Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Yên Hòa

ệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng 
 b)
4 22( 1) 1 0x m x m có 4 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng 
 c)
3 2 23 2 ( 4) 9 0x mx m m x m m có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng 
Bài 15: Cho dãy số nu , với 
2 12 nnu
 . 
a) Chứng minh dãy số nu là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng giảm của cấp số nhân đó. 
b) Số 2048 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân. 
22 
Bài 16: Giả sử 
sin
6
, cos , tan theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính cos 2 . 
Bài 17. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu bằng 
4
3
, số hạng cuối 
bằng 
81
256
. 
Bài 18. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng 147, hiệu của số hạng cuối 
với số hạng đầu bằng 105. 
Bài 19. Độ dài ba cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác ABC có hai 
góc không quá 
060 . 
Bài 20. Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng băng 93. Ta có thể sắp đặt chúng (theo thứ tự 
của cấp số nhân kể trên) như là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bày của một cấp số cộng. Tìm ba số đó. 
Bài 21. a)Cho cấp số nhân nu có 2 34; 13S S . Biết 2 0u , giá trị 5S bằng. 
 b) Cho cấp số nhân nu có 8 1215; 63S S .Giá trị 4S bằng 
Bài 22. Tìm bốn số biết rằng ba số đầu lập thành một cấp số nhân, ba số sau lập thành một cấp số cộng. Tổng 
của hai số đầu và cuối bằng 14, còn tổng của hai số ở giữa bằng 12. 
Bài 23.Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 thì nhận được một cấp số nhân. 
Tìm các số đó
 Bài 24: Ông A vay ngân hàng 800 triệu đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 60 tháng. Lãi suất ngân 
hàng cố định 0,5 /tháng. Mỗi tháng ông A phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là 
số tiền vay ban đầu chia cho 60 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi mà ông 
A phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là bao nhiêu? 
Bài 25 :Ta xây dựng dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3, , ,...A B C A B C A B C sao cho 1 1 1A B C là một tam giác đều cạnh 
bằng 3 và với mỗi số nguyên dương 2n , tam giác n n nA B C là tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba 
cạnh của tam giác 1 1 1n n nA B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu nS tương ứng là diện tích hình tròn ngoại 
tiếp tam giác n n nA B C . Tính tổng 1 2 100...S S S S ? 
Bài 26. Cho dãy số nu xác định bởi 
1
1
1
2 3n n
u
u u n 
 1n . 
a) Xét dãy số nv xác định bởi 3 3n nv u n . CMR: nv là một cấp số nhân 
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số nv . 
Bài 27: Rút gọn các tổng sau: 
a) S = 2 3 4 5 61 x x x x x x c) S = 
3
3 33 333 ... 333...3
n so
 b) S = 
2 2 2
1 1 1
2 4 ... 2
2 4 2
n
n
 d) S = 
2
2
1 2 2 ... 2
1 3 3 ... 3
n
n
 e) 
201732 2.2018........2.42.32.21 S f) 2 3
1 3 5 2 1
.....
2 2 2 2n
n
S
Bài 28: 
 a) Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy na là 5 1
n
nS với 1n , CMR : na là một cấp số nhân 
 b)Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy na là 
22 3nS n n với 1n , CMR : na là một cấp số cộng 
GIỚI HẠN 
Bài 1. Tính giới hạn của các dãy số sau : 
1. 3 3 2lim 6n n n 4. 3
1 3 5 ... (2 1)
lim
3 2
n n
n n
23 
2. 2 2lim 4 3n n n 5. 1 1 1lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
3. 
2
3 3 2
4 3 1 2
lim
8 2 1 2
n n n
n n n
 6. 
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
Bài 2. Tính giới hạn của các hàm số sau: 
1. 
5
6 31
4 9 7
lim
3 1x
x x
x x 
 6. 
21
1
lim
2 3x
x
x x 
 11. 
3 3
1
2 1
lim
1x
x x
x 
2. 
3 2
32
3 9 2
lim
6x
x x x
x x 
 7. 
21
1
lim
6 3 3x
x
x x 
 12. 
4
1
4 3 1
lim
1x
x
x 
3. 
4
2
16
lim
2x
x
x 
 8. 
4
3 5
lim
1 5x
x
x 
 13. 
3
3
3 1 1
lim
3x
x x
x 
4. 
31
1 1
lim
1 1x x x 
 9. 
1
8 8 1
lim
5 7 3x
x x
x x 
 14. 
54
1
2 1 2
lim
1x
x x
x 
5. 
2
0
1 1
lim
x
x x
x 
 10. 
3
2
10 2
lim
2x
x
x 
 15. 
21
1
lim
( 1)
n
x
x nx n
x 
Bài 3. Tính giới hạn các hàm số sau: 
1. 
2 2
4
( 1) (7 2)
lim
(2 1)x
x x
x 
 5. 
4
2 1
lim 2
3x
x
x
x 
 9. 2lim 1
x
x x x
2. 
2
sin 2 2cos
lim
1x
x x
x x 
 6. 2lim 2 3 5
x
x x
 10. 2lim 1 1
x
x x
3. 
6 23 2 1
lim
5 7x
x x
x 
 7. 2lim 2 4 4
x
x x x
 11. 
2
22
3 1
lim 2 4
4x
x x
x
x
4. 
22 3
lim
4 2x
x
x 
 8. 2lim 9 1 3
x
x x
 12. 
2
3
2 5
lim
3x
x x
x 
; 
2
3
2 5
lim
3x
x x
x 
 13. 
1
1 0
1
1 0
...
lim
...
n n
n n
m mx
m m
a x a x a
b x b x b
 với 0, 0n ma b 
Bài 4. Áp dụng giới hạn cơ bản 
0
sin
lim 1
x
x
x 
 , tính các giới hạn sau: 
1. 
20
cos 4 cos3 cos5
lim
x
x x x
x 
 3. 
2
20
1 cos
lim
x
x x
x 
 5. 
4
lim 4 tan 2
x
x x
2. 
30
1 tan 1 sin
lim
x
x x
x 
 4. 
0 2
1 sin cos 2
lim
tan
2
x
x x x
x 
Bài 5. Biện luận theo tham số tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn. 
1. 
3 2 2 2
 khi 1
( ) 1
3 khi 1
x x x
x
f x x
x m x
 tại 1x 3. 
2 khi 1
( )
1 khi 1
x x x
f x
ax x
 tại 1x 
24 
2. 
2 6
 khi 0, 3
( 3)
( ) khi 0
 khi 3
x x
x x
x x
f x m x
n x
 tại 0, 3x x 4. 
2 3 2
 khi 1
1( )
 khi 1
x x
x
xf x
a x
 trên R . 
Bài 6. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. 
1. Chứng minh phương trình 5 43 5 2 0x x x có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng 2;5 . 
2. Chứng minh phương trình 2 3 2(1 )( 1) 3 0m x x x luôn có nghiệm với mọi m . 
3. Chứng minh phương trình 
1 1
cos sin
m
x x
 luôn có nghiệm với mọi m . 
ĐẠO HÀM 
Bài 6.:Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
 a) 
2
4 1
2
x
y
x
 b) 
3
1
x
y
x
 c) 
5
2
1
1
y
x x
 d)
3tan
6
x
y
Bài 1. Cho hàm số 
2
1
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết: 
a. Tiếp điểm M có tung độ bằng 4 
b. Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành 
c. Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung 
Bài 2. Cho hàm số 3y x . Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số ( M gốc tọa độ) sao cho tiếp tuyến tại M tạo 
với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. 
Bài 3. Cho hàm số 3 23 1y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc 
nhỏ nhất. 
Bài 4. Cho hàm số 3 23 1 1y x mx m x . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 
0 1x đi qua 1;2A . 
Bài 5. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 222 xxy . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp 
sau: 
a/ Tiếp điểm có tung độ bằng 1. 
b/ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 6y = 0. 
c/ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc o45 . 
d/ Tiếp tuyến đi qua điểm A(4;0). 
Bài 6. Cho hàm số : )(,23)( 23 Cxxxfy 
a/ Chứng minh rằng PT f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 
b/ Viết phương trinh tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy. 
c/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng y = 9x+2018 
d/ CMR : qua A(0;2) kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) , viết phương trình các tiếp tuyến đó . 
e/ Tìm các điểm nằm trên đường thẳng y = - 2 để từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). 
Bài 7. Cho hàm số f(x)= 3 22 3x x mx . Tìm m để 
a/ f’(x) bằng bình phương của một nhị thức 
b/ f’(x) 0, x  
c/ f’(x) < 0 với (0,2)x 
d/ '( ) 0, 0f x x  
25 
Bài 8. Cho hàm số 
2
3
, 0
( )
, 0
x khi x
f x
x bx c khi x
a/ Tìm b,c để hàm số f(x) liên tục tại x=0 
b/ Xác định b,c để hàm số có đạo hàm tại x=0 và tính f’(0). 
HÌNH HỌC 
Véc tơ trong Không gian- Hai đường thẳng vuông góc 
Bài 1. Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB , AB vuông góc với SC . 
 Gọi M là trung điểm SD . 
1) Biểu diễn AM theo ba vectơ , ,SA SB SC . 2) Chứng minh: AM vuông góc với AB .
Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc 
0120BAD . Biết SA SC a , 
3
2
a
SB SD . Gọi , ,M I J lần lượt là trung điểm , ,AB SD CD ; G là trọng tâm tam giác SAB . Tính góc giữa: 
 1) SA và DC 2) SB và AD 3) SM và BD 4) BG và IJ 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có 6; 8.AB CD Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm , ,BC AC BD . Biết 5.JK . 
CMR: AB vuông góc với CD ; IJ vuông góc với CD . 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Các điểm ,M N lần lượt là trung điểm ,AB CD 
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . 
 1) CMR: AO vuông góc với CD ; MN vuông góc với CD . 
 2) Tính góc giữa: AC và BN ; MN và BC . 
Bài 5. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng a . 
 1) Gọi ,I J lần lượt là trung điểm , ' 'CD A D . CMR: 'B I vuông góc với 'C J 
 2)Trên các cạnh DC và 'BB ta lần lượt lấy các điểm ,M N không trùng với hai đầu mút sao cho 
DM BN . Chứng minh 'AC vuông góc với MN . 
Bài 6. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có tất cả các cạnh đều bằng , ' ' 60oa A AD A AB DAB . 
 1) CMR: ' 'DCB A và ' 'BCD A là những hình vuông. 
 2) CMR: 'AC vuông góc với 'DA ; 'AC vuông góc với 'BA 3) Tính độ dài đoạn 'AC 
Bài 7. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D . Đặt 'AA a , AB b , AD c . Gọi ,I J lần lượt thuộc các đoạn 
thẳng 'AC và 'B C sao cho 'MA kMC , 'NB k NC . Biểu diễn các vectơ sau theo ba vectơ , ,a b c : 
; ' ;AM B N MN 
 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
Bài 8. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a , gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt 
phẳng ( )BCD . 
 1) Tính độ dài đường cao AH . 
 2) Tính độ dài đoạn nối trung điểm của một cặp cạnh đối . 
 3) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( )BCD 
 4) Tìm điểm O cách đều 4 đỉnh của tứ diện. 
 5) Gọi I là trung điểm của AH . Chứng minh , ,IB IC ID đôi một vuông góc với nhau 
 6) Chứng minh tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau 
 7) Tìm điểm M sao cho 2 2 2 2MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất , tính giá trị đó 
Bài 9: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh , 2, ( )a SA a SA ABCD  . Gọi , ,M N P 
lần lượt là hình chiếu của A lên , ,SB SD SC 
 1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông 
 2) Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy . 
 3) Chứng minh ( ), / /( )BD SAC BD AMN 
 4) CMR ( )SC AMN ; , ,AM AN AP đồng phẳng và AP MN 
 5) Tìm điểm J cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp 
26 
 6) Tính diện tích thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với SB 
Bài 10: Cho tứ diện .S ABC có ( )SA ABC , tam giác ABC vuông tại B . Trong mặt phẳng SAB kẻ AM vuông 
góc với SB tại M , trên cạnh SC lấy điểm N sao cho
SM SN
SB SC
 : 
 1) CMR: ( ); ( );BC SAB AM SBC SB AN   
 2) Biết 2;SA a AB BC a , tính diện tích tam giác AMN 
 3) H là hình chiếu của A lên ,SC K là giao của HM với ( )ABC . CMR AK AC 
 4) E là điểm tùy ý trên cạnh AB , đặt (0 )AE x x a . Tính diện tích thiết diện của hình chóp .S ABC 
theo a và x khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua E và vuông góc với AB . Tìm x để diện tích có giá trị lớn nhất 
Bài 11: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
2SC a . Gọi ,H K lần lượt là trung điểm của ,AB AD 
 1) CMR: ( )SH ABCD 
 2)CMR: ;AC SK CK SD  
Bài 12: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật có ; 3, 5AB a BC a SD a . mặt bên 
SBC là tam giác vuông tại B mặt bên SCD là tam giác vuông tại D 
 1) CMR: ( )SA ABCD , tính SA 
 2) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường ,CB CD lần lượt tại ,I J . Gọi H là hình chiếu của 
A lên ; ,SC K L lần lượt là giao điểm của ,SB SD với mặt phẳng ( )HIJ . CMR: ( ); ( )AK SBC AL SCD  
 3) Tính diện tích tứ giác AKHL 
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 3C CA a CB a , mặt bên 
' 'AA B B là hình vuông. Từ C kẻ ', / / ' ( ', ')CH AB HK A B H AB K AA 
 1) CMR: , ' ( ).BC CK AB CHK  
 2) Tính góc giữa 'A B và mặt phẳng ' 'BB C C 
 3) Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng ( )CHK 
 4) M là trung điểm AB . Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C theo a khi cắt bởi mặt 
phẳng ( ) qua M và vuông góc với 'A B 
Bài 14: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên 
SCD là tam giác vuông cân tại S . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của ,AB AD 
 1) CMR: ( ), ( )SI SCD SJ SAB  
 2) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ .CMR: SH AC 
 3) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho : BM SA . Tính AM theo a 
Hai mặt phẳng vuông góc 
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a , gọi O là tâm hình vuông
ABCD 
 1) Tình độ dài đoạn SO 
 2) Gọi M là trung điểm của SC . CMR: ( ) ( )MBD SAC 
 3) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng ( )MBD và ABCD 
 4) Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy 
 5) Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy 
 6) Gọi ( )P là mặt phẳng qua AM và song song với BD . Hãy tĩnh thiết diện thu được. 
Bài 16: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh
6
, 60 , ;( )
2
o aa A SC SBC và 
( )SCD cùng vuông góc với ( )ABCD 
 1) CMR: ( ) ( )SBD SAC 
 2) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K . Tính độ dài IK 
 3) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD , ( )SAD và ( )ABCD . 
 4) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( ) là mặt phẳng qua C và vuông góc với SA . 
27 
Bài 17: Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với ( )BCD . Gọi ,AE BF là hai đường cao của tam giác 
; ,ABC H K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và DBC . 
 1) CMR: ( ) ( );( ) ( )ADE ABC BFK ABC  
 2) CMR: ( )HK ABC 
 3) HK cắt AD kéo dài tại M . CMR: tứ diện ABCM có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc. 
 Bài 18: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 ,AB a AD DC a , 
cạnh SA vuông góc với đáy, SA a 
 1) CMR: ( ) ( );(SAC) (SBC)SAD SDC  
 2) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SDC ; ( )SBC và ( );( )ABCD SBC và (SAB) 
 3) Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD với mặt phẳng ( ) chứa SD và vuông góc với ( )SAC . 
Bài 19: Cho hình vuông ABCD và tam giác SAB đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. 
Gọi ,I M lần lượt là trung điểm của ,AB SD 
 1) CMR: các véc-tơ , ,SA BD IM đồng phẳng. 
 2) CMR: ( );(SAD) (SAB)SI ABCD  
 3) Tính góc tạo bởi giữa các cạnh bên và mặt đáy 
 4) Tính góc tạo bởi giữa các cặp mặt phẳng: ( )SBC và ( )ABCD ; ( )SAB và ( )SCD 
 5) Gọi F là trung điểm AD . CMR: ( ) ( )SCF SCD 
Bài 20: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng a 
 1) CMR: ' ';AD DB ' ( ' ');( ') ( ' ' )B D BA C BDA AB C D  . 
 2) Tính góc giữa 'BC và '; 'CD BC và ( ' ' )BB D D 
 3) Tính khoảng cách giữa 'BC và ( ' )AD C ; 
Bài 21: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc, 
2
, ,
2
a
OA OB OC a I là trung điểm BC 
 1) CMR: ( ) ( )OAI ABC 
 2) Tính góc giữa AB và mặt phẳng ( )AOI 
 3) Dựng và độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng OC và ;AB AI vàOC 
 4) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng chứa OB và vuông góc với mặt phẳng ( )ABC . Tính 
diện tích của thiết diện đó. 
Bài 22: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là nửa lục giác đều cạnh ( / / , ).a AB CD AB CD Mặt bên SAB là 
tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 
 1) CMR: BD SC 
 2) Tính khoảng cách giữa SD và AB ; giữa B và ( )SAD 
 3) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SAD và ( )ABCD . 
- HẾT-