Định lí điểm bất động với điều kiện co kiểu pata trong không gian b-mêtric sắp thứ tự

 )
k k
d x x K y e
-
£ với mọi e Î [0,1]. Cho 0,e = ta được y
-
£ =
1
( , ) (0) 0.
k k
d x x K Suy 
ra 
1
( , ) 0.
k k
d x x
-
= Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, 
1
{ ( , )}
n n
d x x
+
 là dãy giảm. Khi đó, 
tồn tại * 0d ³ để *
1
lim ( , ) .
n nn
d x x d
+® ¥
= Đặt 
0
( , ).
n n
c d x x= Vì 
1
{ ( , )}
n n
d x x
+
 là dãy giảm 
nên 
1 1 0 1 1
( , ) ( , ) ... ( , ) .
n n n n
d x x d x x d x x c
+ -
£ £ £ = (2.2) 
Do đó 
1 1 0 0 0 1 1 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( c ).
n n n n n n n
d x x d x x sd x x sd x x sd x x sd x x s c
+ +
+ £ + + + £ +
(2.3) 
Từ (2.1), (2.2) và (2.3), ta có 
0
1 1 0
2 2
1 1 1 1 0
2 2
1 1 1 1
2 2
1 0
2 2
1 0 0 0 0
2
1
( , )
 ( , ) ( , )
 ( , ) ( , ) ( , )
 ( , )
 ( ) ( , )
 ( ) (1 ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , )
 ( ) (1
n n
n n n
n n n
n
n
n n
c d x x
sd x x sd x x
sd x x s d x x s d x x
sc s d x x s c
s s c s d fx fx
s s c d x x s d x x d x x
s s c
b
ae ge y e
e
+ +
+ +
+
=
£ +
£ + +
£ + +
= + +
é ù£ + + - + + +ê úë û
£ + + - ) ( )(1 ) .
n n
c ca age y e+ +
Do đó 2
1
( ) ( ) 1 .
n n
c s s c c
a
ae ge y e é ù£ + + +ê úë û
 Áp dụng Bổ đề 1.4, suy ra tồn tại hai 
số dương ,c d sao cho 
2
1
( ) ( )(1 ) ( ) .
n n n
c s s c c c c da a a ae ge y e e y e£ + + + £ + 
Giả sử { }
n
c không bị chặn. Khi đó, tồn tại dãy con 
i
n
c ® ¥ thỏa mãn 
( ) .
i i
n n
c c c da ae e y e£ + Chọn 
1
,
i
i
n
d
c
e e
+
= = ta có 
1 1
1 .
i
i i
n
n n
d d
d c c d
c c
a
ay
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç+ £ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
Điều này dẫn đến ( )
1
1 1 .
i
n
d
c d
c
a
y
æ ö÷ç + ÷ç£ + ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 Vì 
i
n
c ® ¥ nên ( )
1
1 1 0.
i
n
d
c b
c
a
y
æ ö÷ç + ÷ç£ + ®÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Điều này là một mâu thuẫn. Vậy { }
n
c là dãy bị chặn. Mặt khác, từ (2.1), ta có 
1 1 1 1 0 02
1
( , ) ( , ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .
n n n n n n n n
d x x d fx fx d x x d x x d x x
s
b
ae ge y e
+ - - -
- é ù= £ + + +ê úë û
Do { }
n
c bị chặn nên tồn tại 0M ³ sao cho 
n
c M£ với mọi .n Î ¥ Do đó, 
1 0 0
1 ( , )+ ( , ) (1 2 ) .
n n
d x x d x x M
b
b
-
é ù+ £ +ê úë û
 Đặt (1 2 ) 0.K M bg= + ³ Ta có 
1 12
1
( , ) ( , ) ( ).
n n n n
d x x d x x K
s
ae e y e
+ -
-
£ + 
185 
Cho ,n ® ¥ ta có 
* * *
2
1
( ) (1 ) ( ).d d K d K
s
a ae e y e e e y e
-
£ + £ - + 
Suy ra * ( ) ( ).d K Kae e y e ey e£ £ Do đó, * ( ) 0d Ke y eé ù- £ê úë û
 với mọi [0,1].e Î 
Vì vậy * ( ) 0d K y e- £ với mọi [0,1].e Î Điều này dẫn đến * ( )d K y e£ với mọi 
e Î [0,1]. Cho 0,e = ta có y£ =* (0) 0.d K Vì vậy * 0.d = 
Tiếp theo, ta chứng minh { }
n
x là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại { }
n
x không là 
dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại 0d > và hai dãy con 
( ) ( )
{ },{ }
n k m k
x x sao cho 
( ) ( )m k n k k³ ³ và 
( ) ( )
( , ) .
n k m k
d x x d³ (2.4) 
Với mỗi ,k ( )n k ta chọn ( )m k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (2.4). Suy 
ra 
( ) ( ) 1
( , ) .
n k m k
d x x d
-
< Khi đó 
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
n k m k n k m k m k m k m k m k
d x x sd x x sd x x s sd x xd d
- - -
£ £ + < + 
Cho ,k ® ¥ ta có 
( ) ( )
lim sup ( , ) .
n k m k
k
d x x sd
® ¥
£ 
Tương tự, ta cũng có 
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
( , ) ( , ) ( , )
n k m k n k n k n k m k
d x x sd x x sd x xd
+ +
£ £ + 
Cho ,k ® ¥ ta có 
( ) 1 ( )
limsup ( , ) .
n k m k
k
d x x
s
d
+
® ¥
³ 
Mặt khác, trong (2.1), thay x bởi 
( )n k
x và y bởi 
( ) 1m k
x
-
, ta có 
( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1
( ) ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 02
( , ) ( , )
1
 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .
n k m k n k m k
n k m k n k m k
d x x d fx fx
d x x d x x d x x
s
b
ae ge y e
+ -
- -
=
- é ù£ + + +ê úë û
Do { }
n
c bị chặn nên tồn tại 0M ³ sao cho 
n
c M£ với mọi .n Î ¥ Do đó, 
( ) 0 ( ) 1 0
1 ( , ) ( , ) (1 2 ) .
n k m k
d x x d x x M
b
b
-
é ù+ + £ +ê úë û
 Đặt (1 2 ) 0.K M bg= + > Khi đó 
( ) 1 ( ) ( ) ( ) 12
1
( , ) ( , ) ( ).
n k m k n k m k
d x x d x x K
s
ae e y e
+ -
-
£ + (2.5)
Cho k ® ¥ trong (2.5), ta được 
2
1 1
( ) ( ).K K
s ss
a ad e ed e y e d e y e
- -
£ + £ + 
186 
Suy ra ( ) ( ) ( ).sK K Ka aed e y e e y e ey e£ £ £ Do đó, ( ) 0Ke d y eé ù- £ê úë û với mọi 
[0,1].e Î Vì vậy ( ) 0Kd y e- £ với mọi [0,1].e Î Điều này dẫn đến ( )Kd y e£ với 
mọi e Î [0,1]. Cho 0,e = ta có d y£ =(0) 0.K Suy ra 0.d = Điều này là một mâu 
thuẫn. Do đó, { }
n
x là dãy Cauchy. Do ( , , )X d s là không gian b -mêtric đầy đủ nên tồn 
tại z XÎ để lim .
nn
x z
® ¥
= Điều này dẫn đến 
0
lim .n
n
f x z
® ¥
= 
Giả sử f là ánh xạ liên tục. Khi đó, 
1
lim lim (lim )
n n nn n n
z x fx f x fz
+® ¥ ® ¥ ® ¥
= = = = hay 
z là điểm bất động của .f 
Giả sử giả thiết ( )H được thỏa mãn. Do { }
n
x là dãy tăng và lim
nn
x z
® ¥
= nên 
.
n
x z°
Do đó, trong (2.1), thay x bởi 
n
x và y bởi z , ta được 
1 0 02
1
( , ) ( , ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .
n n n n
d x fz d fx fz d x z d x x d z x
s
b
ae ge y e
+
- é ù= £ + + +ê úë û
 (2.6) 
Cho n ® ¥ trong (2.6) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta có 
0 0
( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .d z fz s sd z x d z x
b
age y e é ù£ + +ê úë û
Cho 0,e = ta có ( , ) 0.d z fz £ Vì vậy fz z= hay z là điểm bất động của .f 
Định lí sau thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh 
xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ. 
Định lí 2.2. Cho ( , , , )X d s ° là một không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ và 
:f X X® là một ánh xạ tăng sao cho 
 (1) Các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. 
 (2) Với mọi ,u v là điểm bất động của ,f tồn tại w XÎ sao cho w so sánh 
được với ,u v và .w fw° 
Khi đó, f có điểm bất động duy nhất. 
Chứng minh. Theo chứng minh của Định lí 2.1, f có điểm bất động. Giả sử 
,u v là hai điểm bất động của .f Khi đó, tồn tại w XÎ sao cho w so sánh được với 
,u v và .w fw° Do w fw° nên bằng cách xem w là 
0
x trong Định lí 2.1, ta có 
lim .n
n
f w z
® ¥
= Ta sẽ chứng minh .u v z= = 
Trước hết, ta chứng minh .u z= Giả sử .w u° Do f là hàm tăng nên fw fu° 
và do đó 2 2 .f w f u° Tiếp tục quá trình này, ta được n nf w f u° với 1.n ³ Do đó, từ 
(2.1), ta có 
1 1
1 1 1 1
0 02
( , ) ( , )
1
 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , )
n n n
n n n n
d u f w d ff u ff w
d f u f w d f u x d f w x
s
b
ae ge y e
- -
- - - -
=
- é ù£ + + +ê úë û
 1 1 1
0 02
1
( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .n n nd u f w d f u x d f w x
s
b
ae ge y e- - -
- é ù= + + +ê úë û
 (2.7) 
187 
Cho n ® ¥ trong (2.7) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta được 
0 0
1 1
( , ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .d u z d u z d u x sd z x
s s
b
ae ge y e
- é ù£ + + +ê úë û
Suy ra ( , ) ( )d u z N ae e y e£ với 
0 0
1 ( , ) ( , ) 0.N s d u x sd z x
b
g é ù= + + >ê úë û
 Điều này 
dẫn đến ( , ) ( )d u z N y e£ với mọi e Î [0,1]. Cho 0,e = ta có ( , ) (0) 0.d u z K y£ = Suy 
ra ( , ) 0d u z = hay .u z= 
Bằng cách tương tự, ta cũng chứng minh được .v z= Vậy .u v= 
Nhận xét 2.3. Vì mỗi mêtric là một b -mêtric với 1s = nên từ Định lí 2.1 ta 
nhận được [10, Theorem 3.1]. 
Tiếp theo, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho sự tồn tại điểm bất động của 
ánh xạ thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.1. Hơn nữa, ví dụ này cũng chứng tỏ rằng 
Định lí 2.1 là một mở rộng của [10, Theorem 3.1]. 
Ví dụ 2.4. Cho {1,2, 3, 4, 5}X = với thứ tự thông thường £ trên ¡ và ánh xạ 
: [0, )d X X´ ® ¥ xác định bởi 
ìï =ïïï Îïïï= Îí
ïï Îïïïïïïî
0 neáu 
1 neáu ( , ) {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}
( , ) 2 neáu ( , ) { (2,3),(3,2)}
38 neáu ( , ) { (1,4),(4,1),(1,5),(5,1)}
18 tröôøng hôïp coøn laïi.
x y
x y
d x y x y
x y
Khi đó, ( , , , )X d s ° là không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ với 2.s = Xét ánh 
xạ :f X X® xác định bởi 1 2 3 4 1, 5 3.f f f f f= = = = = Chọn 
0
1.x = Ta có 
0 0
.x fx£ Chọn 1a b g= = = và ( )t ty = với [0,1].t Î Khi đó, với mọi 
( , )x y X XÎ ´ mà x y£ và với mọi [0,1],e Î ta xét các trường hợp sau. 
Trường hợp 1. x y= hoặc ( , ) {(1,2),(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 4)}.x y Î Khi đó 
0 02
1
( , ) 0 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .
2
d fx fy d x y d x x d y x
b
ae ge y e
- é ù= £ + + +ê úë û 
Trường hợp 2. ( , ) (1,5).x y = Khi đó ( , ) 1d fx fy = và 
2 2
0 02
1 19 2071
( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) (4 ) 23 .
16 2562
d x y d x x d y x
b
ae ge y e e e
- é ù+ + + = - + +ê úë û 
Trường hợp 3. ( , ) {(2,5),(3,5)}.x y Î Khi đó ( , ) 1d fx fy = và 
2 2
0 02
1 3 63
( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) (3 ) 31 .
4 162
d x y d x x d y x
b
ae ge y e e e
- é ù+ + + = - + +ê úë û 
Trường hợp 4. ( , ) (4,5).x y = Khi đó ( , ) 1d fx fy = và 
188 
2 2
0 02
1 3 63
( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) (3 ) 68 .
4 162
d x y d x x d y x
b
ae ge y e e e
- é ù+ + + = - + +ê úë û 
Như vậy, từ các trường hợp trên ta có điều kiện (2) của Định lí 2.1 được thỏa 
mãn. Hơn nữa, f là ánh xạ tăng và liên tục. Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1 được 
thỏa mãn. Vì vậy, Định lí 2.1 áp dụng được cho ánh xạ .f 
Tuy nhiên, vì 38 (4,1) (4, 3) (3,1) 19d d d= > + = nên ánh xạ d không là một 
mêtric trên .X Do đó, [10, Theorem 3.1] không áp dụng được cho ánh xạ d đã chọn. 
Cuối cùng, chúng tôi vận dụng Định lí 2.1 để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương 
trình tích phân phi tuyến. 
Hệ quả 2.5. Cho [ , ]C a b là tập hợp các hàm số liên tục trên [ , ]a b , quan hệ thứ 
tự trên [ , ]C a b xác định bởi: x y° nếu ( ) ( )x t y t£ với mọi [ , ]t a bÎ và b -mêtric d với 
12ps -= trên [ , ]C a b xác định bởi 
[ , ]
( , ) sup | ( ) ( )|p
t a b
d x y x t y t
với mọi , [ , ]x y C a b và với 1.p Xét phương trình tích phân phi tuyến 
( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
x t g t K t s x s ds (2.8) 
trong đó [ , ],t a b : [ , ] ,g a b : [ , ] [ , ] ([ , ])K a b a b x a b với mỗi [ , ]x a b là các 
hàm số cho trước. Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn: 
(H1) g là hàm số liên tục trên [ , ]a b và mỗi [ , ],t a bÎ [ , ]x C a bÎ sao cho 
( , , ( ))K t s x s khả tích theo biến s trên [ , ].a b 
(H2) [ , ]T x C a bÎ với [ , ],x C a bÎ trong đó ( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
T x t g t K t s x s ds với 
[ , ].t a bÎ 
(H3) Với [ , ],t a bÎ , [ , ]x y C a bÎ mà ( ) ( )x u y u£ với mọi [ , ]u a bÎ , ta có 
( , , ( )) ( , , ( )).K t s x s K t s y s£ 
(H4) Tồn tại 
0
[ , ]x C a bÎ sao cho 
0 0
( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
x t g t K t s x s ds£ + ò với mọi 
[ , ].t a bÎ 
(H5) Với , [ , ]t s a bÎ và , [ , ]x y C a bÎ sao cho ( ) ( )x u y u° với mọi [ , ]u a bÎ , tồn 
tại hằng số 1a ³ và [0, ]b aÎ sao cho 
0 0
 ( , , ( )) ( , , ( ))
( , )(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
p
p p p
K t s x t K t s y t
t s x t y t x t x t y t x t
b
ax e e y e
-
é ù
£ - - + + - + -ê ú
ê úë û
với mọi [0,1],e Î trong đó : [ , ] [ , ] [0, )a b a bx ´ ® ¥ là hàm số liên tục thỏa mãn 
189 
2 2 1
[ , ]
1
sup ( , ) .
2 ( )
b
p p
t a b
a
s t ds
b a
x
- -
Î
£
-
ò 
Khi đó, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm [ , ].x C a bÎ 
Chứng minh. Xét ánh xạ : [ , ] [ , ]T C a b C a b xác định bởi 
( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
T x t g t K t s x s ds 
với mọi [ , ]t a b và [ , ].x C a b Khi đó, sự xác định của ánh xạ T được suy ra từ giả 
thiết (H1) và (H2). Hơn nữa, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T dẫn đến sự tồn tại 
nghiệm của phương trình tích phân (2.8). Do đó, ta sẽ chứng minh rằng các giả thiết 
của Định lí 2.1 được thỏa mãn. 
(1) Với , [ , ]x y C a bÎ mà ,x y° ta có ( ) ( )x s y s£ với mọi [ , ]s a bÎ . Do đó, từ giả 
thiết (H3), với mọi [ , ],t a bÎ ta có 
 ( ) ( ) ( , , ( )) ( ) ( , , ( )) .
b b
a a
T x t g t K t s x s ds g t K t s y s ds= + £ +ò ò 
Điều này dẫn đến T x T y° hay T là ánh xạ tăng. 
(2) Từ giả thiết (H4), ta suy ra tồn tại 
0
[ , ]x C a bÎ sao cho 
0 0
.x T x° 
(3) Lấy 1q sao cho 
1 1
1.
p q
 Từ giả thiết (H5), ta có 
 | ( ) ( )| ( , , ( )) ( , , ( ))
p
b b
p
a a
T x t T y t K t s x s ds K t s y s ds- £ -ò ò 
( , , ( )) ( , , ( ))
p
b
a
K t s x s K t s y s ds
æ ö÷ç ÷ç£ - ÷ç ÷ç ÷çè ø
ò 
1 1
( , , ( )) ( , , ( ))
p
b bq p
p
a a
ds K t s x s K t s y s ds
é ù
ê úæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç£ -÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è ø
ê úë û
ò ò 
1
0 0
( , )(1 )| ( ) ( )|
( )
( ) 1 | ( ) ( )| | ( ) ( )|
b
p
p a
b
p p
a
t s x t y t ds
b a
x t x t y t x t ds
b
a
x e
e y e
-
é ù
ê ú- -ê ú
ê ú£ - ê ú
ê úé ù+ + - + -ê úê úë ûê úë û
ò
ò
1
0 0
(1 )( ) ( , ) ( , )
 ( ) ( ) 1 ( , ) ( , )
b
p
a
p
b a d x y t s ds
b a d x x d y x
b
a
e x
e y e
-£ - -
é ù+ - + +ê úë û
ò
190 
0 02 2
1
( , ) ( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) .
2
p
p
d x y b a d x x d y x
b
ae e y e
-
- é ù£ + - + +ê úë û
Do đó, điều kiện (2.1) thỏa mãn với ( ) 0.pb ag = - ³ 
(4) [ , ]C a b là không gian b -mêtric đầy đủ với b -mêtric d đã chọn. Hơn nữa, giả 
sử { }
n
x là dãy tăng trong [ , ]C a b và lim .
nn
x x
® ¥
= Khi đó, với mỗi [ , ],t a bÎ ta có 
1 2
( ) ( ) ... ( ) ...
n
x t x t x t£ £ £ £ và lim ( ) ( ).
nn
x t x t
® ¥
= Do đó, với mỗi [ , ],t a bÎ ta có 
( ) ( )
n
x t x t£ với mọi .n Î ¥ Suy ra 
n
x x° với mọi .n Î ¥ Vậy giả thiết (H) trong 
Định lí 2.1 được thỏa mãn. 
Như vậy, các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Do đó, ánh xạ T có điểm 
bất động [ , ].x C a bÎ Vì vậy, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm 
[ , ].x C a bÎ 
Tài liệu tham khảo 
[1]. A. Aghajani, M. Abbas, and J. R. Roshan (2014), “Common fixed point of 
generalized weak contractive mappings in partially ordered b -metric spaces”, 
Math. Slovaca, 64(4), 941 – 960. 
[2]. J. R. Roshan, V. Parvaneh, S. Sedghi, N. Shobkolaei, and W. Shatanawi (2013), 
“Common fixed points of almost generalized ( , )
s
y j -contractive mappings in 
ordered b-metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., 2013:159, 1 – 23. 
[3]. M. Eshaghi, S. Mohseni, M. R. Delavar, M. D. L. Sen, G. H. Kim, and A. Arian 
(2014), “Pata contractions and coupled type fixed point”, Fixed Point Theory 
Appl., 2014:130, 1 – 10. 
[4]. N. T. Hieu and N. V. Dung (2015), “Some fixed point results for generalized 
rational type contraction mappings in partially ordered b-metric spaces”, Facta 
Univ. Ser. Math. Inform. 30(1), 49 – 66. 
[5]. P. Collaco and J. C. E. Silva (1997), “A complete comparison of 25 contraction 
conditions”, Nonlinear Anal., 30(1), 471 – 476. 
[6]. S. Balasubramanian (2014), “A Pata-type fixed point theorem”, Math. Sci., 
8(3), pp.65 – 69. 
[7]. S. Czerwik (1998), “Nonlinear set-valued contraction mappings in b -metric 
spaces”, Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 46(2), 263 – 276. 
[8]. T. V. An, N. V. Dung, Z. Kadelburg, and S. Radenovic (2015), “Various 
generalizations of metric spaces and fixed point theorems”, Rev. R. Acad. 
Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM, 109, 175 – 198. 
[9]. V. Pata (2011), “A fixed point theorem in metric spaces”, J. Fixed Point Theory 
Appl., 10, 299 – 305. 
[10]. Z. Kadelburg and S. Radennovic (2014), “Fixed point and tripled fixed point 
theorems under Pata-type conditions in ordered metric paces”, Int. J. Anal. Appl., 
6(1), 113 – 122.