Tổng hợp lý thuyết Toán THPT - Nguyễn Trọng Đoàn

 
Quy tắc: Ta đưa về chung gốc 
φ
a'
b
a
O
B1: Qua O thuộc b, ta kẻ đt a’ // a 
B2: Vậy (a, b) = (a’, b) = 
2. Cách xác định góc giữa đường 
thẳng d và mp(P) 
d
α
P
M
H
A
B1: Tìm giao điểm M = d  (P) 
B2: Từ A bất kì thuộc d, kẻ AH 
 (P) 
B3: Vậy (d, (P)) = AMH = 
3. Cách xác định góc giữa 
mp(P) và mp(Q) 
α
ba
R
Q
P
B1:Tìm giao tuyến = (P) (Q) 
B2: Dựng mp(R)  
B3: Tìm giao tuyến (R) với (P) 
và (Q) là đt a và b 
Vậy ( (P); (Q) ) = (a, b) = 
C. Khoảng cách 
1. Cách xác định khoảng cách 
từ M đến mp(P) 
Δ
Q
P
M
H
B1: Dựng mp(Q) chứa M và 
mp(Q)  mp(P) 
B2: Tìm giao tuyến 
(P) (Q)  
2. Khoảng cách từ đường thẳng 
a song song với mp(P) 
H
M a
P
Ta có: 
d(a, (P)) = d(M, (P)) ; với M bất 
kì nằm trên đường thẳng a. 
3. Khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau a và b. 
TH1: a, b chéo nhau và a  b. 
K
H
b
a
P
B1: Dựng mp(P) chứa đt b và 
vuông góc với đt a. 
B2: Tìm giao điểm H = a  (P) 
b
a
P
Q
a
QP
R
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 61 
B3:Kẻ MH thì 
MH = d(M, (P)) 
B3: Kẻ HK  b thì HK = d( a, b) 
TH2: a , b chéo nhau và a 
không vuông góc với b. 
P H
M a
b
B1: Dựng mp(P) chứa b và (P) // 
a 
B2: d(a, b) = d(a, (P)) = MH 
LÍ THUYẾT HÌNH HỌC LỚP 12 
CHƯƠNG I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
A. Khối đa diện 
1. Hình đa diện: Hình đa diện (đa diện) là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn 2 tính chất 
sau: 
+ Hai đa giác phân biệt có 3 khả năng: 
 - Hoặc không có điểm chung 
 - Hoặc chỉ có một đỉnh chung 
 - Hoặc chỉ có một cạnh chung 
+ Mỗi cạnh của đa giác bất kì cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác 
2. Khối đa diện: Là hình đa diện cộng với phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện đó. 
3. Khối đa diện lồi: là khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì thuộc khối đa diện, đều nằm trong 
khối đa diện đó. 
4. Khối đa diện đều loại {p, q}: là khối đa diện lồi thỏa mãn 2 tính chất: 
+ Mỗi mặt là một đa giác đều gồm p cạnh 
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt. 
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 62 
Bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện đều 
Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt 
{3 , 3} 
{3 , 4} 
{3 , 5} 
{4 , 3} 
{5 , 3} 
Tứ diện đều 
Bát diện đều 
Hai mươi mặt đều 
Lập phương 
Mười hai mặt đều 
4 
6 
12 
8 
20 
6 
12 
30 
12 
30 
4 
8 
20 
6 
12 
5. Định lí Ơle: 
B. Thể tích khối đa diện 
1. Thể tích khối chóp: 
1
V h.S
3
 (h là đường cao, S là diện tích đáy) 
2. Thể tích khối lăng trụ: V h.S (h là đường cao, S là diện tích đáy) 
3. Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c (a, b, c là độ dài 3 cạnh) 
4. Thể tích khối lập phương: 3V a (a là độ dài cạnh hình lập phương) 
5. Tỉ số thể tích (chỉ đúng với khối chóp tam giác) 
Cho khối chóp S.ABC, các điểm M, N, P nằm bất kì trên SA, SB, SC 
Khi đó ta có tỉ số thể tích S.MNP
S.ABC
V SM SN SP
. .
V SA SB SC
C. Kiến thức bổ trợ cho việc tính thể tích 
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có 
+ 2AB BH.BC ; 2AC CH.CB 
+ 2AH HB.HC 
+ AB.AC AH.BC 
+ 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
2. Diện tích tam giác 
a) Tam giác bất kì ta có 5 công thức tính diện tích 
a b c
1 1 1
S h .a h .b h .c
2 2 2
1 1 1
S b.c.sin A a.c.sin B a.b.sin C
2 2 2
a.b.c
S
4R
 ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) 
Số đỉnh – số cạnh + số mặt = 2 
A C
B
S
M
N
P
A
B C
H
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 63 
S p.r ( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi và 
a b c
p
2
 ) 
S p(p a)(p b)(p c) gọi là công thức Hê rông ( dùng tính diện tích khi biết độ dài 3 cạnh tam giác) 
b) Tam giác ABC vuông tại A thì 
1
S AB.AC
2
c) Tam giác đều ABC cạnh x thì 
2 3S x
4
3
h x
2
3. Diện tích các hình 
Tam giác: ABC
1
S AH.BC
2
Hình thang: 
ABCD
AB CD AH
S
2
Hình bình hành: 
ABCDS AH.CD 
Hình chữ nhật: S a.b 
b
a
Hình thoi: 1 2
1
S d .d
2
d2
d1
Hình vuông: 2S a 
a
CHƯƠNG II. KHỐI TRỤ - KHỐI NÓN – KHỐI CẦU 
A. Mặt nón tròn xoay 
1. Định nghĩa: 
a) Hình nón: Cho tam giác BOA vuông tại O. Khi quay tam giác đó xung quanh OA thì sẽ tạo ra hình 
nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). Trong đó: 
- OA là đường cao hình nón 
- AB là đường sinh hình nón 
- OB là bán kính đáy hình nón 
- góc 2 OAB gọi là góc ở đỉnh mặt nón 
B C
A
H
A B
D CH
A
B
D
CH
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 64 
b) Khối nón: Là phần không gian giới hạn bởi hình nón và kể cả hình nón đó. 
2. Công thức diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối nón 
a) Diện tích xung quanh: 
xqS .r.l ( l là đường sinh ) 
b) Diện tích toàn phần: 2tp xq dS S S .r.l .r 
c) Thể tích khối nón: 2
1
V .r .h
3
 (h là đường cao) 
B. Mặt trụ tròn xoay 
1. Định nghĩa 
a) Hình trụ: Xét hình chữ nhật ABCD, khi quanh hình chữ nhật quanh cạnh AB 
 thì sẽ tạo ra một hình gọi là hình trụ tròn xoay (gọi tắt là hình trụ). Trong đó: 
- AB gọi là đường cao hay trục hình trụ. 
- CD gọi là đường sinh ( trong hình trụ thì độ dài đường sinh bằng độ dài đường cao) 
- BC gọi là bán kính đáy. 
b) Khối trụ: Là phần không gian được giới hạn bởi hình trụ kể cả hình trụ đó. 
2. Công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ. 
a) Diện tích xung quanh: 
xqS 2 .r.h 
b) Diện tích toàn phần: 2tp xq dS S 2S 2 .r.h 2 .r 
c) Thể tích khối trụ: 2V .r .h 
C. Mặt cầu 
1. Định nghĩa 
a) Mặt cầu: Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được 
gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R. Kí hiệu S(O, R) 
b) Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu tâm S(O , R) và các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối 
cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính R. 
2. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O, R) và điểm A bất kì, khi đó nếu: 
- OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu. 
- OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu. 
- OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu. 
3. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. 
Cho mp(P) và mặt cầu S(O , R), gọi H là hình chiếu của O lên mp(P) thì OH = d(O, (P)).Khi đó nếu: 
- OH > R thì mp(P) không có điểm chung với mặt cầu. 
- OH = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H khi đó H gọi là tiếp điểm còn mp(P) là mặt phẳng tiếp 
diện. 
CHÚ Ý: mp(P) tiếp xúc mặt cầu S(O, R) tại H khi và chỉ khi mp(P) OH 
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 65 
- OH < R thì mp(P) cắt mặt cầu S(O, R) theo giao tuyến là đường tròn tâm H, bán kính 2 2r R OH 
4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu 
Cho mặt cầu S(O , R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên ∆ thì OH = d(O, ∆). 
Nếu: 
- OH > R thì ∆ không cắt mặt cầu. 
- OH = R thì ∆ tiếp xúc mặt cầu tại H, ta gọi ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu và H là tiếp điểm. 
CHÚ Ý: ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu S(O, R) khi và chỉ khi ∆ OH tại điểm H. 
- OH < R thì ∆ cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A,B. 
5. Công thức tính diện tích, thể tích khối cầu 
a) Diện tích mặt cầu: 2S 4 .R 
b) Thể tích khối cầu: 3
4
V .R
3
6. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 
a) Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nếu các đỉnh khối chóp đều thuộc mặt cầu. 
Mặt cầu nội tiếp khối chóp nếu mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của khối chóp. 
Chú ý: Điều kiện cần để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy khối chóp phải ngoại tiếp đường tròn. 
Điều kiện cần và đủ để khối lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là khối lăng trụ đứng và đáy có đường tròn 
ngoại tiếp. 
b) Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. 
Bước 1: Tìm tâm đáy ( là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ) 
Bước 2: Dựng đường thẳng ∆ đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy 
 (∆ gọi là trục của chóp, lưu ý là mọi điểm nằm trên trục thì cách 
đều các đỉnh của đa giác đáy khối chóp) 
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 66 
Bước 3: Dựng đường trung trục của cạnh bên, hoặc mặt phẳng 
 trung trực của cạnh bên cắt trục ∆ tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. 
Chú ý: + Tam giác bất kì tâm đường tròn ngoại tiếp là giao 3 đường trung trực. 
 + Tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền. 
 + Tam giác đều tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm. 
 + Hình chữ nhật, hình vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là giao 2 đường chéo. 
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
A. Vec tơ trong không gian và tính chất 
1. Vec tơ và tính chất cơ bản 
Cho 1 1 1( , , )u x y z và 2 2 2( , , )v x y z 
a) 
1 2
1 2
1 2
x x
u v y y
z z
b) 1 2 1 2 1 2( , , )u v x x y y z z 
c) 1 1 1. ( , , )k u kx ky kz 
d) u , v cùng phương 1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
e) 1 2 1 2 1 2. . . .u v x x y y z z ( . 0u v u v ) 
f) 2 2 2
1 1 1u x y z 
g) 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos( , )
. .
x x y y z zu v
u v
u v x y z x y z
2. Tọa độ điểm 
Cho ( , , ); ( , , ); ( , , )A A A B B B C C CA x y z B x y z C x y z 
a) Gọi ( , , )M M MM x y z là trung điểm BC thì 
2
2
2
B C
M
B C
M
B C
M
x x
x
y y
y
z z
z
b) Gọi ( , , )G G GG x y z là trọng tâm tam giác ABC thì 
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
c) ( , , )B A B A B AAB x x y y z z 
MB
C
A
G
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 67 
d) 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z 
B. Tích có hướng và ứng dụng 
1. Định nghĩa: Cho 1 1 1( , , )u x y z và 2 2 2( , , )v x y z , tích có hướng của hai vec tơ kí hiệu là: [ , ]u v 
Công thức 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
[ , ] ; ;
y z z x x y
y z z x x y
u v 
2. Tính chất 
a) [ , ]u v vuông góc với u và v 
b) [ , ] . sin( , )u v u v u v 
c) ,u v cùng phương [ , ] 0u v 
3. Ứng dụng tích có hướng 
a) , ,wu v đồng phẳng [ , ].w 0u v 
b) AB, CD chéo nhau (ABCD là tứ diện) [ , ]. 0AB AC AD 
c) ABCD là tứ giác (4 điểm A, B, C, D đồng phẳng) [ , ]. 0AB AC AD 
d) 3 điểm A, B, C thẳng hàng [ , ] 0AB AC 
e) Diện tích tam giác ABC: 
1
,
2
ABCS AB AC 
f) Diện tích hình bình hành ABCD: ,ABCDS AB AD 
g) Thể tích tứ diện S.ABC: .
1
, .
6
S ABCV SA SB SC 
h) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: , . 'V AB AD AA 
C. Phương trình mặt cầu 
a) Mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) và bán kính R thì có phương trình là: 
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 
b) Phương trình: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu a2 + b2 + c2 - d > 0 
Khi đó mặt cầu có tâm I(a, b, c) và 2 2 2R a b c d 
c) mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R ( ,( ))d I P R 
d) mp(P) cắt mặt cầu (S) ( ,( ))d I P R . Khi đó giao tuyến là đường tròn 
(C) có bán kính r = 2 2R IH trong đó IH = d(I, (P)) 
C
B
A
S D'
C'B'
A'
D
CB
A
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 68 
D. Phương trình mặt phẳng 
1. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
a) Vec tơ n là vec tơ pháp tuyến của mp(P) nếu ( )n mp P 
b) Nếu n là vec tơ pháp tuyến của mp(P) thì .k n cũng là vec tơ pháp 
tuyến của mp(P). 
2. Phương trình mặt phẳng 
a) Nếu mp(P) nhận ( , , )n A B C làm vec tơ pháp tuyến và đi qua 0 0 0( , , )M x y z thì phương trình mp(P) là: 
 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 
b) Phương trình tổng quát của mp(P) là: Ax + By + Cz + D = 0 , khi đó ( , , )n A B C là vec tơ pháp tuyến. 
c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 
Nếu mp(P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A(a, 0, 0) ; B(0, b, 0) ; C(0, 0, c) thì phương trình mp(P) là: 
 1
x y z
a b c
d) Phương trình chùm mặt phẳng: 
Cho mp(P): a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và mp(Q): a2x + b2y +c2z +d2 = 0. Khi đó phương trình mặt phẳng 
chứa giao tuyến của mp(P) và mp(Q) có dạng là: 
 m(a1x + b1y + c1z + d1) + n(a2x + b2y +c2z +d2) = 0 (ta thường cho m = 1 để tìm n là 
xong) 
e) Nếu mp(P) đi qua 3 điểm A, B, C thì vec tơ pháp tuyến mp(P) là: ,n AB AC 
f) Chú ý: +) Hai mặt phẳng song song thì cùng vec tơ pháp tuyến. 
 +) Hai mặt phẳng vuông góc thì vec tơ pháp tuyến của mp này sẽ song song với mp kia. 
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 
Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 
a) mp(P) cắt mp(Q) : : ' : ' : 'A B C A B C 
b) mp(P) song song mp(Q) 
' ' ' '
A B C D
A B C D
c) mp(P) vuông góc với mp(Q) . ' . ' . ' 0A A B B C C 
d) mp(P) trùng với mp(Q) 
' ' ' '
A B C D
A B C D
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Cho M(x0, y0, z0) và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách từ M đến mp(P) là: 
0 0 0
2 2 2
( , ( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
Chú ý: mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I, bán kính R ( ,( ))d I P R ( mp(P) gọi là mp tiếp diện) 
n
M
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 69 
5. Góc giữa hai mặt phẳng 
Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 
Gọi α là góc giữa hai mp(P) và (Q). Khi đó 
2 2 2 2 2 2
. ' ' '
cos
' ' '
P Q
P Q
n n AA BB CC
n n A B C A B C
E. Phương trình đường thẳng 
1. Vec tơ chỉ phương của đường thẳng 
+ Vec tơ u được gọi là vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi giá u song song hoặc trùng với ∆. 
+ Nếu u là vec tơ chỉ phương của ∆ thì k. u (k ≠ 0) cũng là vec tơ chỉ phương của ∆ 
2. Phương trình tham số của đường thẳng 
Đường thẳng ∆ đi qua M(x0, y0, z0) và nhận ( , , )u a b c làm vec tơ chỉ phương thì có phương trình tham 
số là: 
0
0
0
.
.
.
x x a t
y y b t
z z c t
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng 
Nếu a.b.c ≠ 0 thì đường thẳng ∆ có dạng chính tắc là: 0 0 0
x x y y z z
a b c
4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
Cho đường thẳng ∆1 có vec tơ chỉ phương 1u và đi qua M1, đường thẳng ∆2 có vec tơ chỉ phương 2u và đi 
qua M2. 
TH1: ∆1 // ∆2 
1 2
1 1 2
u ,u 0
u ,M M 0
TH2: ∆1 và ∆2 trùng nhau 
1 2
1 1 2
u ,u 0
u ,M M 0
TH3: ∆1 và ∆2 cắt nhau 
1 2
1 2 1 2
u ,u 0
u ,u .M M 0
TH4: ∆1 và ∆2 chéo nhau 1 2 1 2u ,u .M M 0 
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Cho đường thẳng ∆ đi qua M và nhận u là vec tơ chỉ phương. Mặt phẳng (P) có n là vec tơ pháp tuyến. 
ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 
Hoa sẽ nở khi ngậm đủ gió sương Page 70 
TH1: ∆ // mp(P) 
u.n 0
M mp(P)
TH2: ∆ nằm trên mp(P) 
u.n 0
M mp(P)
TH3: ∆ cắt mp(P) u.n 0 
TH4: ∆ mp(P) u,n cùng phương. 
6. Góc giữa hai đường thẳng 
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 thì 
1 2
1 2
u .u
cos
u . u
 trong đó 1 2u ,u là các vec tơ chỉ phương của ∆1 và ∆2 
7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Gọi α là góc giữa đường thẳng ∆ và mp(P) thì 
u.n
sin
u . n
Trong đó u,n lần lượt là vec tơ chỉ phương và vec tơ pháp tuyến của ∆ và mp(P) 
8. Khoảng cách 
TH1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
Cho M và đường thẳng ∆ đi qua A, nhận u làm vec tơ chỉ phương. 
Khoảng cách từ M đến ∆ là: 
u,MA
d(M, )
u
TH2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Cho đường thẳng ∆1 có vec tơ chỉ phương 1u và đi qua M1, đường thẳng ∆2 có vec tơ chỉ phương 2u và đi 
qua M2 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: 
1 2 1 2
1 2
1 2
u ,u .M M
d( , )
u ,u