Tuyển tập 200 bài toán vận dụng và vận dụng cao hay nhất - Năm học 2020-2021

.
273
 D. 
136
.
195
Lời giải 
Có tất cả 15 điểm được tô màu gồm 4 đỉnh của tứ diện, 6 trung điểm của 6 cạnh, 
4 trọng tâm của 4 mặt bên và 1 trọng tâm của tứ diện. 
Không gian mẫu là “Chọn ngẫu nhiên 4 trong số 15 điểm đã tô màu”. Số phần 
tử của không gian mẫu là 415.n C 
Gọi A là biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng”. Suy ra A là biến cố “4 điểm 
được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện”. Để xác định số kết quả thuận lợi cho 
biến cố A ta xét các trường hợp sau: 
a. 4 điểm cùng thuộc “một mặt bên của tứ diện” 
Một mặt bên có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên 
một mặt bên là 4
7
C (cách). 
Có tất cả 4 mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a. là 4
7
4.C (cách). 
b. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 cạnh của tứ diện và trung điểm của 
cạnh đối diện”. 
Mặt phẳng đó có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên 
mỗi mặt là 4
7
C (cách). 
Hình tứ diện có 6 cạnh nên có tất cả 6 mặt như thế. Số cách chọn 4 điểm thỏa mãn 
trường hợp b. là 4
7
6C (cách). 
c. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 đỉnh và đường trung bình của tam giác 
đối diện đỉnh đó”. 
Mặt phẳng đó có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên 
mỗi mặt là 4
5
C (cách). 
Do mỗi mặt bên là một tam giác có 3 đường trung bình, nên mỗi đỉnh có tương 
ứng 3 mặt phẳng như thế (chứa đỉnh và đường trung bình). Mà tứ diện có 4 đỉnh 
nên có tất cả 3.4 12 mặt phẳng ở trường hợp c. 
Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c. là 4
5
12C (cách). 
d. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 2 đường nối 2 trung điểm của các cạnh 
đối diện”. 
Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 
180 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 
Có 3 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện. Số mặt phẳng được tạo thành 
từ 2 trong 3 đường đó là 2
3
C (mặt phẳng). 
Mỗi mặt phẳng như thế có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng 
phẳng) là 4
5
C (cách). 
Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d. là 2 4
3 5
.C C (cách). 
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 4 4 4 2 47 7 5 3 54 6 12 . 425n A C C C C C . 
Vậy xác suất cần tính là 415
425 188
1 1 1 .
273
n A
P A P A
n C

Đáp án A. 
Câu 5: Trong khai triển 0 11 2 ... , * .
n n
n
x a a x a x n Tìm số lớn nhất 
trong các hệ số 0 1, ,..., ,na a a biết 
1
0
... 4096.
2 2
n
n
aa
a 
 A. 126720. B. 213013. C. 130272. D. 130127. 
Lời giải 
Theo đề ta có 0 11 2 ...
n n
n
x a a x a x 
Thay 
1
2
x ta có 1 20 21 1 ... 4096.2 2 2
n n
n
aa a
a 
2 4096 12.n n 
Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức 
12
1 2x là 
12
.2n n
n
a C 
1 1
1 12
.2 .n n
n
a C 
Xét bất phương trình với ẩn số n ta có 1 1
12 12
.2 .2n n n nC C 
12! 12!.2 1 2 26
.
13 31 !. 13 ! !. 12 !
n
n nn n n n
Do đó bất đẳng thức đúng với 0;1;2;3;4;5;6;7;8n và dấu đẳng thức không 
xảy ra. 
Ta được 0 1 2 8...a a a a và 8 9 10 11 12 .a a a a a 
Vậy giá trị lớn nhất của hệ số trong khai triển nhị thức là 8 8
12
.2 126720.C 
Đáp án A. 
Câu 6: Lớp 12B có 25 học sinh được chia thành hai nhóm I và II sao cho mỗi nhóm 
đều có học sinh nam và nữ, nhóm I gồm 9 học sinh nam. Chọn ra ngẫu nhiên 
mỗi nhóm 1 học sinh, xác suất để chọn ra được 2 học sinh nam bằng 0,54. Xác 
suất để chọn ra được hai học sinh nữ bằng 
 A. 0,42. B. 0,04. C. 0,23. D. 0,46. 
Lời giải 
Gọi x,y lần lượt là số học sinh nữ ở nhóm I và nhóm II. Khi đó số học sinh nam ở 
nhóm II là 25 9 16 .x y x y Điều kiện để mỗi nhóm đều có học sinh 
nam và nữ là 1, 1,16 1; , .x y x y x y 
Xác suất để chọn ra được hai học sinh nam bằng 
1 1
9 16
1 1
9 16
0,54
x y
x x
C C
C C
200 bài toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 181 
2
2
9 16 144 9 9 184 71 3
0,54 0,54
25 50 509 16 144 7
x y x y
y x x
x x x x
Ta có hệ điều kiện sau 
2
2
1
184 71 3
1
25 50 50
184 71 3
16 1
25 50 50
x
x x
x x x
x
2
2
1
1
53
3 71 159
30
1 650 50 25 6
3 21 191
0 21 5 201 21 5 20150 50 25
6 6
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
Ta có bảng các giá trị của x,y: 
x 1 2 3 4 5 6 
y 
6 
(thỏa) 
119
25
(loại) 
91
25
(loại) 
66
25
(loại) 
44
25
(loại) 
1 
(loại) 
Vậy ta tìm được hai cặp nghiệm nguyên ;x y thỏa mãn điều kiện là 1;6 và 
 6;1 . 
Xác suất để chọ ra hai học sinh nữ là 
1 1
1 1
9 16
9 16
x y
x x
C C xy
x xC C
. 
Nếu ; 1;6 , 6;1x y thì xác suất này bằng 
1
0,04.
25
Đáp án B. 
Câu 7: Cho ba toa tàu đánh số từ 1 đến 3 và 12 hành khách. Mỗi toa đều chứa 
được tối đa 12 hành khách. Gọi n là số cách xếp các hành khách vào các toa tàu 
thỏa mãn điều kiện “mọi toa đều có khách”. Tìm số các chữ số của n . 
 A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. 
Lời giải 
* Xếp 12 khách vào 3 toa tàu (có thể có toa không có khách): Có 123 cách. 
* Trừ đi các trường hợp có KHÔNG QUÁ 2 toa có khách: 2 12
3
.2C . 
(Chọn ra hai toa tàu có 2
3
C cách. Sau đó xếp tùy ý 12 khách vào 2 toa đã chọn ra 
này, tức là có thể có một trong hai toa này không có khách). 
Nhưng như vậy ta đã trừ đi các trường hợp chỉ có một toa có khách đến hai lần 
nên phải cộng lại số này: 1 12
3
.1C . 
* Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là 12 2 12 1 12
3 3
3 .2 .1 519156C C cách. 
Do đó chọn đáp án B. 
Bài toán tổng quát: Có bao nhiêu cách xếp q hành khách vào n toa tàu khác nhau 
sao cho toa tàu nào cũng có khách? (hay chính là bài toán chia quà: Có bao nhiêu 
cách chia q món quà khác nhau cho n bạn sao cho bạn nào cũng có quà?). 
Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 
182 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 
Ở bài toán trên, ta có: 
12 12 12 1212 2 12 1 12 0 1 2 3
3 3 3 3 3 3
3 .2 .1 3 0 3 1 3 2 3 3C C C C C C . 
Lập luận tương tự như bài toán trên ta có số cách xếp (cách chia) là: 
 0 1 2 3
0
0 1 2 3 ... 1
n
q q q q k qk
n n n n n
k
C n C n C n C n C n k
  . 
Bài toán này khác với bài toán chia kẹo Euler: Có bao nhiêu cách chia q chiếc kẹo 
giống nhau cho n em bé sao cho em nào cũng có kẹo? 
Đáp án B. 
Câu 8: Cho đa giác lồi H có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là 
ba đỉnh của .H Chọn ngẫu nhiên hai tam giác trong X. Tính xác suất để chọn 
được 1 tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác H và 1 tam giác không có cạnh 
nào là cạnh của đa giác H (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) 
 A. 0,374. B. 0,375. C. 0,376. D. 0,377. 
Lời giải 
* Đa giác lồi H có 22 cạnh nên cũng có 22 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh 
của đa giác H là 322 1540C (tam giác). 
Suy ra số phần tử của không gian mẫu  là 21540.n C 
* Số tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác H là 22.18 396 (tam giác). 
Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác H là 22 (tam giác). 
Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác H là 1540 396 22 1122 
(tam giác). 
Gọi A là biến cố “Hai tam giác được chọn có có 1 cạnh là cạnh của đa giác H 
và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác H ”. 
Số phần tử của A là 1 1396 1122. .n A C C 
* Vậy xác suất cần tìm là 
1 1
396 1122
2
1540
. 748
0,375.
1995
n A C C
P A
n C

Đáp án B. 
Câu 9: Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau: 
    1 , 2;3 , 4;5;6 , 7;8;9;10 ,... , trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp 
ngay trước đó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử 
cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi nS là tổng của các phần tử 
trong tập hợp thứ n. Tính 999S 
 A. 498501999. B. 498501998. C. 498501997. D. 498501995. 
Lời giải 
Ta thấy tập hợp thứ n có n số nguyên liên tiếp, và phần tử cuối cùng của tập này 
là 
 1
1 2 3 ... .
2
n n
n
200 bài toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 183 
Khi đó nS là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng có số hạng đầu là 
1
1
,
2
n n
u
 công sai là 1d (coi số hạng cuối cùng trong tập hợp thứ n là số 
hạng đầu tiên của cấp số cộng này), ta có: 
 1 2
2 1 1
1 1 1 .
2 2 2n
n u n d n
S n n n n n
Vậy 2999
1
.999. 999 1 498501999.
2
S 
Đáp án A. 
Câu 10: Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng 
lại ở một trong mười vị trí với khả năng như nhau. Xác suất để trong ba lần quay, 
chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trị khác nhau là 
 A. 0,001. B. 0,72. C. 0,072. D. 0,9. 
Lời giải 
Số phần tử của không gian mẫu  là 310 .n  
Gọi A là biến cố “chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trị khác 
nhau”, suy ra 10.9.8 720.n A 
Vậy xác suất cần tính là 
 3
720
0,72.
10
n A
P A
n

Đáp án B. 
Câu 11: Để thi học kỳ bằng hình thức vấn đáp, thầy giáo đã chuẩn bị 50 câu hỏi 
cho ngân hàng đề thi. Bạn A đã học và làm được 20 câu trong đó. Để hoàn thành 
bài thi thì bạn A phải rút và trả lời 4 câu trong ngân hàng đề. Tính xác suất để 
bạn đó rút được 4 câu mà trong đó có ít nhất 1 câu đã học. 
 A. 
4
20
4
50
.
C
C
 B. 
4
30
4
50
1 .
C
C
 C. 
4
30
4
50
.
C
C
 D. 
4
20
4
50
1 .
C
C
Lời giải 
+ Rút ra 4 câu bất kì Có 4
50
C cách. 
+ Rút ra 4 câu mà không có câu nào học thuộc Có 4
30
C cách. 
 Xác suất đề bạn đó rút được 4 câu trong đó có ít nhất một câu đã học là 
4
30
4
50
1
C
C
Đáp án B. 
Câu 12: Tổng 0 2018 1 2017 2 2016 2018
2018 2018 2018 2018
.2 .2 .2 ...P C C C C là: 
 A. 1.P B. 0.P C. 20172 .P D. 20182 .P 
Lời giải 
Xét các khai triển 
2018 0 2018 1 2017 2 2016 2 2018 2018
2018 2018 2018 2018
...a b C a C a b C a b C b 
Thay 2, 1a b ta có: 
0 2018 1 2017 2 2016 2018
2018 2018 2018 2018
1 2 2 2 ...C C C C P 
Đáp án A. 
STUDY TIPS 
Tổng n số hạng đầu tiên của 
một cấp số cộng có số hạng 
đầu 
1
u , công sai d là: 
 1
n
n 2u n 1 d
S .
2
Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 
184 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 
Câu 13: Cho dãy số 0 1 2 23
23 23 23 23
, , , ..., .C C C C Có bao nhiêu bộ gồm 3 số hạng liên tiếp 
trong dãy số trên lập thành cấp số cộng? 
 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 
Lời giải 
Ba số 1 2
23 23 23
, ,n n nC C C theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 2
23 23 23
2 n n nC C C 
 1 1 1 223 23 23 23 234 n n n n nC C C C C 
1 1 2 1 2
23 24 24 23 25
4 4n n n n nC C C C C 
84.23! 25!
2 23 150
131 ! 22 ! 2 ! 23 !
n
n n
nn n n n
Ta được số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số trên là 8 9 10
23 23 23
, ,C C C 
và 13 14 15
23 23 23
, , .C C C 
Đáp án C. 
Câu 14: Một bình chứa các viên bi đủ bốn màu: đỏ, trắng, xanh và lam. Lấy ngẫu 
nhiên và đồng thời bốn viên bi từ trong bình thì xác suất xảy ra các biến cố sau 
là như nhau: 
 (1) Cả bốn viên bi đều màu đỏ. 
 (2) Có một viên bi màu trắng và ba viên bi màu đỏ. 
 (3) Có một viên bi màu trắng, một viên bi màu xanh và hai viên bi màu đỏ. 
 (4) Bốn viên bi có đủ cả bốn màu. 
Hỏi số viên bi nhỏ nhất trong bình thỏa mãn các điều kiện trên? 
 A. 19. B. 69. C. 46. D. 21. 
Lời giải 
Gọi , , ,r w g b lần lượt là số viên bi màu đỏ, trắng, xanh và lam. 
Điều kiện *, , , ; 4r w g b r . 
Suy ra tổng số bi là n r w g b . 
Do đó, số cách lấy bốn viên bi từ trong bình là 4
n
C . 
Số cách lấy được bốn viên bi màu đỏ là 4
r
C . 
Số cách lấy được một viên bi màu trắng và ba viên bi màu đỏ là 1 3
w r
C C . 
Số cách lấy được một viên bi máu trắng, một viên màu xanh và hai viên màu đỏ 
là 1 1 2
w g r
C C C . 
Số cách lấy được bốn viên bi có đủ cả bốn màu là 1 1 1 1
w g r b
C C C C . 
Theo giả thiết, ta có 
1 1 2 1 1 1 14 1 3
4 4 4 4
w g r w g r br w r
n n n n
C C C C C C CC C C
C C C C
 . 
Giải hệ ra ta được 
1 4 13 4
2 3 1 3 1
1 2 1 2 1
r wr w
r g r g
r b r b
. Ta tìm số nguyên dương r nhỏ 
nhất sao cho , ,w g b cũng là các số nguyên dương. 
Xét 1r là bội chung nhỏ nhất của 4,3 và 2 , tức là 1 12 11r r . 
STUDY TIPS 
a, b, c theo thứ tự tạo thành 
cấp số cộng 2a c b 
Gọi r, w, g, b là số bi đen, 
trắng, xanh, lam. Ta có: 
Có 
(Thỏa mãn vì w, g, b đều 
thuộc ) 
STUDY TIP 
200 bài toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 185 
Thử lại thấy 2, 3, 5w g b đều là các số nguyên dương. 
Vậy số bi nhỏ nhất cần tìm là 21n . 
Đáp án D. 
Câu 15: Cho hai số thực a và b thỏa mãn 
24 3 1
lim 0
2 1x
x x
ax b
x 
. Khi đó 
2a b bằng 
 A. 4 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . 
Lời giải 
Cách 1: 
22 4 2 2 3 14 3 1
lim lim 0
2 1 2 1x x
a x a b x bx x
ax b
x x
2
4 2 0
2 35
2 3 0
2
a
a
a b
a b b
. 
Cách 2: Ta có 
24 3 1 5 7
lim lim 2
2 1 2 2 2 1x x
x x
ax b x ax b
x x
Mà 
24 3 1
lim 0
2 1x
x x
ax b
x 
5 7
lim 2 0
2 2 2 1x
x ax b
x
2 0
5
0
2
a
b
2
5
2
a
b
. 
Khi đó 2 3a b . 
Đáp án D. 
Câu 16: Cho dãy số nu thỏa mãn 
1
1
1
, 2
3 1
 
 n n
u
n n
u u
. Tìm giá trị nhỏ 
nhất của n để 9log 100 nu . 
 A. 102 . B. 101 . C. 202 . D. 201 . 
Lời giải 
Ta có 
1 1
1 1
3 1 3
2 2n n n n
u u u u
Xét dãy số nv với 
1
.
2n n
v u Khi đó 1
1
3
: 2
3
n
n n
v
v
v v
Suy ra nv là cấp số nhân với số hạng đầu tiên 1
3
2
v và công bội 3q 
13 3 3 1.3 .
2 2 2 2
n n
n
n n
v u 
Do đó 100 200
9
log 100 9 3 1 2.3n
n n
u u 
 200 20033 2.3 1 log 2.3 1n n 
Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là 0 201.n 
Đáp án D. 
Với là các đa 
thức thì Bậc 
 Bậc . 
STUDY TIP 
Bài toán tổng quát: Cho dãy 
số biết 
.Tìm 
Xét sao cho 
Từ đó tìm được 
Suy ra 
 FOR REVIEW 
Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 
186 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 
Câu 17: Cho cấp số cộng nu . Gọi 1 2 ...n nS u u u . Biết rằng 
2
2
p
q
S p
S q
 với 
; , .p q p q Tính giá trị của biểu thức 2017
2018
u
u
 A. 
4031
.
4035
 B. 
4031
.
4033
 C. 
4033
.
4035
 D. 
4034
.
4035
Lời giải 
Gọi d là công sai của cấp số cộng nu . 
Ta có 
2 2
1 1
2 2
11
.
.
.
pp p
q qq
u u pS u up p p
S u u qq qu u q
Suy ra 
1 11 2017 1
1 2018 11 1
2016 2 20162017 2017 2017
2018 2018 2 2017 20182017
u u du u u d
u u u du u d
 21 1 12017 2 2017 2018 2 2016 2 2017 . 2018.2016u d u d u d d 
 2 2 21 12 2017 . 2017 1 2017 1 2017 2017 1 2 .u d d d d u d 
Vậy 2017 1 1 1
2018 1 1 1
2016 2016.2 4033
.
2017 2017.2 4035
u u d u u
u u d u u
Đáp án C. 
Câu 18: Cho hàm số 
4 3 4
4
 khi 0
.
 3 khi 0
xe e
x
f x x
ae x
 Giá trị của a để f x liên tục 
tại 0 0x bằng 
 A. 5. B. 1. C. 45 .e D. 1. 
Lời giải 
Ta có 
4 3 4 3
4 4 4
0 0 0
1
0 3 ; lim lim 3 lim 3 .
3
x x
x x x
e e e
f ae f x e e
x x
Để hàm số f x liên tục tại 0 00 lim 0 1.xx f x f a 
Đáp án D. 
Cho cấp số cộng có số 
hạng đầu và công sai d 
thì 
* Số hạng thứ n là 
. 
* Tổng n số hạng đầu tiên 
của cấp số cộng là 
 FOR REVIEW 
Để giải được bài toán này, 
các em cần nhớ: 
* liên tục tại 
với K 
là khoảng xác định của hàm 
số 
* 
STUDY TIP