Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân
Các ý tưởng giúp hình thành môn
vi tích phân phát triển qua một
thời gian dài. Các nhà toán học
Hi Lạp là những người đã đi những bước
tiên phong. Leucippus, Democritus và
Antiphon đã có những đóng góp vào
phương pháp “vét cạn” của Hi Lạp, và
sau này được Euxodus, sống khoảng 370
trước Công Nguyên, nâng lên thành lí
luận khoa học. Sở dĩ gọi là phương pháp
“vét cạn” vì ta xem diện tích của một
hình được tính bằng vô số hình, càng lúc
càng lấp đầy hình đó. Tuy nhiên, chỉ có
Archimedes (287-212 B.C), mới là người
Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn
đầu tiên của ông là tính được diện tích
giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng
diện tích của tam giác có cùng đáy và
đỉnh và bằng 2
diện tích của hình bình
hành ngoại tiếp. Để tìm ra kết quả này,
Archimedes dựng một dãy vô tận các tam
giác, bắt đầu với tam giác có diện tích
bằng A và tiếp tục ghép thêm các tam
giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có
với đường parabol. Hình parabol dần dần
được lấp đầy bởi các tam giác có tổng
diện tích là
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 1 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 1](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-1_ya7laFiw0g.jpg)
Trang 1
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 2 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 2](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-2_P38Q3AsqN1.jpg)
Trang 2
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 3 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 3](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-3_qd0jjvyjm8.jpg)
Trang 3
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 4 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 4](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-4_InyQEVtCCa.jpg)
Trang 4
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 5 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 5](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-5_h0GhkiZuoo.jpg)
Trang 5
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 6 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 6](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-6_87EY1fNCXV.jpg)
Trang 6
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 7 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 7](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-7_eryAIxgjag.jpg)
Trang 7
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 8 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 8](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-8_1gtdICZJi1.jpg)
Trang 8
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 9 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 9](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-9_3bcX7XqF4C.jpg)
Trang 9
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 10 Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân trang 10](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11642/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan-trang-10_v60oR3L8xU.jpg)
Trang 10
Tải về để xem bản đầy đủ
Tóm tắt nội dung tài liệu: Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân
![Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân Tài liệu Kỹ thuật giải toán Tích phân](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/thumb/2022/01/10/tai-lieu-ky-thuat-giai-toan-tich-phan_egubARWxne.jpg)
– Schwarz ta có ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 C S 0 0 0 0 0 LHS dx 1 f x dx dx f x dx dx 1 − − + = = Vậy có điều phải chứng minh! Kỹ thuật giải toán tích phân| 567 | Chinh phục olympic toán TẠ P CH Í V À TƯ L IỆ U TO ÁN H ỌC Câu 13. Cho hàm số ( )f x liên tục, ( )f ' x liên tục trên 0,1 và ( )f 0 0= . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 1 f ' x f x dx f ' x dx 2 Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x 0 0 0 f ' x f x dx f ' x dx f ' t dt dx= ( ) ( ) 1 x 0 0 f ' x f ' t dtdx ( ) ( ) 1 x x 2 0 0 0 f ' x dt f ' t dtdx ( ) ( ) 1 x 2 0 0 x f ' x f ' t dtdx ( ) ( ) 1 1 x 2 2 0 0 0 xdx f ' x f ' t dtdx ( ) 21 x 2 0 0 1 1 f ' t dt 'dx 2 2 ( ) 1 2 0 1 f ' x dx 2 Câu 14. Cho hàm số ( )f x là hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn a; b và ( )f a = 0 . Đặt ( ) a x b M max f x = . Chứng minh rằng ( ) ( ) b 2 2 a M b a f ' x dx− Lời giải Ta có ( ) ( ) 2x 2 a x a; b , f x f ' t dt = ( ) ( ) x x b b 2 2 a a a a dt f ' t dt dt f ' t dt ( ) ( ) b 2 a b a f ' t dt − Do đó ( ) ( ) ( ) x a; b 2 2 a b max f x b a f ' t dt − Câu 15. Cho hàm số f : 0;1 → là hàm khả vi sao cho ( ) ( )f 0 f 1 0= = và thỏa mãn điều kiện ( ) f ' x 1, x 0;1 . Chứng minh rằng ( ) 1 0 1 f t dt . 4 Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x 1 12 2 1 10 0 0 0 x 2 2 f x dx f x dx f x dx f ' t dtdx f ' t dt dx + + − ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x 1 1 x 1 1 12 2 2 1 1 10 0 x 0 0 x 0 2 2 2 1 f ' t dtdx f ' t dtdx dtdx dtdx xdx 1 x dx 4 + + + − Dấu = xảy ra khi ( ) f ' t 1 , x 0;1= suy ra ( )f x là hàm bậc nhất, do đó không thể có ( ) ( )f 0 f( 1 0= = . Vậy trường hợp đẳng thức không thể xảy ra. Vậy ta có điều phải chứng minh! | Bất đẳng thức tích phân Tạp chí và tư liệu toán học | 568 CH IN H P H ỤC O LY M PI C TO ÁN Câu 16. Chứng minh rằng ( ) x x 2t t x x 0 1 e 1 e e e 1 e x 0 2 − − + − − Lời giải Ta có x x 2t t t x 0 0 e e e e 1−+ = − . Đặt ( ) ( ) x 2t t x x 0 1 f x e e e 1 e ,x 0 2 − = + − − − Có ( ) x x 2 2 x x x 1 e e e 1 2f ' x e x e 12 e 1e 2 − − − = + − + − − . Đặt xt e 1= Xét bất phương trình ( ) ( ) 2 1 t 1 1f ' x 0 t t 1 1t 2 2 t 1 2 t 2 + − + + − − 4 3 2 3 8 1 1 4t 24t 3t 16t 8 0 1t t 1 t 2 + + − − − − − Luôn đúng t 1 . Vậy ( )f ' x 0 , x 0 , suy ra ( )f x nghịch biến trên ( )0;+ Do đó ( ) ( )f x f 0 0 = , từ đó ta có điều phải chứng minh! Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) 3 n 2 n 28 n n 4 sin x cos f n dx,n cos x sin x + + + = + Lời giải Ta dễ dàng nhận thấy với 3 x , 4 8 thì sin x 0 , cos x 0 nên có thể thác triển f lên Xét tích phân ( ) 3 n 2 n 28 1 n n 4 sin x cos f n dx ,n cos x sin x + + + = + Ta có ( ) 3 n 2 n 28 1 n n 4 sin x cos f n ln tan x dx cos x sin x ' + + = − 3 x , , ln tan x 0 ,sin x cos x 4 8 n 2 n 2 2 2 n n sin x cos cos x cos x 0 cos x sin x + + − − = ( )1f 0' n Vậy 1f (n) đồng biến trên )0;+ , suy ra ( ) ( )1 1f n f 0 8 = Suy ra ( ) ( )f n f 0 8 = Kỹ thuật giải toán tích phân| 569 | Chinh phục olympic toán TẠ P CH Í V À TƯ L IỆ U TO ÁN H ỌC Câu 18. Cho m . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) x m 3 m 2 m 2t 1 x x f x t .e dt 2 ,x 1 m 3 m 2 + + = − + + + Lời giải Ta có ( ) ( ) ( )m 2x m 2 m 1 m 2x 2f ' x x e 2 x x x e 2x 2x+ += − + = − − Lại có bất đẳng thức quen thuộc sau 2 x xe 1 x , x 0 2 + + Suy ra 2x 2e 1 2x 2x , x 1 + + Do đó ( ) mf ' x x 0 , suy ra ( )f x đồng biến trên )1;+ Suy ra ( ) ( ) 1 1 f x f 1 2 m 2 m 3 = − + + + Câu 19. Cho a;b và hàm f : a;b → có đạo hàm cấp 2 liên tục trên a; b sao cho ( ) ( )f a f b 0+ = . Đặt ( ) x a;b m m 'in xf ' = chứng minh rằng ( ) ( ) 3b a m a b f x dx 12 − Lời giải Khai triển Taylor ta được ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21f '' af a f x f ' x a x a x 2 = + − + − với ( )1x a,x Và ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21f'' xf b f x f ' x b x b x 2 = + − + − với ( )2x x,b . Cộng theo vế hai đẳng thức trên suy ra ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1f '' x f '' x2f x f ' x a x f ' x b x a x b x 0 2 2 + − + − + − + − = Lấy tích phân hai vế trên a; b ta được ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b 2 21 2 a a a a f '' x f '' x 2 f x dx f ' x a x dx f ' x b x dx a x b x dx 0 2 2 + − + − + − + − = Mặt khác ta lại có • ( )( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f ' x a x dx a b f b f x dx− = − + • ( )( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f ' x b x dx a b f a f x dx− = − + • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 21 2 f '' x f '' x m a x b x a x b x 2 2 2 − + − − + − Nên từ ba đẳng thức trên với đẳng thức trên ta suy ra ( ) ( ) ( )( ) b b 2 2 a a m 4 f x dx a x b x dx 0 2 + − + − | Bất đẳng thức tích phân Tạp chí và tư liệu toán học | 570 CH IN H P H ỤC O LY M PI C TO ÁN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3b b a a a b a b m a bm 4 x dx f x dx 2 3 3 12 − − − + Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Câu 20. Cho hàm số f : 0;1 R→ là hàm liên tục với ( )f 0 0= . Chứng minh rằng ( ) ( )( ) 1 1 2 2 0 x 1 0 sup f x f ' x dx Lời giải Bài này khá đơn giản, do ( )f 0 0= nên ( ) ( ) x 0 f x f ' t dt= . Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x 1 1 1 1 2 22 0 0 0 0 0 f x f ' t dt f ' t dt f ' t dt 1 dt f ' t dt = Câu 21. Xét đa thức ( )P x là đa thức bậc n thỏa mãn ( )P x 0, x R . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x n 1 0 0 1 x P x dx P x P' x ... P x dx 0 2 − − + + + + Hãy tổng quát bài toán khi thay đoạn 0,1 bới đoạn a, b . Lời giải Yêu cầu 1. Từ giả thiết ta có ( )f ' x 0 do đó ( )f x là hàm giảm. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho tích phân ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 f x xdx f x dx x f x dx 2 = Trường hợp a, b với ( )f x và ( )g x nghịch biến thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a 1 1 1 f x g x dx f x dx. g x dx b a b a b a − − − Nếu ( )f x và ( )g x đồng biến thì chiều sẽ ngược lại Yêu cầu 2. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nQ x P x P' x P x .= + + + Sử dụng công thức tích phân từng phần ta đưa về chứng minh ( ) ( ) 1 0 x 1 x Q x dx 0− Đến đây ta sẽ chứng minh với giả thiết của bài toán thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nQ x P x P' x P x 0, x= + + + Kỹ thuật giải toán tích phân| 571 | Chinh phục olympic toán TẠ P CH Í V À TƯ L IỆ U TO ÁN H ỌC Nhận thấy n chẵn, đa thức ( )Q x liên tục, ( ) ( ) x lim Q x , Q' x → = + là đa thức bậc lẻ nên luôn có nghiệm, như vậy ( )Q x đạt GTNN (là cực tiểu) tại một điểm 0x . Lúc đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0Q' x 0 Q x Q x P x Q' x P x 0, x= = + = Bài toán được chứng minh Câu 22. Chứng minh rằng 2 2 0 sin x dx 0 Lời giải Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau 3x sin x x , x 0 6 − Thật vậy xét hàm số ( ) 3x f x sin x x 6 = − + ta có ( ) ( ) ( ) 2x f ' x cos x 1 f '' x sin x x f ''' x 1 cos x 0 2 = − + = − + = − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f '' x f '' 0 0 f ' x f ' 0 0 f x 0 0 = = = 3x sin x x , x 0 6 − 2 2 2 6 3 7 3 2 2 0 0 0 x x x 2 2 4 2 2 2 2 sin x dx x dx 1 0 6 3 42 3 21 3 7 − = − = − = − Câu 23. Cho đa thức ( ) 3 2f x Ax Bx Cx D= + + + thỏa mãn 2A 0,B 3AC 0 − Chứng minh rằng ( ) ( ) 1 1 0 0 1 xf x dx f x dx 2 . Hãy tổng quát bài toán khi thay đoạn 0,1 bởi đoạn a, b Lời giải Từ giả thiết của bài toán ta có ( ) ( )f ' x 0. 1 Ta viết bất đẳng thức về dạng ( ) ( ) 1 0 2x 1 f x dx 0.− Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 2x 1 f x dx x x 1 f x x x 1 f ' x dx x x 1 f ' x dx 0− = − + − = − Vì từ ( )1 suy ra ( ) ( ) x x 1 f ' x 0 x 0;1 .− Ta có thể tổng quát bài toán như sau Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm cấp một và giảm trên a, b . Chứng minh ( ) ( ) b b a a a b xf x dx f x dx 2 + | Bất đẳng thức tích phân Tạp chí và tư liệu toán học | 572 CH IN H P H ỤC O LY M PI C TO ÁN Câu 24. Cho hàm )f : 0;1 0,→ + khả vi liên tục trên miền xác định. Đặt ( ) x 0;1 M max f ' x = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 3 2 0 0 0 f x dx f 0 f x dx M f x dx − Lời giải Với t 0;1 , ta có ( )M f ' t M− ( ) ( ) ( ) ( )M.f t f ' t .f t M.f t − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x 0 0 0 M. f t dt f ' t .f t dt M. f t dt x 0;1 − ( ) ( ) ( ) ( ) x x 2 2 0 0 1 M. f t dt f x f 0 M. f t dt 2 − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) x x 3 2 0 0 1 M.f x f t dt f x f 0 .f x M.f x f t dt 2 − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 x 1 1 x 3 2 0 0 0 0 0 1 M. f x f t dt dx f x f 0 .f x dx M. f x f t dt dx 2 − − Mặt khác ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 x 1 x x 1 0 0 0 0 0 0 1 f x f t dt dx f t dt d f t dt f x dx 2 = = Nên ta có điều phải chứng minh! Câu 25. Hàm ( )f x khả tích trên đoạn 0;1 và ( ) 1 0 f x dx 0 . Chứng minh tồn tại đoạn a;b 0;1 mà trên đó ( )f x 0 . Lời giải Giả sử ( ) 1 0 f x dx I 0= . Với n , xét phân hoạch P chia 0;1 bởi các điểm i , i 0,n n = ta có n n i 0 1 i I lim f n n→+ = = n 0 0 i 0 1 i 0, n 0|n n f I n n= − Chọn một 00 l để cố định, khi đó n 0 0 0 i 0 1 i n 0|n n , f I n n= − n 0 0 0 i 0 1 i n 0|n n , f I 0 n n= − Do đó phải tồn tại 0i sao cho 0if 0 n . Do f liên tục trên 0;1 nên tồn tại một − lân cận của 0 i n sao cho ( ) 0 0 i i f x 0 , x ; n n − + Do 0 i 0;1 n nên 0 0 i i ; 0;1 n n − + là một đoạn, suy ra điều phải chứng minh! Kỹ thuật giải toán tích phân| 573 | Chinh phục olympic toán TẠ P CH Í V À TƯ L IỆ U TO ÁN H ỌC Câu 26. Cho hàm số f : 0;1 → khả vi liên tục trên miền xác định. Đặt ( ) ( ) x 0;1x 0;1 M max f ' x ,m min f ' x = = . Chứng minh rằng ( ) ( ) 21 12 2 2 0 0 m M f x dx f x dx 12 12 − Lời giải Ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 0 0 0 f x f y dxdy f x f y f x f y dxdy− = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 M x y f x f y dxdy M f x f y dxdy − − − Từ xa xưa ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f yf x f y max f x ; f y 2 2 −+ = + Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0;1 f x f y 2 max f x ; f y f x f y 2 max f x f x f y− = − + − + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0;1 0 0 0 0 f x f y dxdy M 2 max f x f x f y dxdy − − − ( ) ( ) 1 0;1 0 2M max f x f x dx − Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 2 0;1 0 0 0 f x dx f x dx M max f x f x dx − − Câu 27. Cho hàm số f : 0,1 R→ là hàm khả vi liên tục. Đặt ( ) x 0,1 M max f ' x = Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 2 x 0,1 0 0 0 0 f x dx f x dx M max f x f x dx − − Lời giải Với x, y 0,1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 f x f y dxdy f x f y 2f x f y dxdy − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 21 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 f x dxdy f y dxdy 2 f x f y dxdy f x dxdy f y dxdy 2 f x f y dxdy 2 f x dx f x dx = + − = + − = − Vậy ( ) ( ) ( ) ( )( ) 21 1 1 1 22 0 0 0 0 1 f x dx f x dx f x f y dxdy 2 − = − Từ đl Lagangre suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 22 2m x y f x f y M x y− − − Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 12 22 2 0 0 0 0 0 0 m 1 M x y dxdy f x f y dxdy x y dxdy 2 2 2 − − − ( ) ( )( ) 1 12 2 2 0 0 m 1 M f x f y dxdy 12 2 12 − | Bất đẳng thức tích phân Tạp chí và tư liệu toán học | 574 CH IN H P H ỤC O LY M PI C TO ÁN Câu 28. Cho hàm số ( )f x 0 là hàm giảm và ( ) ( )f x xf ' x 0+ với mọi x a,b . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2b b 2 a a b a xf x dx f x dx 2 b a + − . Lời giải Với hai hàm thực f ;g cùng liên tục trên a, b , nếu thêm giả thiết một hàm tăng và hàm còn lại giảm thế thì x; y a,b , ( ) ( )( ) ( ) ( )( )f x f y g x g y 0− − ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 0 0 f x f y g x g y dxdy 0 − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 0 0 f x g x f(y)g y f x g y f y g x dxdy 0 + − − ( )x ( )x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b b 0 a a 2 b a f x g x dx f x dx g x dx 0 − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b b 0 a a 1 f x g x dx f x dx g x dx b a − Ta thấy ( ) ( ) ( )( )f x xf ' x xf x ' 0+ = nên ( )xf x suy ra ( ) ( ) ( ) b b b 2 a a a 1 xf x dx xf x dx f x dx b a − ( ) ( ) 2b b 2 a a 1 xdx f x dx b a − ( ) ( ) 2b a b a f x dx 2 b a + − Câu 29. Cho hàm liên tục ) f : 0, 0;1+ → thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y f x f y , x, y 0+ Chứng minh rằng ( ) ( ) x 0 f t dt x f 2x . x 0 Lời giải Do ( ) f x 0;1 , x 0 nên ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y f x , x, y 0+ Suy ra f nghịch biến trên )0,+ , suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 0 0 f t dt f x dt xf x x f x f x x f 2x = = Câu 30. Cho ( ) ( )f x ,g x là các hàm liên tục trên [a; b] và thỏa mãn đồng thời các điều kiện ( ) ( ) 0 a f x A;0 b g x B x a;b Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b b 2 22 a a 2 2b a g x dx f x dxab AB 4abAB 4abAB ab ABf x g x + + Bất đẳng thức G.Polya Lời giải Từ giả thiết, dễ có ( ) ( ) f xa A B g x b ( ) ( ) f xa A B g x b ( ) ( ) ( ) ( )2 2 aA a A f x g x f x g x 0 bB B b + − + Kỹ thuật giải toán tích phân| 575 | Chinh phục olympic toán TẠ P CH Í V À TƯ L IỆ U TO ÁN H ỌC ( ) ( ) ( ) ( ) b b b 2 2 a a a aA a A f x dx g x dx f x g x dx bB B b + + Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b 2 2 2 2 a a a a aA aA f x dx g x dx 2 f x dx g x dx bB bB + Nên suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) b b b 2 2 a a a aA a A 2 f x dx g x dx f x g x dx bB B b + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22b b b 2 2 2 2 a a a ab ABaA 4 f x dx g x dx f x g x dx bB b B + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b b 2 22 a a 2b a g x dx f x dxab AB 4abAB f x g x + Bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b b 2 2 a a 2 2b a g x dx f x dx 4abAB ab ABf x g x + Là dễ dàng vì ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b b 2 2 a a 2 2b a g x dx f x dx 4abAB 1 ab ABf x g x + Câu 31. Cho hàm số f : 0;1 → khả tích trên 0;1 . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 21 1 1 2 0 0 0 1 f x dx f x dx f x dx 1 2 − − Lời giải Viết lại bất đẳng thức dưới dạng ( ) ( ) 21 1 2 0 0 f x dx 1 2 f x dx 1 + + Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng do ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 1 2 2 2 2 0 0 0 f x dx 1 1 1 f x dx 1 2 f x dx 1 + + + + TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC HẾT CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Tài liệu tham khảo [1]. Tuyển tập các kỹ thuật tính tích phân – Trần Phương. [2]. Tích phân vận dụng – vận dụng cao – Nguyễn Đăng Ái. [4] Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm 100% dạng bài nguyên hàm - tích phân và ứng dụng – Tô Thị Nga. [5]. Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm tích phân – Huỳnh Công Thái. [6]. Tổng ôn tập chuyên đề tích phân và bất đẳng thức – Lê Hoành Phò. [7]. Internet.
File đính kèm:
tai_lieu_ky_thuat_giai_toan_tich_phan.pdf