Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Yên Hòa

 vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt 
phẳng vuông góc với đáy. M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , BC , SD . Tính khoảng cách giữa AP và 
MN . 
A. 
3
15
a
. B. 4 15a . C. 
3 5
10
a
. D. 
5
5
a
. 
Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác .ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 7a , đáy ABC là tam giác vuông tại 
A , AB a , 3AC a . Biết hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 
A. 
3
2
a . B. 
3
2
a
. C. 
2
3
a . D. 
3
2
a
. 
Câu 19. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có 4cmAB . Tam giác SAB đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABC . Lấy M thuộc SC sao cho 2CM MS . Khoảng cách giữa hai 
đường AC và BM là 
A. 
4 21
cm
7
. B. 
8 21
cm
21
. C. 
4 21
cm
21
. D. 
2 21
cm
3
. 
22 
Câu 20. Cho hình hộp .ABCD A B CD có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều bằng 60 . 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và .A C 
A. 
22
11
. B. 
2
11
. C. 
2
11
. D. 
3
11
. 
PHẦN II: TỰ LUẬN 
I. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 
Bài 1. Bằng phương pháp quy nạp toán học, hãy chứng minh các mệnh đề sau đúng *n N 
 a. 
1 2 3 2
... 2
2 4 8 2 2n n
n n 
b. 
1 1 1 1 13
...
1 2 3 2 24n n n n
 c. 
2(6 10.3 ) 11n n 
Bài 2. Cho dãy số nu xác định bởi 
1
1
1
1
3 2nn n
u
u u 
 1n . Chứng minh: 1 15.3 2n nnu
 *n N . 
Bài 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy nu cho bởi hệ thức: 
a. 
1
1
1
2 1; 1n n
u
u u n n 
b. 
1
1
2
3 1n n
u
u u 
1n 
 c. 
1
1
2
1
2 3 2n n
u
n
u u n 
 
Bài 4. Chứng minh dãy số nu với 
3 14
2
n
n
u
n
 là dãy số giảm và bị chặn. 
Bài 5. Cho dãy số (
nu ) với nu = 9 – 5n. 
a. Viết 5 số hạng đầu của dãy. 
b. CMR: dãy ( nu ) là cấp số cộng. Tìm 1u và công sai d. 
c. Tìm số hạng thứ 1000 của cấp số cộng. 
d. Số - 9991 và số 2016 có là số hạng của cấp số cộng không? Là số hạng thứ bao nhiêu? 
Bài 6. Viết 5 số xen giữa các số 25 và 1 để được cấp số cộng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 50 là bao nhiêu ? 
Bài 7. Tìm 1U và công sai d của cấp số cộng biết 
 1 5
4
2 0
.
14
u u
a
S
 6
10
18
.
110
S
b
S
4
1 2 3 4
20
. .1 1 1 1 25
24
S
c
u u u u
23 
Bài 8. Cho dãy số nu xác định bởi 
1 2
1 1
1, 2
2 1, 2n n n
u u
u u u n 
a. Lập dãy số nv với 1n n nv u u . CMR: nv là một cấp số cộng. 
b. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số nv . 
Bài 9. Tìm x biết: 
 . 1 3 7 11 15 ... 350a x và -1, 3, 7 , là cấp số cộng. 
 . (2 1) (2 6) (2 11) ... (2 96) 1010b x x x x và 1, 6, 11,  là cấp số cộng. 
Bài 10. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương 
của chúng bằng 120. 
Bài 11: Tìm m để phương trình 4 22( 1) 2 1 0x m x m có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng . 
Bài 12. Cho cấp số nhân nu có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn 
2 4
1 3 5
10
21
u u
u u u
a. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân. 
b. Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 1365? 
c. Số - 4096 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân? 
Bài 13. Tìm m để phương trình 3 23 1 5 4 8 0x m x m x (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số nhân. 
Bài 14. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 
19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó. 
Bài 15. Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng (theo thứ tự 
của cấp số nhân kể trên) như là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp số cộng. Tìm ba số đó. 
Bài 16. Tìm bốn số nguyên biết rằng ba số đầu lập thành một cấp số nhân, ba số sau lập thành một cấp số cộng. 
Tổng của hai số đầu và cuối bằng 14, còn tổng của hai số ở giữa bằng 12. 
Bài 17. Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 thì nhận được một cấp số nhân. Tìm 
các số đó.
Bài 18. Tính tổng 
a. S = 2 3 4 5 61 x x x x x x d. S = 
3
3 33 333 ... 333...3
n so
 b. S = 
2 2 2
1 1 1
2 4 ... 2
2 4 2
n
n
 e. S = 
2
2
1 2 2 ... 2
1 3 3 ... 3
n
n
 c. 
201732 2.2018........2.42.32.21 S f. 2 3
1 3 5 2 1
.....
2 2 2 2n
n
S
II. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 
Bài 1. Tính giới hạn của các dãy số sau : 
1. 3 3 2lim 6n n n 4. 3
1 3 5 ... (2 1)
lim
3 2
n n
n n
2. 2 2lim 4 3n n n 5. 1 1 1lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
24 
3. 
2
3 3 2
4 3 1 2
lim
8 2 1 2
n n n
n n n
Bài 2. Tính giới hạn của các hàm số sau: 
1. 
5
6 31
4 9 7
lim
3 1x
x x
x x 
 5. 
21
1
lim
2 3x
x
x x 
 9. 
3 3
1
2 1
lim
1x
x x
x 
2. 
21
1
lim
6 3 3x
x
x x 
 6. 
4
1
4 3 1
lim
1x
x
x 
 10. 
4
2
16
lim
2x
x
x 
3. 
4
3 5
lim
1 5x
x
x 
 7. 
3
3
3 1 1
lim
3x
x x
x 
 12. 
3
2
10 2
lim
2x
x
x 
4. 
21
2 1
lim
1 1x x x 
 8. 
1
8 8 1
lim
5 7 3x
x x
x x 
 13. 
2
0
1 1
lim
x
x x
x 
Bài 3. Tính giới hạn các hàm số sau: 
1. 
2 2
4
( 1) (7 2)
lim
(2 1)x
x x
x 
 5. 
4
2 1
lim 2
3x
x
x
x 
 9. 2lim 1
x
x x x
2. 
2
sin 2 2cos
lim
1x
x x
x x 
 6. 2lim 2 3 5
x
x x
 10. 2lim 1 1
x
x x
3. 
6 23 2 1
lim
5 7x
x x
x 
 7. 2lim 2 4 4
x
x x x
 11. 
2
22
3 1
lim 2 4
4x
x x
x
x
4. 
22 3
lim
4 2x
x
x 
 8. 2lim 9 1 3
x
x x
 12. 
2
3
2 5
lim
3x
x x
x 
; 
13. 
2
3
2 5
lim
3x
x x
x 
Bài 4. Áp dụng giới hạn cơ bản 
0
sin
lim 1
x
x
x 
 , tính các giới hạn sau: 
1. 
20
cos 4 cos3 cos5
lim
x
x x x
x 
 3. 
2
20
1 cos
lim
x
x x
x 
 5. 
4
lim 4 tan 2
x
x x
2. 
30
1 tan 1 sin
lim
x
x x
x 
 4. 
0 2
1 sin cos 2
lim
tan
2
x
x x x
x 
Bài 5. Biện luận theo tham số tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn. 
1. 
3 2 2 2
 khi 1
( ) 1
3 khi 1
x x x
x
f x x
x m x
 tại 1x 3. 
2 khi 1
( )
1 khi 1
x x x
f x
ax x
 tại 1x 
2. 
2 6
 khi 0, 3
( 3)
( ) khi 0
 khi 3
x x
x x
x x
f x m x
n x
 tại 0, 3x x 4. 
2 3 2
 khi 1
1( )
 khi 1
x x
x
xf x
a x
 trên R . 
Bài 6. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. 
1. Chứng minh phương trình 5 43 5 2 0x x x có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng 2;5 . 
25 
2. Chứng minh phương trình 2 3 2(1 )( 1) 3 0m x x x luôn có nghiệm với mọi m . 
3. Chứng minh phương trình 
1 1
cos sin
m
x x
 luôn có nghiệm với mọi m . 
III. ĐẠO HÀM 
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
 a. 4 3 23 2 1y x xx x b. 
5
2
1
1
y
x x
 c. 
3
1
x
y
x
 d.
3tan
6
x
y
Bài 2. Tính giá trị của các đạo hàm cấp cao tại điểm cho trước của các hàm số sau: 
a. 5y của 3 2- 15 -1y x x x b. 3
3
y
 của sin3 8y x 
c. 
 3 10y của 
8
5 1y x d. 1y của 
3 1
2
x
y
x
Bài 3. Cho hàm số 
2
1
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết: 
a. Tiếp điểm M có tung độ bằng 4 . 
b. Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành. 
c. Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. 
Bài 4. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 222 xxy . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp 
sau: 
a. Tiếp điểm có tung độ bằng 1. 
b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 6y = 0. 
c. Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc o45 . 
d.Tiếp tuyến đi qua điểm 4;0A . 
Bài 5. Cho hàm số 3y x . Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số ( M gốc tọa độ) sao cho tiếp tuyến tại M tạo 
với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. 
Bài 6. Cho hàm số 3 23 1y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc 
nhỏ nhất. 
Bài 7. Cho hàm số 3 23 1 1y x mx m x . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 
0 1x đi qua 1;2A . 
Bài 8. Cho hàm số : )(,23)( 23 Cxxxfy 
a. Chứng minh rằng PT 0f x có 3 nghiệm phân biệt. 
b. Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của C với trục Oy. 
c. Viết phương trình tiếp tuyến với C song song với đường thẳng 9 2018y x . 
d. CMR: qua 0; 2A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với C , viết phương trình các tiếp tuyến đó. 
e. Tìm các điểm nằm trên đường thẳng 2y để từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với C . 
Bài 9. Cho hàm số 3 22 3f x x x mx . Tìm m để 
a. f x bằng bình phương của một nhị thức. 
b. 0,f x x  . 
c. 0f x với (0,2)x . 
26 
d. 0, 0f x x  
Bài 10. Cho hàm số 
2
3
, 0
( )
, 0
x khi x
f x
x bx c khi x
a./ Tìm ,b c để hàm số f x liên tục tại 0x . 
b/ Xác định ,b c để hàm số có đạo hàm tại 0x và tính f x . 
HÌNH HỌC 
Véc tơ trong Không gian- Hai đường thẳng vuông góc 
Bài 1: Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB , AB vuông góc với SC . 
Gọi M là trung điểm SD . 
1) Biểu diễn AM theo ba vectơ , ,SA SB SC . 
2) Chứng minh: AM vuông góc với .AB 
Bài 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc 
0120BAD . Biết SA SC a , 
3
2
a
SB SD . Gọi , ,M I J lần lượt là trung điểm , ,AB SD CD ; G là trọng tâm tam giác SAB . 
Tính góc giữa hai đường thẳng: 
1) SA và DC 2) SB và AD 3) SM và BD 4) BG và IJ 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có 6; 8.AB CD Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm , ,BC AC BD . Biết 5.JK CMR: 
AB vuông góc với CD ; IJ vuông góc với CD . 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Các điểm ,M N lần lượt là trung điểm , ;AB CD 
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . 
1) CMR: AO vuông góc với CD ; MN vuông góc với CD . 
2) Tính góc giữa: AC và BN ; MN và BC . 
Bài 5: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng a . 
1) Gọi ,I J lần lượt là trung điểm , ' 'CD A D . CMR: 'B I vuông góc với ' .C J 
2) Trên các cạnh DC và 'BB ta lần lượt lấy các điểm ,M N không trùng với hai đầu mút sao cho 
DM BN . Chứng minh 'AC vuông góc với MN . 
Bài 6: Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có tất cả các cạnh đều bằng , ' ' 60oa A AD A AB DAB . 
1) CMR: ' 'DCB A và ' 'BCD A là những hình vuông. 
2) CMR: 'AC vuông góc với 'DA ; 'AC vuông góc với '.BA 
3) Tính độ dài đoạn '.AC 
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a , gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng 
( )BCD . 
1) Tính độ dài đường cao AH . 
2) Tính độ dài đoạn nối trung điểm của một cặp cạnh đối. 
3) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( ).BCD 
4) Tìm điểm O cách đều 4 đỉnh của tứ diện. 
5) Gọi I là trung điểm của AH . Chứng minh , ,IB IC ID đôi một vuông góc với nhau. 
6) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau. 
7) Tìm điểm M sao cho 2 2 2 2MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó. 
27 
Bài 8: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh , 2, ( )a SA a SA ABCD  . Gọi , ,M N P 
lần lượt là hình chiếu của A lên , , .SB SD SC 
1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông. 
2) Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy. 
3) Chứng minh ( ), / /( ).BD SAC BD AMN 
4) CMR ( )SC AMN ; , ,AM AN APđồng phẳng và .AP MN 
5) Tìm điểm J cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp. 
6) Tính diện tích thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với 
.SB 
Bài 9: Cho tứ diện .S ABC có ( )SA ABC , tam giác ABC vuông tại B . Trong mặt phẳng ,SAB kẻ AM vuông 
góc với SB tại M , trên cạnh SC lấy điểm N sao cho
SM SN
SB SC
 . 
1) CMR: ( ); ( ); .BC SAB AM SBC SB AN   
2) Biết 2;SA a AB BC a , tính diện tích tam giác .AMN 
3) H là hình chiếu của A lên ,SC K là giao của HM với ( )ABC . CMR .AK AC 
4) E là điểm tùy ý trên cạnh AB , đặt (0 )AE x x a . Tính diện tích thiết diện của hình chóp 
.S ABC theo a và x khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua E và vuông góc với AB . Tìm x để diện tích có giá 
trị lớn nhất. 
Bài 10: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật có ; 3, 5AB a BC a SD a , mặt bên SBC
là tam giác vuông tại B mặt bên SCD là tam giác vuông tại .D 
1) CMR: ( )SA ABCD , tính .SA 
2) Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường ,CB CD lần lượt 
tại ,I J . Gọi H là hình chiếu của A lên ; ,SC K L lần lượt là giao điểm của ,SB SDvới mặt phẳng ( )HIJ
. CMR: ( ); ( ).AK SBC AL SCD  
3) Tính diện tích tứ giác .AKHL 
Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 3C CA a CB a , mặt bên 
' 'AA B B là hình vuông. Từ C kẻ ', / / ' ( ', ').CH AB HK A B H AB K AA 
1) CMR: , ' ( ).BC CK AB CHK  
2) Tính góc giữa 'A B và mặt phẳng ' ' .BB C C 
3) Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng ( ).CHK 
4) M là trung điểm AB . Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C theo a khi cắt bởi 
mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với ' .A B 
Bài 12: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên 
SCD là tam giác vuông cân tại S . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của , .AB AD 
1) CMR: ( ), ( ).SI SCD SJ SAB  
2) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ .CMR: .SH AC 
3) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM SA . Tính AM theo .a 
Hai mặt phẳng vuông góc và khoảng cách 
Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a , gọi O là tâm hình vuông
.ABCD 
1) Tìm độ dài đoạn .SO 
2) Gọi M là trung điểm của SC . CMR: ( ) ( ).MBD SAC 
28 
3) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng ( )MBD và .ABCD 
4) Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy. 
5) Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy. 
6) Gọi ( )P là mặt phẳng qua AM và song song với BD . Hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp 
được cắt vởi ( ).P 
Bài 14: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh 
6
, 60 , ;( )
2
o aa A SC SBC và ( )SCD
cùng vuông góc với ( ).ABCD 
1) CMR: ( ) ( )SBD SAC 
2) Trong tam giác SCAkẻ IK vuông góc với SA tại K . Tính độ dài IK 
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD , ( )SAD và ( )ABCD . 
4) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( ) là mặt phẳng qua C và vuông góc với SA . 
Bài 15: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 ,AB a AD DC a , cạnh 
SA vuông góc với đáy, SA a 
1) CMR: ( ) ( );( ) ( ).SAD SDC SAC SBC  
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SDC ; ( )SBC và ( );( )ABCD SBC và (SAB) 
3) Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD với mặt phẳng ( ) chứa SD và vuông góc với ( )SAC . 
Bài 16: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng a 
1) CMR: ' ';AD DB ' ( ' ');( ') ( ' ' )B D BA C BDA AB C D  . 
2) Tính góc giữa 'BC và '; 'CD BC và ( ' ' )BB D D 
3) Tính khoảng cách giữa 'BC và ( ' )AD C . 
Bài 17: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc, 
2
, ,
2
a
OA OB OC a I là trung điểm BC 
1) CMR: ( ) ( ).OAI ABC 
2) Tính góc giữa AB và mặt phẳng ( ).AOI 
3) Dựng và độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng OC và ;AB AI và .OC 
4) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng chứa OB và vuông góc với mặt phẳng ( ).ABC
Tính diện tích của thiết diện đó. 
Bài 18: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là nửa lục giác đều cạnh ( / / , ).a AB CD AB CD Mặt bên SAB là tam 
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 
1) CMR: .BD SC 
2) Tính khoảng cách giữa SD và AB ; khoảng cách giữa B và ( ).SAD 
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SAD và ( ).ABCD 
HẾT.
29