Bài giảng Trường điện từ - Chương 2: Trường điện tĩnh

E a
d
 Đặt tụ dưới hiệu thế U , ta xác 
định vectơ cường độ trường điện: 
x
U
D a
 
d
 Điện tích cốt tụ tại x = 0 : Luật Gauss tích phân: xQ D .S 
 Điện dung của tụ phẳng: 
Q
C
U
S
C
d

EM-Ch2 86 
VD 2.7.2: Tính điện dung đường dây 
Tương đương 2 dây dẫn là 2 trục mang điện mật độ dài  
tại tâm dây dẫn. 
 Đường dây song hành, bán kính dây dẫn là a, hiệu thế U, 
cách nhau d .Tìm điện dung đơn vị của đường dây ( giả sử d 
>> a) ? 
Giải 
EM-Ch2 87 
VD 2.7.2: Tính điện dung đường dây (tt) 
 Thế điện tại 1 điểm bên ngài 2 dây 
dẫn: 
ln
2
r
r

 
ln ln ln
2
A B
d a a d a
U
a d a a
 
  
0Do C
U

0C
ln
 
 d a
a
EM-Ch2 88 
c) Tính C dùng năng lượng trường điện: 
2
2
e
V V V
1 1 1 D
W E.D .E . (J)
2 2 2
dV dV dV
 
Có thể tính We thông qua C hoặc ngược lại. 
 1 
 2 
Q1 
Q2 
2
e
1
W CU
2
EM-Ch2 89 
VD 2.7.3: Tính C dùng We 
 Đặt tụ đưới hiệu thế điện U ( a = U; b = 0), 
dùng phương trình Laplace xác định thế điện và 
cường độ trường điện trong mỗi lớp điện môi: 
 Giải 
Tính C của tụ cầu gồm 2 lớp điện môi lý tưởng ? 
1 2
abU 1 aU
(b a) (b a)r
1 2 r2
abU 1
E E a
(b a) r
EM-Ch2 90 
VD 2.7.3: Tính C dùng We (tt) 
 Năng lượng trường điện của hệ: 
 Giải 
Tính C của tụ cầu gồm 2 lớp điện môi lý tưởng ? 
1 2
2 2
e 1 1 2 2
V V
2 2 2
2
1 2
2 2 20 0 0
1
W ε E dV ε E dV
2
ε εa b U
 sin sin
2(b a) r r
b b
a a
drd d drd d
     
2
e 1 2
abU
W 2 ε ε
2(b a)
e
1 22
2W 2 ab
C ε ε
U (b a)
EM-Ch2 91 
VD 2.7.4: Tính C tụ không đồng nhất 
Tụ phẳng, điện môi lý tưởng 
không đồng nhất hằng số điện môi 
r = ax + b (a,b =const), nối vào 
nguồn DC hiệu thế U. 
a) Giả sử điện tích mặt trên cốt tụ tại x = 0 là S và trên cốt tụ tại 
x = d là – S. Tính vector cảm ứng điện và cường độ trường 
điện trong điện môi ? 
b) Theo câu a), xác định hiệu thế điện U (theo S) và điện dung 
của tụ ? 
c) Theo câu a), xác định mật độ điện tích phân cực khối trong 
điện môi (theo S) ? 
diện tích A 
x 
U 
r = ax + b 
+ 
d 
0 
Mật độ điện tích mặt S 
– S 
EM-Ch2 92 
VD 2.7.4: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
 Giải 
diện tích A 
x 
U 
r = ax + b 
+ 
d 
0 
Mật độ điện tích mặt S 
a) Theo xếp chồng: 
1 1
S x S x S x2 2
D ρ a ( ρ )( a ) ρ a 
S
0
ρD 1
xε ε ax b
E a
b) Theo định nghĩa hiệu thế điện: 
 S S S
0 0 0
d d dρ ρ ρdx ad
ε ax b ε a ε a b00 0
U Edx ln(ax b) ln 1
 Điện tích trên cốt tụ: Q(x = 0) = A. S. 
 Điện dung của tụ: S 0
S
0
ρ A Aε aQ(x 0)
ρ ad adU
ln 1 ln 1
ε a b b
C
EM-Ch2 93 
VD 2.7.4: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
 Giải 
diện tích A 
x 
U 
r = ax + b 
+ 
d 
0 
Mật độ điện tích mặt S 
c) Vector phân cực điện : 
0P ( )E  
S
0
ρ 1 ax b 1
0 x S xε ax b ax b
P ε (ax b 1) a ρ a
 S 2ρ aax b 1PV S x ax b (ax b)ρ divP ρ
 
 
 Điện tích phân cực khối : 
EM-Ch2 94 
VD 2.7.5: Tính C tụ không đồng nhất 
a) Do tính đối xứng của bài toán, cảm ứng điện có dạng: 
Tụ trụ, bán kính trong a = 1cm, bán 
kính ngoài b = 2,5cm, điện môi lý 
tưởng không đồng nhất hằng số điện 
môi r = (0,1 + r)/r, nối vào nguồn DC 
hiệu thế U. Xác định: 
a) Cường độ trường điện và cảm ứng điện trong điện môi ? 
b) Điện tích trên cốt tụ trong và điện dung của tụ (bằng số) trên 
đơn vị dài ? 
U 
 
+ 
a 
b 
r rD D a (hệ trụ) Và: divD 0 
1
rr r
(rD ) 0


A
r r
D (Với A = const)
EM-Ch2 95 
VD 2.7.5: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
U 
 
+ 
a 
b 
0
r0,1 b
0,1 a
ε U 1
D a
rln
Vậy: 
0
D A 1
rε ε 0,1 r
E a
 Theo định nghĩa hiệu thế điện: 
0 0 0
b bA dr A A 0,1 b
ε 0,1 r ε ε 0,1 a
U ln(0,1 r) ln
aa
 0,1 b0 0,1 aA ε U / ln
r0,1 b
0,1 a
U 1
E a
0,1 rln
EM-Ch2 96 
VD 2.7.5: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
b) Điện tích trên cốt tụ trong trên 1m: 
0
r a 0,1 b
0,1 a
ε U 1
Q DdS .2
rlnS
r 
U 
 
+ 
a 
b 
1m 
 Điện dung trên đơn vị dài: 
12
r a 0
0 0,1 b 0,125
0,1 a 0,11
Q 2 ε 2 .8,842.10
C 434,6 pF
U ln ln
0
r a 0,1 b
0,1 a
2 ε U
Q
ln
EM-Ch2 97 
2.8 Phương pháp ảnh điện 
EM-Ch2 98 
a) Nguyên tắc: 
 Sự có mặt của điện tích cảm ứng và liên kết: sẽ làm thay 
đổi phân bố trường điện ban đầu. 
 Việc xác định các loại điện tích này tương đối phức tạp, và 
dùng luật Gauss để tính trường điện vô cùng khó khăn vì 
chúng thường phân bố không đều. 
 PP ảnh điện là PP tốt nhất để xác định trường điện mà 
không cần quan tâm đến việc xác định qui luật các loại điện 
tích phân bố này. 
 Khi đặt vật mang điện gần các môi trường điện môi hay 
vật dẫn: theo tính chất của trường điện tĩnh sẽ có sự xuất 
hiện điện tích cảm ứng và điện tích liên kết. 
 PP ảnh điện ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết đường dây 
và lý thuyết anten. 
EM-Ch2 99 
b) Qui trình phương pháp ảnh điện: 
b2) Đưa điện tích ảnh (q’) vào môi trường 2 để duy trì điều kiện 
biên của bài toán. 
 Định lý duy nhất nghiệm: nghiệm không thay đổi trong 2 mô 
hình vì điều kiện biên và phân bố điện tích không đổi ở môi 
trường cần tính trường điện. 
b1) Thay môi trường 2 bằng 1 để đồng nhất hóa môi trường. 
1 
q 
(x) P 
q’ 
1 
2 
q 
S 
(x) P 
Xét bài toán: 
EM-Ch2 100 
c) Các trường hợp cơ bản của phương 
pháp ảnh điện: 
EM-Ch2 101 
TH1: Phân cách phẳng đmôi – vdẫn: 
Điện tích q hay trục mang điện  trước mặt dẫn 
rộng vô hạn nối đất. 
 Bài toán: 
 
q () 
d 
-q (-) 
 
d 
Điện tích -q hay trục mang điện - đối xứng qua 
bề mặt vật dẫn. 
 Ảnh điện: 
(trường điện không đổi) 
 
q () 
d 
 
EM-Ch2 102 
TH2: Phân cách phẳng đmôi - đmôi 
1 2
1 21
q q
 
 
 Điện tích q hay trục : 
1 
2 
z 
d 
q() 
1 
1 
z 
d 
q() 
d 
q1(1) 
(x) P 
2 
2 
z 
d 
q2(2) 
(x) P 
P ở môi trường 1 
P ở môi trường 2 
2
1 2
2
2q q

  
EM-Ch2 103 
TH3: Phân cách cầu đmôi – vật dẫn 
 Bỏ quả cầu dẫn, và thêm vào 
điện tích q’ thỏa: 
 Điện tích q đặt trước quả cầu 
dẫn (bkính a) nối đất. 
q 
D 
a 
O 
q a 
O 
b 
q’ 
2a
b
D
' aq
D
q 
 Nếu quả cầu không nối đất -> thêm điện tích ảnh q1 = -q’ tại 
tâm O thỏa điều kiện biên thế điệ trên bề mặt quả cầu. 
EM-Ch2 104 
TH4: Phân cách trụ đmôi – vật dẫn 
2a
b
D
'  
 Trục mang điện  đặt trước trụ 
dẫn (bkính a) nối đất. 
 D 
a 
O 
 Bỏ trụ dẫn, và thêm vào trục 
mang điện ’ thỏa: 
 D 
a 
O 
’ 
b 
EM-Ch2 105 
VD 2.8.1: Dùng phương pháp ảnh điện 
Dây dẫn dài vô hạn, mang điện với 
mật độ dài ℓ = , cách mặt dẫn 
phẳng nối đất một khoảng là h, tìm 
mật độ điện tích mặt S tại điểm 
P(x,h) ? 
x 
y 
0 
h 
 
0 x P 
conductor Giải 
 Bài toán ảnh điện: 
x 
y 
0 
h 
 
0 
x 
P(x,y) 
2h -  
y 
r- 
r+  Thế điện ở miền y < h dùng công thức: 
0
λ
ln ln
2
r r 
 
EM-Ch2 106 
VD 2.8.1 : Dùng PP ảnh điện (tt) 
x 
y 
0 
h 
 
0 
x 
P(x,y) 
2h -  
y 
r- 
r+ 
 Trường điện ở miền y < h dùng công thức: 
x yr ( )a ( 2 )ax y h
 Do: 
x yr ( )a ( )ax y
2 2 2 2
0
λ
ln ( 2 ) ln
2
x y h x y 
 
x yE grad a a
x y
 
 
EM-Ch2 107 
VD 2.8.1 : Dùng PP ảnh điện (tt) 
 Điện tích mặt tại P : 
2 2 2 2
λ 2
2 ( 2 )
y h
y h y
x y h x y 
S y 0 0 0
( )
a [0 ]y h y y h
y h
E E
y
    


x 
y 
0 
h 
 
0 x P(x,h) 
2h -  
yn a 
2 2( )
S
h
x y

EM-Ch2 108 
VD 2.8.2: PP ảnh điện tìm C 
 Điện dung đơn vị của hệ 2 dây 
dẫn đã xác định ở VD 2.7.2 là : 
Dây dẫn dài vô hạn, bán kính a, 
mang điện với mật độ dài ℓ = , 
cách mặt dẫn phẳng nối đất một 
khoảng là h (h >> a), tìm điện dung 
C0 trên đơn vị dài đường dây ? 
Giải 
x 
y 
0 
h 
 
0 x P 
conductor 
2a 
 Bài toán ảnh điện: 
x 
y 
0 
h 
 
0 
2h -  
2a 
0 0
0C ( λ) 2 2
ln ln
h a h
a a
  
EM-Ch2 109 
VD 2.8.2: PP ảnh điện tìm C (tt) 
Dây dẫn dài vô hạn, bán kính a, 
mang điện với mật độ dài ℓ = , 
cách mặt dẫn phẳng nối đất một 
khoảng là h (h >> a), tìm điện dung 
C0 trên đơn vị dài đường dây ? 
Giải 
x 
y 
0 
h 
 
0 x P 
conductor 
2a 
 Ta suy ra điện dung C0 : 
0 0C 2C ( λ) 
0
0
2
C
2
ln
h
a
 
x 
y 
0 
h 
 
0 
2h -  
2a 
C0 
C0 
EM-Ch2 110 
2.9 Dòng điện không đổi : 
EM-Ch2 111 
a) Trường điện tĩnh ở môi trường dẫn: 
 Môi trường dẫn:  ≠ 0. 
 Các đại lượng đặc trưng của trường điện tĩnh trong môi 
trường dẫn: E, D, and J . 
2J σE [A/m ] 0 
2J σE [A/m ] 
2D E [C/m ] 
E grad [V/m] 
 Phân loại môi trường: dựa vào độ dẫn điện  [S/m]. 
EM-Ch2 112 
 Phương trình mô tả & ĐKB: 
Vρ
t
divJ ;


 Từ hệ phương trình Mawell: S
ρ
1n 2n t
J J


divJ 0; Trường điện tĩnh: 
1n 2nJ J 0 
D εE; J σE Và : 
Như vậy: 
v
rot E 0
div D ρ
divJ 0
1t 2t
1n 2n S
1n 2n
E E 0
D D ρ
J J 0
EM-Ch2 113 
b) ĐKB đối với vector mật độ dòng J : 
n 1 2a (J J ) 0 1n 2nJ J 0 1n 2n(J J ) 0 
(1; 1) n 
(2; 2) 
J2 
J1 
J2n 
J1n 
Dùng để xác định thành phần pháp tuyến của 
trường điện trong môi trường dẫn. 
EM-Ch2 114 
 VD 2.9.1: ĐKB đối với vector J 
z 
1 = 2(S/m) 1J
2 = 4(S/m) 
2J
2 J 
Mặt z = 0 là biên 2 môi trường dẫn. 
Tìm biết 2
1 x z J [5a 10a ] A/m 
 Vector đơn vị ptuyến: 
zn a 
 Các thành phần của J1 : 1n 1n zJ (J .n)n 10a 
1t 1n 1n xJ J J 5a 
 Các thành phần của J2 : 2n 1n zJ J 10a 
2 1t
2t 2 2t 2 1t x
1
J
J E E 10a

 

2
2 2n 2t x zJ J J 10a 10a [A/m ] 
EM-Ch2 115 
c) Tính trường điện ở môi trường dẫn: 
c1) Xác định thế điện trong môi trường dẫn: 
divJ 0 div[ (grad )] 0 
Khi  = const : 
Cách giải 
0 
Khi  ≠ const : div[ (grad )] 0 
 E
J E 
D E  
 Qui trình: 
EM-Ch2 116 
 VD 2.9.2: Trường điện ở mt dẫn 
E & J
 Thế điện = (z) là nghiệm 
ptrình Laplace. 
U
z  ĐKB : (ℓ) = U & (0) = 0. 
A Bz 
 Hệ Đề các, đặt hiệu thế U và ta 
nhận thấy : = (z). 
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là A, 
đặt cách nhau ℓ, điện môi thực có 
độ dẫn điện  = const, nối vào 
hiệu thế U = const. Tìm phân bố 
thế điện trong điện môi ? Suy ra 
vector ? 
Giải 
E & J
EM-Ch2 117 
 VD 2.9.3: Trường điện ở mt dẫn 
U
d
Ux 
 Nghiệm phương trình Laplace: 
U
xd
E a 
pVdiv D ; div PV 
  Và áp dụng: 
0U
xd
D (5 3x)a

U
xd
J a

0U
xd
P (4 3x)a

Tụ phẳng điện môi thực  = (5-3x)0 ,  = 
10-10 S/cm đặt dưới hiệu thế U = 1 KV , 
khoảng cách giữa 2 cốt tụ là 1 cm. Xác 
định mật độ dòng trong điện môi, vectơ 
cảm ứng điện và phân cực điện, suy ra 
mật độ khối tự do và liên kết ? 
Giải 
EM-Ch2 118 
c2) Tích phân trực tiếp trường J : 
Biểu thức của J (và các hằng số tích phân). 
iii. Áp dụng : suy ra các hằng số tích phân . 
ab
a b
U Edl
i. Dựa vào phương trình divJ = 0 và tính đốixứng: 
J
E

 ii. Vectơ c.độ trường điện: 
(Nếu  phụ thuộc tọa độ 
thì thế ngay ở bước này) 
J E
Edl C 
D E  
 Qui trình: 
EM-Ch2 119 
 Sự tương tự giữa D và J : 
Môi trường dẫn Môi trường V = 0 
rot E 0 ; E grad( ) 
 rot E 0 ; E grad( ) 
div D 0
 div J 0
E, , , J E,...   E, , , D εE,...  
1t 2t 1n 2nE E 0; D D 0 1t 2t 1n 2nE E 0; J J 0 
 Chỉ cần thay vị trí của D bằng J trong phương pháp trước. 
EM-Ch2 120 
 VD 2.9.4: Sự tương tự giữa D và J 
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là S, đặt 
cách nhau d, điện môi thực có độ dẫn 
điện  = const,  = const, nối vào hiệu 
thế U = const. Tìm vector mật độ dòng 
trong tụ ? Suy ra dòng qua tụ ? 
Giải 
 Triển khai div trong hệ Cartesian : 
 Jx = A = const.  
U S
I
d

 Dòng điện qua tụ: 
 Do J = Jx.ax và div(J) = 0 . 
EM-Ch2 121 
 VD 2.9.5: Sự tương tự giữa  và  
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là A, đặt 
cách nhau d, điện môi thực có độ dẫn 
điện  = const,  = const. Tìm điện trở 
của tụ điện phẳng ? 
Giải 
S
C
d

 Kết quả bài toán TĐ tĩnh: 
ε ; C G  Sự tương tự : 
S
G
d

  Điện dẫn của tụ: 
1 d
R
S
G
 Điện trở của tụ: 
EM-Ch2 122 
d) Định luật Joule: 
 Vector mật độ dòng Công suất tiêu tán dạng nhiệt. 
2 2 3p J.E σE J /σ [W/m ]  Mật độ công suất tiêu tán: 
2P p. σE . [W] V VdV dV
 Công suất tiêu tán trong thể tích V : 
EM-Ch2 123 
e) Điện trở và tính giá trị điện trở : 
Uab 
+ R 
G 
I
abU R ( )
I
 Giá trị điện trở: 
1
G conductance[S or ]
R
 Giá trị điện dẫn: 
EM-Ch2 124 
 Tính giá trị điện trở : 
i. Chọn hệ tọa độ. 
ii. Giả sử Uab = hiệu thế điện đặt lên môi trường dẫn . 
iii. Xác định vector mật độ dòng trong môi trường dẫn . 
 I J.dS
S
iv. Xác định dòng qua môi trường dẫn: 
(dS hướng theo 
chiều giảm thế) 
v. Tính: ab
U
R ( )
I
 
 Có thể tính qua công suất: 
2
ab
2
U P
 R ( )
P I
 
EM-Ch2 125 
 VD 2.9.6: Tính giá trị điện trở của cáp 
Tìm điện trở trên đơn vị dài của cáp 
đồng trục, cách điện là điện môi thực 
có ,  = const. 
Giải 
 Đặt lõi và vỏ cáp dưới hiệu thế U. 
0
ln(b/a)
R
2π
 Điện trở đơn vị của cáp: 
r r
U 1
E a a
ln(b/a)r r
 

 Thế điện = (r) là nghiệm ptrình Laplace: Aln Br 
U
[ ln ln b]
ln(b/a)
r 
r
U 1
J a
ln(b/a) r
 
U 1
I .2
ln(b/a)
r
r

 (do L = 1m) 
EM-Ch2 126 
 VD 2.9.7: Tính điện trở của tụ phẳng 
x
U.
J a
d
 
x
U
E a
d
U
d
Ux 
a) Nghiệm ptrình Laplace: 
Tụ phẳng, điện môi thực, tìm : 
a) Vectơ trong điện môi thực ? 
b) Điện trở cách điện của tụ Rcđ ? 
c) Công suất tổn hao nhiệt trong điện môi? 
J , E
Giaûi 
 
EM-Ch2 127 
VD 2.9.7: Tính điện trở của tụ phẳng (tt) 
x
S
U S
J S J .S
d
 
 db) Có: Irò 
2
J
V V
P J E E
 dV dVc) Công suất tổn hao nhiệt: 
Nhận xét: 
2
J
cd
U
P
R
2 2
J 2 V
U U S
P
d d
 
 dV
cd
ro
U d
R
I S
EM-Ch2 128 
 VD 2.9.8: Tính điện trở thanh dẫn 
J J a & div J 0
  Do tính đối xứng: 
1
(J ) 0
r


 
  
J const 
J
E a



Tìm điện trở giữa hai điểm 1-2 , biết ¼ vành 
khuyên vật dẫn có  = 3,3.107 (S/m) ; a = 5 
(cm) ; b = 10 (cm) ; bề dày h = 2 (mm) ; dòng 
điện I = 200 (A). Tìm mật độ dòng (và Jmax) , 
Rab và công suất tổn hao ? 
Giaûi 
 
EM-Ch2 129 
 VD 2.9.8: Tính điện trở thanh dẫn (tt) 
2 / 2
12
1 0
J J .r
U E
2
  

 
 d l rdCó: 
122 UJ
.r


b h
12 12
S a 0
2 U 2 U h b
I J . . ln
r a

 
dr
dr dz dz
I
J
r.h.ln(b/a)
 (max)
I
J
a.h.ln(b/a)
 
 Mặt khác: 
12 12R U / I
2 h ln(b/a)

2
J 12P R I 
 
EM-Ch2 130 
 VD 2.9.9: Tính điện trở cách điện 
Tụ điện trụ, điện môi thực có độ dẫn 
điện  = k0/r
2 (k0 = const),  = const, 
nối vào nguồn DC có U = const. 
a) Xác định vector cường độ trường điện trong điện môi ? 
b) Điện trở cách điện trên đơn vị chiều dài cáp ? 
Giải 
r
1
(rJ ) 0
r 
 
  
A
r r
J r r r
0
J Ar
E a a
k
r rJ J a a) Do tính đối xứng: (hệ trụ) 
divJ 0  Theo ptrình trường điện tĩnh miền có dòng: 
EM-Ch2 131 
 VD 2.9.9: Tính điện trở cách điện (tt) 
0
2 2
2k U
b a
A
0 0
b
Ar A 2 2
k 2ka
U (b a )dr  Theo định nghĩa hiệu thế điện: 
2 2
2Ur
rb a
E a
 0
2 2
2k U 1
rrb a
J a
0 0
2 2 2 2
2 1 2k U 2k U1
rb a b a0 0
I JdS ( ) 2
m
S
rd dz
 
b) Dòng rò qua tiết diện cách điện trên đơn vị chiều dài cáp : 
2 2
0
U b a
I 4πk
R