Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị (Phần 2)

 kiện ( )g x, y,z b= . 
Bước 1: Lập hàm Lagrange 
 ( ) ( ) ( )L x, y,z, f x, y,z b g x, y,zλ = + λ  −   
Bước 2: Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng 
( )
/ / /
x x x
/ / /
y y y
/ / /
z z z
/
L f g 0
L f g 0
L f g 0
L b g x, y,z 0λ
 = − λ =

= − λ =

= − λ =

= − =
Bước 3: Giả sử ( )0 0 0M x , y ,z là một điểm dừng ứng với giá trị 0 ,λ xét các định thức 
con chính của ma trận 
1 2 3
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
0 g g g
g L L L
H
g L L L
g L L L
 
 
 
=
 
 
 
là 
1 2
2 1 11 12
2 21 22
0 g g
H g L L
g L L
= và 3H H= , trong đó 
 ( ) ( ) ( )/ / /1 x 0 0 0 2 y 0 0 0 3 z 0 0 0g g x , y ,z ; g g x , y ,z ; g g x , y ,z ;= = = 
 ( ) ( )/ / / /11 xx 0 0 0 0 12 21 xy 0 0 0 0L L x , y ,z , ; L L L x , y ,z , ;= λ = = λ 
 ( ) ( )/ / / /22 yy 0 0 0 0 23 32 yz 0 0 0 0L L x , y ,z , ; L L L x , y ,z , ;= λ = = λ 
 ( ) ( )// //33 zz 0 0 0 0 13 31 xz 0 0 0 0L L x , y ,z , ; L L L x , y ,z , .= λ = = λ 
Trường hợp 1
: Nếu 2 3H 0; H 0> < thì hàm số ( )w f x, y,z= với điều kiện 
( )g x, y,z b= đạt giá trị cực đại tại điểm M. 
Trường hợp 2
: Nếu 2 3H 0; H 0< < thì hàm số ( )w f x, y,z= với điều kiện 
( )g x, y,z b= đạt giá trị cực tiểu tại điểm M. 
Ví dụ 1. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số 2 2z x 2y= − − 
với điều kiện 3x 2y 22− = − . 
198 
Giải 
Bước 1: Lập hàm Lagrange 
 ( )2 2L(x, y, ) x 2y 22 3x 2yλ = − − + λ − − + 
Bước 2: Giải hệ phương trình 
/
x
/
y
/
3xL 2x 3 0 2 x 6
L 4y 2 0 y y 22
43x 2y 22L 22 3x 2y 0λ
λ = − = − − λ = = −  λ
= − + λ = ⇔ = ⇔ =  
  λ =− = −= − − + =  
Vậy hàm số có một điểm dừng là ( )M 6,2− ứng với 2λ = . 
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ 
/ / / /
1 x 2 y 11 xxg g 3; g g 2; L L 2;= = = = − = = − 
// / /
22 yy 12 21 xyL L 4; L L L 0.= = − = = = 
Xét định thức : 
0 3 2
H 3 2 0 44 0
2 0 4
−
= − = >
− −
Vậy điểm M là điểm cực đại. Khi đó giá trị cực đại của hàm số là 
 ( ) ( )2 2CDz z 6,2 6 2.2 44.= − = − − − = − 
Ví dụ 2. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số z 3x y= − với 
điều kiện 2 23x 4y 208.+ = 
Giải 
Bước 1: Lập hàm Lagrange: ( )2 2L(x, y, ) 3x y 208 3x 4yλ = − + λ − − 
Bước 2: Giải hệ phương trình 
/
x
/
y
2 2/ 2 2
L 3 6 x 0 2 x 1 (1)
L 1 8 y 0 8 y 1 (2)
3x 4y 208 (3)L 208 3x 4y 0λ
 = − λ =  λ =
 
= − − λ = ⇔ λ = − 
 
+ == − − = 
Từ (1) và (2), ta có x 4y= − ( x 0, y 0≠ ≠ , vì nếu x 0, y 0= = là vô lý) 
Thay vào phương trình thứ (3), ta có 2 2 y 252y 208 y 4
y 2
= −
= ⇔ = ⇔ 
=
199 
Với y 2= − kết hợp với (1) và (2), ta có 
2 x 1 x 8
8 y 1 y 2
y 2 1
16

λ = =
 λ = − ⇔ = − 
 
= − λ =

Với y 2= kết hợp với (1) và (2), ta có 
2 x 1 x 8
8 y 1 y 2
y 2 1
16

λ = = −
 λ = − ⇔ = 
 
= λ = −

 Vậy hàm số có hai điểm dừng: 
 ( )1M 8, 2− ứng với 1 116λ = ; ( )2M 8,2− ứng với 2
1
16
λ = − . 
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ tại điểm ( )i i iM x , y ứng với ( )i i 1,2λ = 
/ / //
x y xxg 6x; g 8y; L 6 ;= = = − λ / / / / / /yy xy yxL 8 ; L L 0.= − λ = = 
Suy ra 1 i 2 i 11 i 22 i 12 21g 6x ;g 8y ; L 6 ; L 8 ;L L 0.= = = − λ = − λ = = 
Xét định thức: ( )i i 2 2i i i i i i
i i
0 6x 8y
H 6x 6 0 96 3x 4y 96.19.
8y 0 8
= − λ = λ + = λ
− λ
+) Tại điểm ( )1M 8, 2− . Ta có 1H 96.19. 016= > 
nên 1M là điểm cực đại. Khi đó giá trị cực đại của hàm số là 
 ( )CDz z 8, 2 3.8 2 26.= − = + = 
+) Tại điểm ( )2M 8,2− . Ta có 1H 96.19. 016
 
= − < 
 
nên 2M là điểm cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu của hàm số là 
 ( ) ( )CTz z 8,2 3. 8 2 26.= − = − − = − 
200 
Phụ lục 8. Phương trình vi phân 
8.1. Các khái niệm cơ bản 
a) Định nghĩa phương trình vi phân 
Phương trình vi phân cấp n có dạng sau: ( )( )n/ //F x, y, y , y , , y 0= 
Ví dụ 1. Cho các phương trình vi phân 
/y 5x 0− = Phương trình vi phân cấp 1 
( ) ( )3x y dx x y dy 0− + + = Phương trình vi phân cấp 1 
/ / / xy 3y 2y (x 1)e− + = + Phương trình vi phân cấp 2 
b) Nghiệm của phương trình vi phân 
Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số trên khoảng I ⊂ ℝ 
Có 3 dạng sau: 
- Dạng hiện : y f (x)= 
- Dạng ẩn : (x, y) 0ϕ = 
- Dạng tham số : 
x x(t)
t
y y(t)
=
∈
=
ℝ 
Nghiệm của phương trình vi phân 
- Nghiệm tổng quát : y f (x,C)= , nghiệm riêng 0y f (x,C )= 
- Tích phân tổng quát : (x, y,C) 0ϕ = 
- Nghiệm kỳ dị. 
8.2. Phương trình vi phân cấp 1 
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát: 
/ /F(x, y, y ) 0 hay y f (x, y) (*)= = 
Hàm số y (x)= ϕ xác định và khả vi trên khoảng I ⊂ ℝ được gọi là nghiệm của 
phương trình (*) trên I ⊂ ℝ , nếu 
/
(x, (x)) G, x I
(x) f (x, (x)), x I
ϕ ∈ ∀ ∈
ϕ = ϕ ∀ ∈
 với G là tập xác định của hàm f (x, y) 
Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x)= ϕ là nghiệm của phương trình (*) thỏa điều 
kiện đầu 0 0y (x )= ϕ . 
a) Phương trình tách biến 
201 
Có 3 dạng sau: 
/y f (x)g(y)= 
f (x)dx g(y)dy 0+ = 
1 1 2 2f (x)g (y)dx f (x)g (y)dy 0+ = 
Phương pháp giải 
 Phân ly biến số x và dx về một vế và y và dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế 
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân sau 
1) / xy e= 
2) ( ) 4x sin x dx 5y dy 0+ + = 
3) / 2y xy 2xy− = 
Giải 
1) / x x xy e dy e dx y e C= ⇔ = ⇔ = + (C là hằng số) 
2) ( ) 4x sin x dx 5y dy 0+ + = (2) 
Lấy tích phân 2 vế của phương trình (2) 
( ) 4x sin x dx 5y dy C+ + =∫ ∫ 
2 51 x cos x y C
2
⇔ − + = (với C là hằng số) 
3) / 2y xy 2xy− = 
Phương trình (3) được viết lại như sau 
2dy xy 2xy xy(y 2) dy xy(y 2)dx
dx
= + = + ⇔ = + (3) 
Trường hợp 1: Nếu y 0, 2= − là nghiệm của phương trình 
Trường hợp 2: Nếu y 0, 2≠ − , chia hai vế của phương trình (3) cho y(y 2)+ , ta 
được 
dy
xdx
y(y 2) =+ , 
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có 
dy 1 1 1
xdx C dy xdx C
y(y 2) 2 y y 2
 
= + ⇔ − = + + + 
∫ ∫ ∫ ∫ 
202 
( ) 21 1ln y ln y 2 x C2 2⇔ − + = + 
2yln x C
y 2
⇔ = +
+
 (với C là hằng số) 
b) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: /y a(x)y b(x)+ = . Trong đó .
a(x), b(x) . là các hàm số liên tục. 
Phương pháp giải 
Bước 1: Tìm một nguyên hàm của a(x) 
 u(x) a(x)dx= ∫ 
Bước 2: Chọn thừa số tích phân 
u(x)v(x) e= 
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho thừa số tích phân: v(x) (v(x) 0, x)≠ ∀ 
thì ta có 
/v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x)+ = 
 ( )/v(x)y v(x)b(x) (*)⇔ = 
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*), ta được 
1
v(x)y v(x)b(x)dx y v(x)b(x)dx
v(x)= ⇒ =∫ ∫ 
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân sau3 
/ 11) y y 1
x
+ = với . x 0, y(1) 1> = . 
2/ x2) y 2xy xe−+ = 
Giải 
/ 11) y y 1
x
+ = với x 0, y(1) 1> = 
Bước 1: 1
x
 có nguyên hàm là ln x ln x= (vì x 0> ) 
Bước 2: Chọn thừa số tích phân: ln xe x= 
203 
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x , thì ta có 
 ( )//xy y x xy x+ = ⇔ = (*) 
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 
21 1 x Cxy xdx C y x C
x 2 2 x
 
 
 
= + ⇒ = + = +∫ 
Với điều kiện đầu 1 C 1y(1) 1 1 C
2 1 2
= ⇔ + = ⇔ = 
Vậy nghiệm của phương trình: x 1y
2 2x
= + 
2/ x2) y 2xy xe−+ = 
Bước 1: 2x có nguyên hàm là 2x 
Bước 2: Chọn thừa số tích phân: 
2xe 
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho 
2xe , thì ta có 
 ( )2 2 2 /x / x xe y 2xe y x e y x+ = ⇔ = (*) 
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 
2 2x x 21e y xdx C y e x C2
−
 
 
 
= + ⇒ = +∫ 
204 
MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 
Đề số 01 
Câu 1. Cho hàm sản xuất Cobb Douglas: ( ) 3 2Q K,L 80 K L= 
trong đó Q : là sản lượng, K : là vốn, L : là lao động. 
1) Tính hệ số co dãn của Q theo K và theo L. Nêu ý nghĩa. 
2) Nếu nhịp tăng trưởng của vốn là 4% và nhịp tăng trưởng của lao động là 6% thì 
nhịp tăng trưởng của sản lượng là bao nhiêu? 
Câu 2. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là ( ) 0,6QMC Q 15e= và chi phí 
cố định là 20. Tìm hàm tổng chi phí. 
Câu 3. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành như sau 
0,1 0,2 0
A 0,2 0,1 0,3
0,2 0,3 0,1
 
 
=  
 
 
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của phần tử ở hàng 2 và cột 3 của ma trận này. 
2) Cho biết ma trận cầu cuối ( )Tb 60 50 70= . Tìm sản lượng mỗi ngành 
Câu 4. Cho hàm tổng chi phí như sau: 
2C(Q) 4000 5Q 0,1Q= + + (Q là sản lượng) 
1) Tính chi phí biên tại mức sản lượng 100. 
2) Tìm Q để cực tiểu hàm chi phí bình quân 
Câu 5. Một công ty có hàm sản xuất: ( )Q K,L 2K(L 2),= − trong đó K, L lần lượt là vốn 
và lao động. Biết giá thuê một đơn vị vốn là 600 USD và giá thuê một đơn vị lao động là 
300 USD. Nếu doanh nghiệp chi số tiền 15000 USD. Tìm mức sử dụng K và L sao cho 
sản lượng tối đa. 
Đề số 02 
Câu 1. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao động được sử 
dụng (L) và ngân sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau: 0,35 0,18 0,25Y 0,38K L G= 
trong đó K, L, G là các hàm theo thời gian như sau: 
205 
t
0K(t) K (1,2)= ; t0L(t) L (1,05)= ; t0G(t) G (1,25)= . 
Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân. 
Câu 2. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên : 2MC(Q) 0,9Q 6Q 19= − + , với Q là 
sản lượng 
1) Hãy tìm hàm tổng chi phí của doanh nghiệp, biết chi phí cố định bằng 30. 
2) Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm 
này. 
Câu 3. Lượng đầu tư tại thời điểm t cho bởi hàm số: 
 ( )3I(t) 5t t t 1 t= + 
Biết quỹ vốn vào thời điểm xuất phát K(0) 84= , tìm hàm quỹ vốn tại thời điểm t 4.= 
Câu 4. Cho mô hình thu nhập quốc dân 
0 0Y C I G
C 150 0,8(Y T)
T 0,2Y
= + +

= + −

=
Trong đó Y là thu nhập quốc dân, 0I là đầu tư, 0G là chi tiêu chính phủ, C là tiêu 
dùng, T là thuế. Tìm thu nhập quốc dân và tiêu dùng ở trạng thái cân bằng khi 
0 0I 200, G 900.= = 
Câu 5. Một hãng có hai cơ sở sản xuất với các hàm sản xuất có dạng: 
 ( )0,51 1Q 2 L 100= + và ( )0,52 2Q 2 L 200= + 
Tìm phương án sử dụng nhân công tại hai cơ sở để hãng có thể làm ra một lô hàng là 
200 đơn vị với giá thành nhỏ nhất, biết giá thuế công nhân tại hai cơ sở là như nhau là w
USD/đơn vị lao động. 
Đề số 03 
Câu 1. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng háo như sau : 
0,45 0,25D 1,5Y P−= ; 0,35S 1,5P= . 
Trong đó: Y là thu nhập, P là giá của hàng hóa. 
1) Xác định hệ số co dãn của cầu theo giá, theo thu nhập và nêu ý nghĩa. 
2) Xem xét mức tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng. 
206 
Câu 2. Cho hàm sản phẩm cận biên của lao động 0,5MPL 40L= . Tìm hàm sản xuất ngắn 
hạn Q f (L)= , biết rằng Q(100) 4000= . 
Câu 3. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 
1 1S 1 D 1 3Q 10 P ; Q 20 P P= − + = − − 
2 2S 2 D 2 3Q 2P ; Q 40 2P P= = − − 
3 3S 3 D 1 2 3Q 5 3P ; Q 10 P P P= − + = − + − 
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy 
tắc Cramer. 
Câu 4. Cho hàm chi phí trung bình của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo như sau: 
212 1 1AV(Q) Q Q 10Q 2 4= − + + 
1) Tìm hàm chi phí cận biên. 
2) Với giá bán P 106= , Tìm Q để lợi nhuận cực đại. 
Câu 5. Một công ty có hàm sản xuất: 0,4 0,3Q K L= , trong đó K, L lần lượt là vốn và lao 
động. Biết giá một đơn vị vốn là 4 USD và giá một đơn vị lao động là 3 USD. Nếu doanh 
nghiệp chi số tiền 1050 USD. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để tối đa hóa sản lượng. 
Đề số 04 
Câu 1. Cho biết hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là: 
2MC(Q) 36 28Q 12Q= + − và FC 53= . Hãy tìm hàm tổng chi phí và chi phí biến đổi. 
Câu 2. 
1) Cho hàm cầu 2D 6P P= − . Hãy tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại múc giá P 5= 
và nêu ý nghĩa. 
2) Cho hàm đầu tư 3I(t) t= . Hãy tìm hàm quỹ vốn K(t) , biết quỹ vốn tại thời điểm 
ban đầu bằng 100000. 
Câu 3. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với 
hai loại sản phẩm đó như sau: 1 1 2 2
1Q 210 P ; Q 60 P
3
= − = − với hàm chi phí kết hợp 
1 2C 30(Q Q )= + . Hãy tìm sản lượng 1Q và 2Q và giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu 
được lợi nhuận tối đa. 
207 
Câu 4. Cho mô hình cân bằng kinh tế: 
 0 0Y C I G ;= + + 
 ( )0C C b Y T ;= + − 
 0T T tY.= + 
Cho 0 0 0 0C 80; I 90; G 81; T 20; b 0,9; t 0,1.= = = = = = Xác định mức cân bằng của Y. 
Nếu 0C tăng 1% thì mức cân bằng của Y thay đổi như thế nào? 
Câu 5. Định K, L sao cho hàm chi phí C L 0,01K= + ( K 0, L 0> > ) đạt giá trị nhỏ nhất 
thỏa mãn điều kiện K L 20⋅ = . 
Đề số 05 
Câu 1. Cho hàm doanh thu trung bình: ( )AR Q 60 3Q.= − Tìm hàm doanh thu cận biên, 
( )MR Q . Chứng minh rằng hàm ( )AR Q và hàm ( )MR Q có cùng tung độ góc, nhưng độ 
dốc của ( )MR Q gấp đôi độ dốc của ( )AR Q . 
Câu 2. Cho hàm cầu về một loại nông sản: D 200 50P.= − Có 50 cơ sở giống hệt nhau 
cùng trồng loại nông sản này với hàm chi phí của mỗi cơ sở là ( ) 2TC Q Q= (Q là sản 
lượng). Hãy xác định lượng cung tối ưu của mỗi cơ sở và giá cân bằng thị trường. 
Câu 3. Cho mô hình 
Y C I;= + 
0C C aY, (0 a 1);= + < < 
0I I br, (b 0);= − > 
0L L mY nr, (m,n 0);= + − > 
sM L.= 
Trong đó Y là thu nhập quốc dân, I là đầu tư, C là tiêu dùng, L là mức cầu tiền, sM là mức 
cung tiền, r là lãi suất. 
1) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng. 
2) Cho 0 0a 0,7; b 1800; C 500; I 400;= = = = 0L 800; m 0,6;= = n 1200;= 
208 
sM 2000= . Tính hệ số co dãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại điểm 
cân bằng và nêu ý nghĩa. 
Câu 4. Cho hàm sản xuất của hãng 3 2 4Q 300 K L= , biết giá thuê một đơn vị tư bản K bằng 
100, giá thuê một đơn vị lao động bằng 150, giá sản phẩm bằng 1. Hãy xác định mức sử 
dụng K và L để hãng thu được lợi nhuận tối đa. 
Câu 5. Cho biết hàm cầu và hàm cung: 
 ( )1D Q 276 2Q− = − ; ( )1S Q 6 Q− = + . 
Hãy tính thặng dư của người sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
209 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, 
Phạm Bảo Lâm, Nguyễn Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng – 
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& 
NXB Thống kê, 2007 
[2] Bộ môn toán cơ bản – Bài tập toán cao cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008. 
[3] Nguyễn Huy Hoàng – Toán cơ sở cho kinh tế, NXB Thông tin và Truyền thông, 
2011& NXB GD, 2014. 
[4] Nguyễn Thị An, Nguyễn Huy Hoàng, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Sau đại học 
(2006 – 2012), Môn Toán Kinh tế (Phần Toán cơ sở cho Kinh tế), NXB Chính trị 
– Hành chính, 2012. 
[5] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business, 
Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc 
(Expanded 10th ed), 2010. 
[6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, 
Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, 
England (second edition), 2011. 
[7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, 
Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, 
Massachusetts, London, England (second edition), 2011. 
[8] A. C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, 
Inc., 3rd edition, 1984. 
[9] A. C. Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of 
Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005.