Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị (Phần 1)

g mức tiết kiệm sẽ là S 40= khi mức thu nhập Y 10.= 
Giải 
Ta có 
 ( ) ( ) 2S Y 8 0,4Y dY 8Y 0,2Y C= − + = − + +∫ 
Mức tiết kiệm là S 40= khi thu nhập Y 10= : ( )S 10 40 C 100= ⇔ = 
Vậy hàm tiết kiệm trong trường hợp này là: 
 ( ) 2S Y 100 8Y 0,2Y .= − + 
Ví dụ 43. Một doanh nghiệp có hàm doanh thu cận biên: ( ) 2MR Q 960 0,15Q .= − Hãy 
tìm tổng doanh thu nếu doanh nghiệp định giá sản phẩm là 715. 
Giải 
 Hàm tổng doanh thu ( )TR Q là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên: 
 ( ) ( )2 3TR Q 960 0,15Q dQ 960Q 0,05Q C= − = − +∫ 
Hiển nhiên khi Q 0= doanh thu bán hàng là ( )TR 0 0 C 0.= ⇔ = 
Vậy 
 ( ) 3TR Q 960Q 0,05Q= − 
Gọi ( )P P Q= là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu ( )Q D P .= 
Ta có hàm doanh thu được tính như sau: ( ) ( )TR Q P Q Q= ⋅ 
Suy ra 
 ( ) ( ) 2TR QP Q 960 0,05Q .Q= = − 
Với 2P 715 960 0,05Q 715 Q 70= ⇔ − = ⇔ = 
Vậy tổng doanh thu: TR PQ 715 70 50050.= = ⋅ = 
67 
2.3.2. Bài toán tìm hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư 
Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung vốn) và quỹ vốn K là các hàm số của biến 
thời gian t : 
 ( ) ( )I I t , K K t= = 
Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ ( ) ( )/I t K t= (lượng đầu tư tại thời điểm t, biểu 
thị tốc độ tăng vốn tại thời điểm đó), do đó nếu biết hàm đầu tư ( )I t thì hàm quỹ vốn 
( )K t được xác định như sau: 
 ( ) ( ) ( )/K t K t dt I t dt= =∫ ∫ 
Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác định nếu ta biết quỹ vốn tại một 
thời điểm nào đó. 
Ví dụ 44. Cho hàm đầu tư sau 1/2I(t) 3t= (nghìn đô la một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm 
t 1= là ( )K 1 10= (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ vốn ( )K t và lượng vốn tích lũy 
được từ tháng thứ 4 đến tháng thứ 9. 
Giải 
Quỹ vốn tại thời điểm t là: 
 ( ) 1/2 3/2K t 3t dt 2t C= = +∫ . 
Tại thời điểm t 1= thì ( )K 1 2 C 10= + = , do đó: C = 8 
 ( ) 3/2K t 2t 8= + (nghìn đô la) 
Lượng vốn tích lũy được từ tháng thứ 4 đến tháng thứ 9 được tính theo công thức: 
 ( ) ( )
93
2
4
K 9 K 4 2t 38− = = (nghìn đô la). 
Ví dụ 45. Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t được xác định dưới dạng hàm số 
 ( ) 0,75I t 140t= 
và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) 150.= Hãy xác định hàm quỹ vốn ( )K t . 
Giải 
Quỹ vốn tại thời điểm t là: 
 ( ) 3/4 7/4K t 140t dt 80t C= = +∫ . 
68 
Tại thời điểm xuất phát K(0) C 150= = , do đó 
 ( ) 4 7K t 80 t 150= + (nghìn đô la). 
2.3.3. Tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS) 
Cho hàm cầu ( )DQ D P= hoặc hàm cầu đảo ( )1 DP D Q−= (hàm ngược của hàm cầu 
( )DQ D P= ). Giả sử điểm cân bằng của thị trường là ( )0 0P , Q và hàng hoá được bán với 
giá 0P . Khi đó thặng dư của người tiêu dùng được tính theo công thức: 
 ( )
0Q
1
0 0
0
CS D Q dQ P Q .−= −∫ 
Cho hàm cung ( )SQ S P= hoặc hàm cung đảo ( )1 SP S Q .−= Nếu hàng hoá được bán 
ở mức giá cân bằng 0P thì thặng dư của nhà sản xuất được tính theo công thức: 
 ( )
0Q
1
0 0
0
PS P Q S Q dQ.−= − ∫ 
Ví dụ 45. Cho các hàm cung và cầu sau: 
 SQ P 2 1= − − , DQ 43 P 2= − − . 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Giải 
 Các hàm cầu đảo và cung đảo lần lượt là: 
 ( )1 2D Q 43 (Q 2)− = − + , ( )1 2S Q (Q 1) 2− = + + 
Sản lượng cân bằng 0Q là nghiệm dương của phương trình: ( ) ( )1 1D Q S Q− −= 
Suy ra: 
 0Q 3= và 0P 18= 
Thặng dư nhà sản xuất được tính theo công thức: 
 ( )
3
2
0
PS 18 3 Q 1 2 dQ 27. = × − + + =
 ∫ 
Thặng dư người tiêu dùng được tính theo công thức: 
 ( )
3
2
0
CS 43 Q 2 dQ 18 3 36. = − + − × =
 ∫ 
69 
2.3.4. Bài tập 
Bài số 1. Cho hàm sản phẩm cận biên của lao động: ( )
2
3MPL L 60.L .
−
= Hãy tìm hàm 
sản xuất ngắn hạn ( )Q f L ,= biết ( )Q 100 10000.= 
Đáp số: ( ) 3 3Q L 180 L 10000 180 100.= + − 
Bài số 2. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q như sau: 
 ( ) 2MC Q 120 40Q 0,3Q= − + và chi phí cố định: FC 300= 
1) Hãy tìm hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biến. 
2) Tính giá trị chi phí cận biên tại mức sản lượng 0Q 140= và nêu ý nghĩa. 
Đáp số: 1) 3 2 3 2TC(Q) 0,1Q 20Q 120Q 300; VC 0,1Q 20Q 120Q= − + + = − + ; 
 2) MC(140) 400.= 
Bài số 3. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q : ( ) 0,3QMC Q 15e= và chi phí 
cố định: FC 120.= Hãy tìm hàm tổng chi phí. 
Đáp số: 0,3QTC 50e 70.= + 
Bài số 4. Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q : ( ) 0,4QMR Q 40Q 16e .= − 
Hãy tìm hàm tổng doanh thu. 
Đáp số: 2 0,4QTR 40 20Q 40e .= + − 
Bài số 5. Cho biết hàm doanh thu cận biên: ( ) 2MR Q 84 4Q Q .= − − Hãy cho biết hàm 
tổng doanh thu ( )TR Q và hàm cầu. 
Đáp số: 2 3 21 1TR 84Q 2Q Q ; P 84 2Q Q .
3 3
= − − = − − 
Bài số 6. Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên ( )MPC Y 0,8= ở mọi mức thu nhập Y và 
C 800= khi Y 0.= Hãy xác định hàm tiêu dùng ( )C Y . 
Đáp số: ( )C Y 0,8Y 800.= + 
Bài số 7. Cho biết xu hướng tiết kiệm cận biên ( ) 0,5MPS Y 0,9Y−= ở mọi mức thu nhập 
Y và S 500= khi Y 100.= Hãy xác định hàm tiết kiệm ( )S Y . 
70 
Đáp số: 0,59S(Y) Y 482.
5
= + 
Bài số 8. Cho Y là thu nhập, S là tiết kiệm. Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S 7,42= − khi 
thu nhập Y 5.= 
1) Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên là 
( )MPS Y Y 0,4.= − 
2) Kể từ mức thu nhập dương nào trở nên sẽ có mức tiết kiệm dương? 
Đáp số: 1) 
2YS(Y) 0,4Y 17,92;
2
= − − 2) Y 6, 2.> 
Bài số 9. Tìm hàm tổng nhập khẩu ( )M Y với Y là thu nhập quốc dân nếu khuynh hướng 
nhập khẩu cận biên là ( )/M Y 0,1= và M 20= khi Y 0.= 
Đáp số: ( )M Y 0,1Y 20.= + 
Bài số 10. Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q : 
 ( ) ( )2
10MR Q .
1 Q
=
+
1) Hãy tìm hàm tổng doanh thu. 
2) Tại mức sản lượng Q 4.= Nếu tăng giá 1% thì sản lượng thay đổi như thế nào? 
Đáp số: 1) ( ) 10QTR Q ;
1 Q= + 2) Sản lượng giảm 1,25%. 
Bài số 11. Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q của một doanh nghiệp 
như sau: 
 ( ) 2MR Q 1800 1,8Q .= − 
1) Hãy tìm hàm tổng doanh thu 
2) Hãy cho biết tại mức sản lượng Q 10.= Nếu doanh nghiệp giảm giá 1% thì mức 
cầu sẽ biến động như thế nào? 
Đáp số: 1) 3TR 1800Q 0,6Q= − ; 2) Sản lượng tăng 14,5%. 
Bài số 12. Cho Y là thu nhập, S là tiết kiệm. Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S 0= khi thu 
nhập Y 81.= Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên là 
( ) 0,5MPS Y 0,3 0,1Y−= − 
71 
Đáp số: ( ) 0,5S Y 0,3Y 0,2Y 22,5.= − − 
Bài số 13. Cho biết hàm đầu tư: 5 3I 40 t .= 
Hãy cho biết hàm quỹ vốn ( )K t , biết rằng quỹ vốn tại thời điểm t 0= là 75. 
Đáp số: 85K(t) 25 t 75.= + 
Bài số 14. Cho biết hàm đầu tư 3I 60 t= và quỹ vốn tại thời điểm t 1= là 85. Hãy cho 
biết hàm quỹ vốn ( )K t . 
Đáp số: 43K(t) 45 t 40.= + 
Bài số 15. Cho biết hàm đầu tư: 3I 12 t= ( t là biến thời gian). 
1) Hãy cho biết hàm quỹ vốn ( )K t , biết rằng ( )K 0 25.= 
2) Xác định tổng lượng vốn tích lũy được trong khoảng thời gian [ ]t 1,10 .∈ 
Đáp số: 1) 43K(t) 9 t 25;= + 2) 185. 
Bài số 16. Cho biết hàm cầu: 2P 42 5Q Q .= − − Giả sử giá cân bằng là 0P 6.= Hãy tính 
thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: 248CS .
3
= 
Bài số 17. Cho biết hàm cầu và hàm tổng chi phí như sau 
 P 110 Q= − và 3 2TC Q 25Q 2Q 3000; Q 0= − + + > 
1) Tìm sản lượng Q và giá bán P để lợi nhuận cực đại. 
2) Tìm thặng dư của người tiêu dùng tại mức sản lượng để lợi nhuận cực đại. 
Đáp số: 1) maxQ 18, P 92, 888= = pi = ; 2) CS 162.= 
Bài số 18. Cho hàm cầu và hàm tổng chi phí 
 P 124 2Q= − và ( ) 3 2TC Q 2Q 59Q 4Q 7600; Q 0= − + + > 
1) Hãy xác định mức sản lượng Q để tối đa hóa lợi nhuận. 
2) Tính thặng dư của người tiêu dùng tại điểm tối đa hóa lợi nhuận. 
Đáp số: 1) max (20) 1600pi = pi = ; 2) CS 400.= 
Bài số 19. Cho biết hàm cầu và hàm cung đảo: 
72 
( ) ( )1 2 1 21D Q 65 Q ; S Q Q 2Q 5
3
− −
= − = + + 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: CS 144; PS 84.= = 
Bài số 20. Cho biết hàm cầu và hàm cung: 
 ( )1 2D Q 0,1Q 90− = − + ; ( )1 2S Q 0,2Q Q 50− = + + . 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: 200 550CS ; PS .
3 3
= = 
Bài số 21. Cho biết hàm cầu và hàm cung: 
 ( )1 21D Q 131 Q
3
−
= − ; ( )1 22S Q 50 Q
3
−
= + . 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: CS 162; PS 324.= = 
Bài số 22. Cho biết hàm cầu và hàm cung: 
 ( )1D Q 245 2Q− = − ; ( )1S Q 5 Q− = + . 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: CS 3,29; PS 50.= = 
Bài số 23. Cho biết hàm cầu và hàm cung: 
 ( )1 16D Q 3Q 2
−
= −
+
; ( ) ( )1 1S Q Q 1
3
−
= + . 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: 2CS 16ln 2 8; PS .
3
= − = 
Bài số 24. Cho biết hàm cầu và hàm cung: 
 DQ 113 P= − ; SQ P 1.= − 
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 
Đáp số: 686 833CS ; PS .
3 3
= = 
73 
2.4. Phương trình vi phân và áp dụng kinh tế 
2.4.1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá 
Chúng ta đã biết công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá như sau: 
 ( )/ DD D
D D
P dQ PQ P Q dP Qε = ⋅ = ⋅ 
 D
D
dQ dP
Q P⇔ = ε ⋅ (*) 
Trong đó: DQ là lượng cầu, P là giá sản phẩm. 
Cách giải 
Lấy tích phân 2 vế của phương trình (*), ta có 
D
D
D
dQ dP
Q P= ε∫ ∫ 
Suy ra 
 D D
dPln Q
P
= ε∫ 
Lưu ý. 
Để xác định hằng số C trong tích phân bất định, ta cần có thông tin về lượng cầu 
của một mức giá cụ thể. 
Ví dụ 46. Cho hệ số co dãn của hàm cầu là: D 2ε = − 
Tìm hàm cầu DQ biết rằng ( )Q 1 20.= 
Giải 
Từ hệ số co dãn ta có 
dQ P dQ dP2 2
dP Q Q P⋅ = − ⇔ = − 
Suy ra 
2Pln Q 2ln P C Q A −= − + ⇔ = ( A là hằng số) 
Từ giả thiết 
( )1Q 20 20 A A 20= ⇔ = ⇔ = 
Vậy 
2Q 20P−= . 
74 
Ví dụ 47. Cho hệ số co dãn của hàm cầu là 
 D
2P
2000 2P
−
ε =
−
Tìm hàm cầu DQ biết rằng ( )Q 0 2000.= 
Giải 
Từ hệ số co dãn ta có 
dQ P 2P dQ dP
dP Q 2000 2P Q 1000 P
− −
⋅ = ⇔ =
− −
Suy ra 
 ( )ln Q ln 1000 P C Q A 1000 P= − + ⇔ = − ( A là hằng số) 
Từ giả thiết 
( )0Q 2000 2000 1000A A 2= ⇔ = ⇔ = 
Vậy 
 Q 2000 2P= − . 
2.4.2. Biến động của giá trên thị trường theo thời gian 
Giả sử một sản phẩm đang được lưu thông trên thị trường với hàm cung SQ và hàm 
cầu DQ . Gọi 0 0P , Q lần lượt giá và lượng cân bằng. Nếu tại thời điểm bắt đầu việc nghiên 
cứu ( ) 0t 0, P 0 p= = thì thị trường đã đạt được sự cân bằng. Nhưng nếu ( ) 0P 0 p≠ , nghĩa 
là thị trường chưa đạt được sự cân bằng. Để đạt được sự cân bằng cần có thời gian để điều 
chỉnh, khi đó S DP, Q , Q là các hàm theo thời gian t. Vấn đề đặt ra là sự điều chỉnh giá P 
có đạt được mức giá cân bằng thị trường theo thời gian hay không? Nghĩa là 
t
lim P(t) P(0)
→+∞
= . 
 Sự thay đổi của giá phụ thuộc lượng cung, cầu trên thị trường, để đơn giản chúng 
ta giả thiết rằng tỷ lệ của sự thay đổi giá tại mọi thời điểm tỷ lệ thuận với độ chênh lệch 
giữa cầu và cung ( )D SQ Q− tại thời điểm đó. 
 Nếu như vậy ta có thể diễn tả bằng phương trình: 
 ( )D SdP Q Qdt = ∆ − (*) 
Trong đó 0∆ > là một hằng số thích hợp, gọi là hệ số điều chỉnh 
75 
Lưu ý. Khi dP 0
dt
= khi và chỉ khi S DQ Q= . Điều đó có nghĩa là 
dP 0
dt
= xảy ra tại mọi 
thời điểm cân bằng. 
Giải phương trình vi phân (*) ta tìm được hàm ( )P t . 
Ví dụ 48. Cho hàm cung và hàm cầu 
 S DQ 3P 60; Q 30 P= − = − 
Nếu D SQ Q= thì giá cân bằng 0
45P
2
= 
Giả sử ( )D SdP 1 Q Qdt 2= − và ( )P 0 30= 
Từ 
( )D SdP 1 dPQ Q 45 2Pdt 2 dt= − ⇔ = − 
/P 2P 45⇔ + = (*) 
+) Bước 1. Một nguyên hàm của 2 là 2t 
+) Bước 2. Chọn thừa số tích phân: 2te 
+) Bước 3. Nhân 2 vế của (*) cho 2te ta được 
2t / 2t 2te P e 2P 45e+ = 
( )/2t 2te P 45e⇔ = (**) 
+) Bước 4. Lấy tích phân 2 vế của (**), ta được 
2t 2t45e P e C
2
= + 
Suy ra 2t45P(t) Ce
2
−
= + (C là hằng số) 
Từ giả thiết : 45 15P(0) 30 C 30 C
2 2
= ⇔ + = ⇔ = 
Vậy 
( ) 2t45 15P t e
2 2
−
= + 
Nhận thấy : ( ) 0
t
45lim P t P .
2→+∞
= = 
76 
Ví dụ 49. Cho hàm cung và hàm cầu 
 S DQ P 20; Q 60 2P= − = − 
Tìm hàm giá phụ thuộc vào thời gian t, biết rằng ( )P 0 40= và ( )P 2 30.= 
Giải 
Ta có 
 ( )D SdP k Q Qdt = − 
Thay hàm cung hàm cầu vào, ta có 
( )dP k 80 3P
dt
= − 
/P 3kP 80k⇔ + = (*) 
+) Bước 1. Một nguyên hàm của 3k là 3kt 
+) Bước 2. Chọn thừa số tích phân: 3kte 
+) Bước 3. Nhân 2 vế của (*) cho 3kte ta được 
3kt / 3kt 3kte P e 3kP 80ke+ = 
( )/3kt 3kte P 80ke⇔ = (**) 
+) Bước 4. Lấy tích phân 2 vế của (**), ta được 
3kt 3kt80e P e C
3
= + 
Suy ra 3kt80P(t) Ce
3
−
= + (C là hằng số) 
Từ giả thiết : 80 40P(0) 40 C 40 C
3 3
= ⇔ + = ⇔ = 
Ta có 
3kt80 40P(t) e
3 3
−
= + 
Từ giả thiết : 6k80 40P(2) 30 e 30 k 0,231
3 3
−
= ⇔ + = ⇔ = 
Vậy 
0,693t80 40P(t) e .
3 3
−
= + 
77 
2.4.3. Bài tập 
Bài số 1. Tìm hàm cầu DQ cho biết hệ số co dãn của cầu theo giá là 
2
D
5P 2P
Q
+
ε = − 
và lượng cầu ở mức giá P 10= là 500. 
Đáp số: 2Q(P) 650 5P P .= − − 
Bài số 2. Biết hệ số co dãn của cầu theo giá là: 
2
D
6P 4P
Q
−
ε = 
Hãy tìm hàm cầu, biết rằng Q 700= khi P 10.= 
Đáp số: 2Q 6P 2P 840.= − + 
Bài số 3. Tìm hàm cầu biết hệ số co dãn của cầu theo giá là D 2ε = − , và ở mức giá P 2= 
thì lượng cầu Q 100.= 
Đáp số: 2Q 400P .−= 
Bài số 4. Cho hàm cung và hàm cầu: S DQ P 200; Q 4200 P.= − = − Tìm hàm giá phụ 
thuộc vào thời gian t, biết rằng hệ số điều chỉnh 1
2
∆ = và ( )P 0 3000.= 
Đáp số: tP(t) 2200 800e .−= + 
Bài số 5. Cho hàm cung và hàm cầu: D SQ 8 2P; Q 2 P.= − = + Tìm hàm giá phụ thuộc vào 
thời gian t, biết rằng ( )P 0 5= và ( )P 2 3.= 
Đáp số: 0,549tP(t) 2 3e .−= + 
Bài số 6. Cho hàm cung và hàm cầu: D SQ 7 P; Q 1 P.= − = + Tìm hàm giá phụ thuộc vào 
thời gian t, biết rằng ( )P 0 6= và ( )P 4 4.= 
Đáp số: 0,2747tP(t) 3 3e .−= + 
Bài số 7. Cho hàm cung và hàm cầu: D SQ 11 3P; Q 5 P.= − = + Tìm hàm giá phụ thuộc 
vào thời gian t, biết rằng ( )P 0 10= và ( )P 3 7.= 
Đáp số: 0,1451t3 17P(t) e .
2 2
−
= + 
78 
Thuật ngữ chính chương 2 
Tiếng Anh Tiếng Việt 
Average Cost 
Compound Interest 
Consumers’ Surplus 
Differential equations of the first order 
Linear differential equations 
Elasticity coefficient 
Elasticity of demand 
Fixed Cost 
Future Value 
Marginal Cost 
Marginal product of labor 
Marginal product of Capital 
Marginal Propensity to Consume 
Marginal Propensity to Save 
Marginal Profit 
Marginal Revenue 
Net Present Value 
Product 
Profit 
Production Cost 
Producers’ Surplus 
Present Value 
Revenue 
Single Interest 
The Law of diminishing returns 
Total Cost 
Total Revenue 
Variable Cost 
Chi phí bình quân 
Lãi kép 
Thặng dư của người tiêu dùng 
Phương trình vi phân cấp 1 
Phương trình vi phân tuyến 
Hệ số co dãn 
Độ co dãn của cầu 
Chi phí cố định 
Giá trị tương lai 
Chi phí cận biên 
Sản phẩm cận biên của lao động 
Sản phẩm cận biên của vốn 
Xu hướng tiêu dùng cận biên 
Xu hướng tiết kiệm cận biên 
Lợi nhuận cận biên 
Doanh thu cận biên 
Hiện giá thuần 
Sản phẩm 
Lợi nhuận 
Chi phí sản xuất 
Thặng dư của nhà sản xuất 
Giá trị hiện tại 
Doanh thu 
Lãi đơn 
Quy luật lợi ích cận biên giảm dần 
Tổng chi phí 
Tổng doanh thu 
Chi phí biến đổi