Bài giảng Ôtômát và ngôn ngữ hình thức - Chương 5: Máy Turing (Turing Machine) - Nguyễn Thị Thùy Linh

 MÁY TURING ĐƯỢC GIỚI THIỆU BỞI 
 ALAN TURING VÀO NĂM 1936. 
 CHƯƠNG 5: MÁY TURING (TURING MACHINE) Tham khảo:  
1. Mô tả máy Turing. 
2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi 
 TM 
3. TM thực hiện hàm tính 
4. Chương trình con. 
 1 2 
 MÔ TẢ MÁY TURING (TT) 
 MÔ TẢ MÁY TURING. 
 Mỗi bước chuyển của máy Turing, phụ thuộc vào ký hiệu 
 Một máy Turing gồm: do đầu đọc đọc được trên băng và trạng thái của bộ điều 
  Một bộ điều khiển hữu hạn. khiển, máy sẽ thực hiện các bước sau: 
  Một băng được chia thành các ô để lưu dữ liệu. 
  Chuyển trạng thái. 
  Một đầu đọc – viết, mỗi lần đọc có thể duyệt qua một ô trên băng để 
 đọc hay viết ký hiệu.  In một ký hiệu trên băng tại ô đang duyệt (nghĩa là thay 
 ký hiệu đọc được trên băng bằng ký hiệu nào đó). 
 Input, Bộ nhớ, Output  Dịch chuyển đầu đọc – viết (sang trái (L), sang phải (R) 
 a1 a2  ai an B B B B  hoặc đứng yên ()). 
 Một cách hinh thức, ta định nghĩa máy Turing (TM) như 
 sau: 
 Bộ điều khiển 
 3 4 
 1 
 MÔ TẢ MÁY TURING (TT) MÔ TẢ MÁY TURING (TT) 
 Một hinh thái (thể hiện) của máy Turing M được cho bởi 1q 2, trong 
 *
 Định nghĩa: TM là một hệ thống gồm các thành phần M(, Q, đó q là trạng thái hiện hành của M; 1 2  là nộ dung của băng tính 
 từ đầu băng cho tới ký hiệu khác Blank bên phải nhất của băng. Giả sử 
 , , q0, B, F), trong đó: 
 Q và  rời nhau: đầu đọc đang đọc ký hiệu bên trái nhất của hoặc 
  : bộ ký hiệu nhập. 2
 nếu 2 =  thì đầu đọc đọc Blank. 
  Q: tập hữu hạn các trạng thái. 
 Hàm chuyển: Ta định nghĩa một phép chuyển trạng thái của TM như 
  : tập hữu hạn các ký tự được phép viết trên băng. 
 sau: 
  B: ký hiệu thuộc  dùng để chỉ khoảng trắng trên băng (Blank). 
 Đặt X1X2Xi-1qXiXnlà một thể hiện của TM. 
  : hàm chuyển ánh xạ: Q x  Q x  x {L, R, } ( có thể không 
  Giả sử (q, X ) = (p, Y, L), trong đó: 
 xác định với một vài đối với). i
 Nếu i – 1 = n thì Xi là B. 
  q0 Q là trạng thái bắt đầu. 
 Nếu i= 1 thì không có ID kế tiếp, nghĩa là đầu đọc không được 
  F  Q là tập các trạng thái kết thúc. 
 phép vượt qua cận trái của băng. 
 5 6 
 MÔ TẢ MÁY TURING (TT) 
 NỘI DUNG 
 Nếu i>1 ta viết: 
 X X X qX X | X X X pX YX X 
 1 2 i-1 i n M 1 2 i-2 i-1 i+1 n 1. Mô tả máy Turing. 
  Tương tự (q, X ) = (p, Y, R) thì ta viết: 
 i 2. Ngôn ngữ chấp nhận 
 X1X2Xi-1qXiXn |M X1X2Xi-1YpXi+1Xn bởi TM 
  Tương tự (q, Xi) = (p, Y,) thì ta viết: 3. TM thực hiện hàm tính 
 X1X2Xi-1qXiXn |M X1X2Xi-1pYXi+1Xn 4. Chương trình con. 
 Chú ý rằng nếu i-1 = n thì chuỗi XiXn là rỗng và 
 vế phải dài hơn vế trái, nghĩa là TM M mở rộng 
 chuỗi ký hiệu trên băng. 
 7 8 
 2 
 NGÔN NGỮ CHẤP NHẬN BỞI TM GIẢI THUẬT 
 Ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM: Ký hiệu L(M): tập hợp n n 
 các chuỗi trong * là nguyên nhân đưa TM M đi đến trạng B1: Input : w = 0 1
 thái kết thúc khi đã thực hiện việc thay thế từ bến trái các ký Output : yes , w L 
 hiệu trên băng của M với trạng thái bắt đầu q0. Một cách hình No, w L 
 thức, ta định nghĩa tập hợp ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM 
 M(, Q, , , q0, B, F) là tập: B2 : ý tưởng chung: 
 * * n n
 L(M) = {w| w  và q0w | M 1p 2 với p F còn 1 2 Khởi đầu TM chứa 0 1 bên trái nhất trên 
 *
  } băng sau đó là vô hạn khoảng trống Blank. 
 Ví dụ 6.1: 
 TM lặp lại quá trình sau: 
 Thiết kế TM chấp nhận ngôn ngữ L = {0n1n | n 1 } 
 9 10 
 GIẢI THUẬT (TT)  Ta có thể hình dung mỗi trạng thái là một câu lệnh hoặc 
 một nhóm câu lệnh trong chương trình. Trạng thái q0 là 
  TM thay 0 bên trái nhất bằng X rồi chuyển sang phải tới 1 trái nhất, trạng thái khởi đầu và nó làm cho ký hiệu 0 bên trái nhất 
 TM thay 1 này bằng Y rồi dịch chuyển về bên trái cho tới khi gặp X 
 phải nhất nó chuyển sang phải một ô (tới 0 trái nhất) rồi tiếp tục lập thay bằng X. Trạng thái q1 được dùng để tiến sang phải 
 một chu trình mới. bỏ qua các số 0 và Y để tìm 1 bên trái nhất. Nếu M tìm 
  Nếu trong khi chuyển sang phải để tìm 1 mà TM gặp Blank thì TM thấy 1 nó thay bằng 1 bằng Y rồi đi vào trạng thái q2. 
 dừng lại và không chấp nhận input. Tương tự, khi TM đã thay hết 0 Trạng thái q đưa M tiến sang trái cho tới X đầu tiên và 
 bằng X và kiểm tra còn 1 trên băng thì TM cúng dừng và không chấp 2
 nhận input. đi vào trạng thái q0, dịch chuyển sang phải để tới 0 bên 
  TM chấp nhận input nếu như cũng không còn ký hiệu 1 nào trên trái nhất và tiếp tục một chu trình mới. Khi M tiến sang 
 băng nữa. phải trong trạng thái q1, nếu B hoặc X được tiếp thấy 
 B3: Thiết kế: trước 1 thì input bị loại bỏ (không chấp nhận) vì có chứa 
 nhiều ký hiệu 0 hơn 1 hoặc input không có dạng 0*1*. 
 Đặt TM: M(, Q, , , q0, B, F) với các thành phần: 
 ={0, 1}; Q={q0, q1, q2, q3, q4}; ={0,1, X, Y, B} và F={q4} 
 11 12 
 3 
  Trạng thái q còn có vai trò khác. Nếu trạng thái q tìm 
 0 2  Ký hiệu 
 thấy X bên phải nhất thì ngay sau đó là Y thì các con số 
 0 đã được xét hết, do đó ở trạng thái bắt đầu một chu Trạng thái 0 1 X Y B 
 q (q , X, R) - - (q , Y, R) - 
 trình mới q không tìm thấy ký hiệu 0 nào để thay thành 0 1 3
 0 q (q , 0, R) (q , Y, L) - (q , Y, R) - 
 X mà chỉ gặp Y thì M đi vào trạng thái q duyệt qua các 1 1 2 1
 3 q (q , 0, L) - (q , X, R) (q , Y, L) - 
 Y để kiểm tra có hay không có ký hiệu 1 còn lại. Nếu 2 2 0 2
 q (q , Y, R) (q , B, ) 
 theo ngay sau các Y là B, nghĩa là trên băng nhập không 3 3 4
 q4 - - - - - 
 còn ký hiệu bào cả thì M sẽ đi vào q4 (trạng thái kết 
 thúc) để chấp nhận input. Ngược lại input bị loại bỏ. B4 : Các phép chuyển hinh thái của TM M trên input 0011: 
  Hàm chuyển  được cho bởi bảng sau: q00011 | Xq1011 | X0q111 | Xq20Y1 | q2X0Y1 | Xq00Y1 
 | XXq1Y1 | XXYq11 | XXq2YY | Xq2XYY | XXq0YY | 
 XXYq3Y | XXYYq3 | XXYYq4 
 13 Output: Yes 14 
 B5: Thiết kế thuật toán 
 B6: Cài đặt thuật toán 
 B7: Testing Demo NỘI DUNG 
 1. Mô tả máy Turing. 
 2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi 
 TM 
 3. TM thực hiện hàm tính 
 4. Chương trình con. 
 15 16 
 4 
 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH 
 Ngôn ngữ được chấp nhận bởi một máy Turing được gọi là MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT) 
 ngôn ngữ đệ qui liệt kê. Lớp ngôn ngữ này rất rộng nó chứa 
 ngôn ngữ phi ngữ cảnh và một số ngôn ngữ khác.  Ví dụ 6.2: Thiết kế máy Turing tính toán phép trừ riêng 
 Máy Turing như một máy tính hàm số nguyên: Ta định nghĩa phép trừ riêng như sau: 
  Máy Turing cũng có thể được xem như là một máy tính của các hàm m – n nếu m n 
 f(m,n) = m\n = 
 số nguyên (đi từ tập số nguyên đến tập số nguyên). 
 0 nếu m<n 
  Mỗi số nguyên ta viết dưới dạng số trong hệ nhất phân (unary), tức 
 i
 là với một số i 0 ta viết thành chuỗi 0 (gồm i chữ số 0). m n
 Input: 0 10 
 
 Nếu hàm f có k đối số i1, i2, , ik thì ta viết lần lượt các số nguyên m\n
 này trên băng của TM ngăn cách nhau bởi 1, nghĩa là input có dạng Output: 0 
 0i110i20ik. Nếu TM dừng (chấp nhận hoặc không chấp nhận) với 
 m
 băng 0 thì ta nó f(i1,i2,,ik) = m 
 17 18 
 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT) MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT) 
 M lặp lại việc thay thế lần lược từng số 0 ở đầu băng bằng B rồi tiến ii. Khi bắt đầu một vòng lặp mới, M không tìm thấy 0 để 
 sang phải, ra sau 1 tìm 0 và thay thế 0 này bằng 1. M lại chuyển sang đổi thành B, lúc này m số 0 đầu đã bị đổi thành B, 
 trái cho đến khi gặp B đầu tiên thì dừng lại, trở về trạng thái bắt đầu và trường hợp này xảy ra khi m n. Khi đó, M thay tất cả 
 tiếp tục vòng lặp như trên. M dừng nếu: các sô1 1 và 0 trên băng thành B để cho kết quả phép 
 i. Khi tìm 0 bên phải, M gặp B. Lúc này M đã thay n số 0 bên phải trừ thành 0 (biểu diễn gồm toàn ký hiệu B trong hệ 
 0m10n thành 1 và n+1 số 0 bên trái thành B, trường hợp này xảy ra nhất phân). 
 khi trong chuỗi input có m>n. Do vậy M phải thay lại tất cả n +1 
 số 1 sau thành B, và sau đó dịch trái thay trả lại một B về thành 0, Ta xây dựng TM như sau: M({0, 1}, {q0, q1,, q6}, {0, 1, 
 cuối cùng trên băng còn lại kết quả phép trừ là m-n số 0. B}, , q0, B, {q6}). 
 TM sẽ bắt đầu bằng 0m10n trên băng và kết thúc với 0m\n 
 trên băng. Các phép chuyển trạng thái được định nghĩa 
 như sau: 
 19 20 
 5 
 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT) MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT) 
 5. (q2, B) = (q4, B, L) 
1. (q0, 0) = (q1, B, R) 
 (q4, 1) = (q4, B, L) 
 M thay 0 đầu băng bởi B 
 (q4, 0) = (q4, 0, L) 
2. (q1, 0) = (q1, 0, R) 
 (q4, B) = (q6, 0, ) 
 (q1, 1) = (q2, 1, R) 
 M di chuyển sang phải qua 0 tìm 1 Nếu ở trạng thái q2 sang phải tìm 0 để thay thành 1 nhưng chỉ gặp B 
 thì ta xét trường hợp kết thúc i) ở trên: TM chuyển sang trạng thái 
3. (q2, 1) = (q2, 1, R) 
 q4 và chuyển sang trái đổi tất cả 1 thành B cho đến khi gặp 1 B bên 
 (q2, 0) = (q3, 1, L) trái đầu tiên. B này sẽ được thay lại thành 0 rồi M đi vào trạng thái 
 M di chhuyển sang phải vượt qua 1 đến khi gặp 0, đổi 0 thành 1. 
 kết thúc q6 và dừng. 
4. (q3, 0) = (q3, 0, L) 
 6. (q0, 1) = (q5, B, R) 
 (q3, 1) = (q3, 1, L) 
 (q5, 0) = (q5, B, R) 
 (q3, B) = (q0, B, R) 
 (q5, 1) = (q5, B, R) 
 M dịch trái tới khi gặp B, trở về trạng thái q0 và bắt đầu một vòng lặp mới. 
 (q5, B) = (q6, B, ) 
 21 22 
 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT) 
 NỘI DUNG 
 Nếu ở trạng thái bắt đầu vòng lặp mới q0 gặp 1 thay vì gặp 0, 
 thì khối các sô 0 bên trái đã xét hết, đây là trường hợp kết 
 1. Mô tả máy Turing. 
 thúc ii) nêu trên: TM sẽ đi vào trạng thái q5, xóa phần còn 
 2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi 
 lại của băng rồi đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng. 
 TM 
 Chẳng hạn TM tính toán phép trừ 2\1 (tức input 0010) như 
 sau: 3. TM thực hiện hàm tính 
 4. Chương trình con. 
 q00010 | Bq1010 | B0q110 | B01q20 | B0q311 | 
 Bq3011 | q3B011 | Bq0011 | BBq111 | BB1q21 | 
 BB11q2 | BB1q41 | BBq41 | Bq4BB | Bq60B. 
 23 24 
 6 
 CHƯƠNG TRÌNH CON CHƯƠNG TRÌNH CON (TT) 
 TM có thể đóng vai trò như một đoạn chương trình con với Phần chính của thủ tục trên là thủ tục COPY để chép n số 0 sang phải. 
 trạng thái bắt đầu và trạng thái kết thúc để thực hiện lặp lại Thủ tục này được xác định bằng hàm chuyển sau: 
 một công việc nào đó. 
 0 1 2 B 
 Ví dụ 6.3: Thiết kế TM tính toán hàm nhân 2 đối số f(m,n) 
 q1 (q2, 2, R) (q4, 1, L) 
 = mxn. 
 q2 (q2, 0, R) (q2, 1, R) (q3, 0, L) 
 m n mn
 M bắt đầu với 0 10 trên băng và kết thúc với 0 trên q3 (q3, 0, L) (q3, 1, L) (q1, 2, R) 
 băng được bao quanh bởi các Blank. q4 (q5, 1, R) (q4, 0, L) 
 Ý tưởng chung là đặt thêm 1 sau 0m10n rồi chép khối n số 
 0 sang phải m lần, mỗi lần xóa một con số 0 bên trái của Ở trạng thái q1 nhìn thấy 0, M đổi 0 thành 2 và đi vào trạng thái q2. Ở 
 trạng thái q M dịch phải tới Blank viết 0 rồi dịch trái trong trạng thái q . 
 0m. Ta được kết quả cuối cùng là 10n10mn. Giờ chỉ việc xóa 2 3
 Khi ở trạng thái q3 mà gặp 2 M đi vào trạng thái q1 để tiếp tục lặp lại quá 
 10n1 ta được kết quả 0mn. 
 25 trình trên cho tới khi gặp 1. 26 
 CHƯƠNG TRÌNH CON (TT) CHƯƠNG TRÌNH CON (TT) 
 Trạng thái q được dùng để biến đổi 2 thành 0 và thủ tục dừng tai q . Để 
 4 5 0 1 2 B 
 làm đầy đủ chương trình ta phải thêm các trạng thái để biến đổi ID khởi 
 m n m-1 n q5 (q7, 0, L) 
 đầu q00 10 thành B0 1q10 1. Tức là ta cần 3 qui tắc: 
 q7 (q8, 1, L) 
 (q0, 0) = (q6, B, R) 
 q8 (q9, 0, L) (q10, B, R) 
 (q6, 0) = (q6, 0, R) 
 q9 (q9, 0, L) (q0, B, R) 
 (q6, 1) = (q1, 1, R) 
 q10 (q11, B, R) 
 Sau đó, ta lại thêm các trạng thái cần thiết để biến đổi ID Bi0m-i1q 0n10ni 
 5 q (q , B, R) (q , B, R) 
 i+1 m-i-1 n ni 11 11 12
 thành B 0 1q10 10 là trạng thái bắt đầu lại COPY và kiểm tra có 
 hay không i=m (tất cả các 0 của 0m đã bí xóa). Nếu i=m thì 10n1 bị xóa 
 Vì input chỉ có 0m10n ta muốn có 0m10n1 trên băng ta cần thêm vào 
 và tính toán dừng lại trạng thái q 
 12 các hàm chuyển trạng thái như sau: 
 27 28 
 7 
 CHƯƠNG TRÌNH CON (TT) BÀI TẬP 
 (q13, 0) = (q13, 0, R) 1.Thiết kế máy turing đoán nhận ngôn ngữ: 
 (q13 ,1) = (q13, 1, R)  L={an bn cn , n 1} 
 (q , B) = (q , 1, L) 
 13 14  L = { an b2n , n 1} 
 (q , 0) = (q , 0, L) 
 14 14 2.Thiết kế máy turing thực hiện: 
 (q14, 1) = (q14, 1, L) 
  a+b 
 (q14, B) = (q0, B, R). 
 Từ hàm chuyển  ta có thể vẽ sơ đồ chuyển cho TM (sinh  5*n 
 viên tự vẽ lấy).  n! 
 Ta có thể đánh số thứ tự của các trạng thái lại theo ý muốn. 
 29 30 
 8