 0, 0,y x y x x 
= = = = . 
Ⓐ.
( )2
8
 +
. Ⓑ.
( )sin 2 2
4
 +
. Ⓒ.
sin 2 2
4
+
. Ⓓ.
2
8
 +
. 
Câu 13: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị của các hàm số 2cos , 0, 0,y x y x x = = = = . 
Ⓐ.
2
2
. Ⓑ.
3
8
. Ⓒ.
23
8
. Ⓓ.
2
. 
BẢNG ĐÁP ÁN 
1.D 2.C 3. A 4. B 5. A 6. A 7.A 8.D 9.C 10.D 
11.A 12.B 13.C 
A - Bài tập minh họa: 
. Phương pháp: 
 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: ; quay quanh 
trục . 
  Phương pháp giải: 
 ①. Giải phương trình: có nghiệm 
 ②. Khi đó thể tích cần tìm : 
 ③. Casio: 
 Dạng ③: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 86 
Câu 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( ) 2:P y x= và 
đường thẳng : 2d y x= quay quanh trục Ox bằng 
Ⓐ. 
2 2
2 4
0 0
4x dx x dx − . Ⓑ. ( )
2
2
2
0
2x x dx − . 
Ⓒ. 
2 2
2 4
0 0
4x dx x dx + . Ⓓ. ( )
2
2
0
2x x dx − . 
Lời giải 
 Chọn B 
 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và d là 
2 2x x=
0
2
x
x
= 
 = 
. 
Thể tích của khối tròn xoay là ( ) ( )
2
22 2
0
2 dx x x −
2 2
2 4
0 0
4x d dx x x = − 
PP nhanh trắc nghiệm 
 
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 
2 2y x x= − , 24y x= − khi nó quanh quanh trục hoành là: 
Ⓐ.
421
15
 . Ⓑ. 27 . Ⓒ. 
125
3
 . Ⓓ.30 . 
Lời giải 
 Chọn B 
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 
 2 2 2
1
2 4 2 2 4 0
2
x
x x x x x
x
= − 
− = − − − = = 
. 
 Do khi quay quanh trục hoành thì khối sinh bởi hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2y x x= − , trục hoành, 
0; 2x x= = sẽ nằm trong khối sinh bởi hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị hàm số 24y x= − , trục hoành, 0; 2x x= = . 
 Vậy thể tích cần tính bằng: 
( ) ( ) ( )
0 0 2
2 2 2
2 2 2
1 1 0
4 2 4
203 38 256 421
15 15 15 15
V x dx x x dx x dx 
− −
= − − − + − 
= − + =
PP nhanh trắc nghiệm 
 
 Chú ý phần rất dễ thiếu phần 
( )
2
2
2
1
0
4V x dx = − 
B - Bài tập tham khảo rèn luyện: 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 87 
Câu 1: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo 
thành được tính theo công thức nào? 
Ⓐ. ( ) ( )2 21 2 d
b
a
V f x f x x = − . 
Ⓑ. ( ) ( )2 21 2 d
b
a
V f x f x x = − . 
Ⓒ. ( ) ( )2 22 1 d
b
a
V f x f x x = − . 
Ⓓ. ( ) ( )
2
1 2 d
b
a
V f x f x x = − . 
Lời giải 
Chọn B 
Do ( ) ( ) ( )1 2 ;f x f x x a b  nên Chọn B 
Câu 2: Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol 
( ) 2: =P y x và đường thẳng : 2=d y x quay xung quanh trục Ox . 
Ⓐ. ( )
2
2
2
0
2 d − x x x . Ⓑ. 
2 2
2 4
0 0
4 d d − x x x x . 
Ⓒ. 
2 2
2 4
0 0
4 d d + x x x x . Ⓓ. ( )
2
2
0
2 d − x x x . 
Lời giải 
Chọn A 
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
0
2 0
2
= 
− = = 
x
x x
x
. 
Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: ( )
2
2
2
0
2 d = − V x x x . 
Câu 3: Cho hình ( )H giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol 
và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm ( )2;4A , 
như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình 
( )H quay quanh trục Ox bằng 
Ⓐ. 
16
15
. Ⓑ. 
32
5
. 
Ⓒ. 
2
3
. Ⓓ.
22
5
. 
Lời giải 
Chọn A 
Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua ( )2;4A nên có phương trình 2y x= . 
Tiếp tuyến của Parabol đó tại ( )2;4A có phương trình là ( )4 2 4 4 4y x x= − + = − . 
Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là ( ) ( )
2 2
2 22
0 1
d 4 4 dV x x x x = − − . 
( )
22 5
2
2
0 0
32
d
5 5
x
x x = = ; ( ) ( )
2
2 2 3
2 2 2
1 1 1
16
4 4 d 16 2 1 d 16
3 3
x
x x x x x x x
− = − + = − + = 
 . 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 88 
Vậy ( ) ( )
2 2
2 22
0 1
32 16 16
d 4 4 d
5 3 15
V x x x x
= − − = − = 
 . 
Câu 4: Gọi ( )H là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm 
số 
1
2 , , 0
−
= = =
x
y x y y
x
 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). 
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục 
hoành bằng. 
Ⓐ. 
5
2ln 2
3
V 
= − 
. Ⓑ. 
5
2ln 2
3
V 
= + 
. 
Ⓒ. 
2
2ln 2
3
V 
= − 
. Ⓓ.
2
2ln 2
3
V 
= + 
. 
Lời giải 
Chọn A 
Phương trình hoành độ giao điểm của 2y x= và 
1 x
y
x
−
= là: 

1
2
x
x
x
−
=
2
0
2 1 0x x
x 
+ − =
0
1
2
1
x
x
x
= 
= 
−
1
2
x = . 
Phương trình hoành độ giao điểm của 2y x= và 0y = là: 2 0x =
2
0
2 1 0x x
x 
+ − =
0x = . 
Phương trình hoành độ giao điểm của 0y = và 
1 x
y
x
−
= là: 
1
0
x
x
−
=
0
1 0x
x 
− =
0
1x
x
=
 1x = . 

1
212
2
10
2
1
4 d d
x
V x x x
x
− 
= + 
1
213 2
10
2
4 1
. 1
3
d
x
x
x
= + − 
1
2
1
2
1 1 2
1
6
dx
x x
= + − + 
Câu 5: Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 
2 4y x= − , 
2 4y x= − , 0x = , 2x = quanh trục .Ox 
Ⓐ. 
32π
5
. Ⓑ. 
32π
7
. Ⓒ. 
32π
15
. Ⓓ.
22π
5
. 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có ( )
2
2
2
1
0
256
π 4 d π
15
V x x= − = , ( )
2
2
2
0
32
π 2 4 d π
3
V x x= − = . 
Vậy thể tích cần tìm 
1 2
32π
5
V V V= − = . 
Câu 6: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 2y x= , 2y x= . Thể 
tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H xung quanh 
trục Ox bằng: 
Ⓐ. 
32
15
. Ⓑ. 
64
15
. 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 89 
Ⓒ. 
21
15
. Ⓓ.
16
15
. 
Lời giải 
Chọn B 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 0x x− =
0
2
x
x
= 
 = 
. 
Khi quay ( )H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay giới hạn bởi 
2
2
0
2
y x
y x
x
x
 =
= 
= 
 = 
. 
Do đó thể tích của khối tròn xoay là: ( ) ( )
2
2 22
0
64
2 d
15
V x x x
 = − = . 
Câu 7: Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 
2y x= ; y x= quanh trục Ox . 
Ⓐ. 
9
10
V
= . Ⓑ. 
3
10
V
= . Ⓒ. 
10
V
= . Ⓓ.
7
10
V
= . 
Lời giải 
Chọn B 
Phương trình hoành độ giao điểm 2x x= 4 0x x − = 
( )( )21 1 0x x x x − + + = 0x = hoặc 1x = 
Khi đó: 
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình ( )H là 
( ) ( )
1 1
2 2
2
0 0
3
d d
10
V x x x x
 = − = 
Câu 8: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 1exy −= , các trục tọa độ và phần đường thẳng 
2= −y x với 1 x . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành. 
Ⓐ. 
2
2
1 e 1
3 2e
V
−
= + . Ⓑ. 
( )2
2
5e 3
6e
V
 −
= . Ⓒ. 
1 e 1
2 e
V 
−
= + . Ⓓ.
2
2
1 e 1
2 2e
V
−
= + . 
Lời giải 
Chọn B 
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong 1exy −= và đường 
thẳng 2= −y x : 1e 2 1x x x− = − = . (Vì 1exy −= là hàm đồng biến và 
2y x= − là hàm nghịch biến trên tập xác định nên phương trình có tối đa 
1 nghiệm. Mặt khác 1x = thỏa mãn pt nên đó là nghiệm duy nhất của pt đó). 
Đường thẳng 2= −y x cắt trục hoành tại 2=x . 
( ) ( )
1 2
2 21
0 1
e d 2 dxV x x x −= + − 
( )2 231
2 2
20
1
5e 1
e 2 4
3 6e
x x x
 −
− 
= + − + = 
Câu 9: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 
2 4 6y x x= − + và 
2 2 6y x x= − − + . 
Ⓐ. . Ⓑ. 1 − . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 . 
D
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 90 
Lời giải 
Chọn C 
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 24 6 2 6x x x x− + = − − + 22 2 0x x − =
0
1
x
x
= 
 = 
. 
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là 
( ) ( )
1
2 2
2 2
0
4 6 2 6 dV x x x x x = − − − − − + 
1
3 2
0
12 36 24 dx x x x = − + − 
( )
1
3 2
0
12 36 24 dx x x x = − + − ( )
1
3 3 2
0
3 12 12x x x = − + − 3 = . 
Câu 10: Gọi ( )H là hình được giới hạn bởi nhánh parabol 22y x= (với 0x ), đường thẳng 3y x= − + 
và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình ( )H khi quay quanh trục Ox bằng 
Ⓐ. 
52
15
V
= . Ⓑ. 
17
5
V
= . Ⓒ. 
51
17
V
= . Ⓓ.
53
17
V
= . 
Lời giải 
Chọn A 
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
1
2 3 3
2
x
x x
x
= 
 = − + 
 = −
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi ( )H : ( )
3 1
2 4
1 0
52
3 d 4 d
15
V x x x x = − + + = . 
Câu 11: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 0x y+ − = ; y x= ; 0y = quay 
quanh trục Ox bằng 
Ⓐ. 
5
6
. Ⓑ. 
6
5
. Ⓒ. 
2
3
. Ⓓ.
5
6
. 
Lời giải 
Chọn D 
Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau: 
Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= ; 0y = ; 0x = ; 1x = . 
Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối tròn xoay có thể tích 
1 2 1
1
00
d .
2 2
x
V x x
 = = = . 
Phần 2 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x= − ; 0y = ; 1x = ; 2x = . 
Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích 
( )
( )
32 2
2
2
11
2
2 d .
3 3
x
V x x
−
= − = = . 
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là 
1 2
5
6
V V V
= + = . 
Câu 12: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y= , 2y x= − + và 
0x = quay quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây? 
Ⓐ. 
1
3
V = . Ⓑ. 
3
2
V = . Ⓒ. 
32
15
V = . Ⓓ.
11
6
V = . 
Lời giải 
Chọn C 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 91 
Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2
0
x y
y x
x
 =
= − + 
 =
( )2 0
2
0
y x x
y x
x
 = 
 = − + 
 =
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2x x= − + 2 2 0x x + − =
( )
( )
1
2
x nhaän
x loaïi
= 
= − 
Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi hình ( )H quay quanh trục Ox là: 
 ( ) ( )( )
1
22 2
0
2 dV x x x = − + − ( )
1
2 4
0
4 4 dx x x x = − + − 
32
15
 = (đvtt) 
Câu 13: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= , cung tròn có phương trình 26y x= − 
( )6 6x− và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn 
xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox . 
Ⓐ. 8 6 2V = − . Ⓑ. 
22
8 6
3
V
 = + . Ⓒ. 
22
8 6
3
V
 = − . Ⓓ.
22
4 6
3
V
 = + . 
Lời giải 
Chọn D 
Cách 1. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích 
( )
34
6 8 6
3
V = = . 
Thể tích nửa khối cầu là 1 4 6V = . 
Xét phương trình: 26x x= −
2
0
6 0
x
x x
+ − = 
2x = . 
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x= , cung 
tròn có phương trình 26y x= − , và hai đường thẳng 0, 2x x= = quanh Ox là 
( )
2
2
2
0
22
6 d
3
V x x x
 = − − = . 
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là 
1 2
22
4 6
3
V V V
 = + = + . 
Cách 2. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích 
( )
3
1
4
6 8 6
3
V = = . 
Xét phương trình: 26x x= −
2
0
6 0
x
x x
+ − = 
2x = . 
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x= , cung 
tròn có phương trình 26y x= − và đường thẳng 0y = quanh Ox là ( )
2 6
2
2
0 2
d 6 dV x x x x = + − 
12 6 28
2
3
−
= +
22
4 6
3
 = − . 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 92 
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là 1 2V V V= −
22
8 6 4 6
3
= − − 
22
4 6
3
 = + . 
Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi 
các đường 0y = , y x= , 2y x= − . 
Ⓐ. 8
3
. Ⓑ. 16
3
. Ⓒ. 10 . Ⓓ.8 . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có: 
0 0
0 2 2
2 4
x x
x x
x x x
 = =
= − = 
= − = 
Dựa vào hoành độ giao điểm của ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần. Phần thứ 
nhất giới hạn bởi y x= , 0y = và 0; 2x x= = . Phần thứ hai giới hạn bởi y x= , 2y x= − và 
2; 4x x= = . 
Thể tích vật thể bằng: 
( ) ( )
2 4
2 22
0 2
d 2 dV x x x x x = + − − ( )( )
2 4
2
0 2
d 2 dx x x x x = + − − 
( )
4
2 32 2
0
2
2 16
2 2 3 3
xx x 
 −
= + − = 
. 
Câu 15: Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2y x= và đường tròn 
2 2 2x y+ = (phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích V của 
khối tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành. 
Ⓐ. 
44
15
V
= . Ⓑ. 
22
15
V
= . 
Ⓒ. 
5
3
V
= . Ⓓ.
5
V
= . 
Lời giải 
Chọn A 
Với 
2y x= thay vào phương trình đường tròn ta được 
2
2 4
2
1 1
2
12
x x
x x
xx
 = = 
+ = = −= − 
. 
Hơn nữa 
2
2 2
2
2
2
2
y x
x y
y x
 = − −
 + = 
 = − 
. 
Thể tích cần tìm chính là thể tích vật thể tròn xoay ( )
2
1
2
1
:
1
y x
x
H
x
Ox
 = −
 = −
= 
 quay quanh Ox bỏ đi phần thể 
tích ( )
2
2
1
:
1
y x
x
H
x
Ox
 =
= − 
= 
 quay quanh Ox . 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 93 
Do đó ( ) ( )
1 12 2
2 2
1 1
44
2 d d
15
V x x x x
− −
= − − = 
 . 
Câu 16: Cho hình phẳng ( )H (phần gạch chéo trong hình vẽ). 
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi 
quay hình ( )H quanh trục hoành. 
Ⓐ. 8V = . Ⓑ. 10V = . 
Ⓒ. 
8
3
V
= . Ⓓ.
16
3
V
= . 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường 0x = , 4x = , ( )f x x= và trục hoành. 
( )2D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x = , 4x = , ( ) 2g x x= − và trục hoành. 
Kí hiệu 1V , 2V tương ứng là thể tích của các khối tròn xoay tạo thành khi quay ( )1D , ( )2D 
quanh trục hoành. 
Khi đó, 1 2V V V= − ( ) ( )
4 4
2 2
0 2
d df x x g x x = − ( )
4 4
2
0 2
d 2 dx x x x = − − 
8
8
3
 = −
16
3
= . 
Câu 17: Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 
( ) ( )
22: 3 1C x y+ − = xung quanh trục hoành là 
Ⓐ. 26 . Ⓑ. 36 . Ⓒ. 23 . Ⓓ.6 . 
Lời giải 
Chọn A 
( ) ( ) ( )
2 22 2
2 2
2 2
: 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 3 1
C x y y x
y x y x
y x y x
+ − = − = −
 − = − = + −
 − = − − = − − 
Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình 
phẳng giới hạn bởi đường tròn 
( ) ( )
22: 3 1C x y+ − = xung quanh trục hoành là 
 ( ) ( )
2 21 1
2 2 2
1 1
3 1 3 1 .6 6V x dx x dx 
− −
= + − − − − = = . 
 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 
St-bs: Duong Hung 94