Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Lê Trung Kiên

ơng trình mặt phẳng đặc biệt. 
 0xy : z 0; 0yz : x 0; 0xz : y 0 
Một số loại viết phương trình thường gặp 
Loaïi 1: ( ) ñi qua ñieåm 0 0 0M x ; y ; z coù VTPT 
 n A; B;C 
: 
 ( ): 0 0 0 0A x x B y y C z z 
Loaïi 2: ( ) ñi qua ñieåm 0 0 0M x ; y ; z coù caëp 
VTCP a b,
 (hai veùc tô naøy khoâng cuøng 
phöông vaø vuoâng goùc vôùi ): 
 Khi ñoù moät VTPT cuûa ( ) laø  n a b, . 
Loaïi 3:( )ñi qua ñieåm 0 0 0M x ; y ; z vaø song 
song vôùi maët phaúng (): Ax + By + Cz + D = 0 
 ( ): 0 0 0 0A x x B y y C z z 
Trang 23 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Loaïi 4: ( ) ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng A, 
B, C: 
 Khi ñoù ta coù theå xaùc ñònh moät VTPT cuûa 
( ) laø: n AB AC, 
  
Loaïi 5: ( ) ñi qua moät ñieåm M vaø moät ñöôøng 
thaúng (d) khoâng chöùa M: 
 – Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP u . 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø: n AM u, 
 
Loaïi 6: ( ) ñi qua moät ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi 
moät ñöôøng thaúng (d): 
 VTCP u cuûa ñöôøng thaúng (d) laø moät 
VTPT cuûa ( ). 
Loaïi 7: ( ) ñi qua 2 ñöôøng thaúng caét nhau d1, d2: 
 – Xaùc ñònh caùc VTCP a b,
 cuûa caùc ñöôøng 
thaúng d1, d2. 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø:  n a b, . 
 – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 hoaëc d2 M 
 ( ). 
Loaïi 8: ( ) chöùa ñöôøng thaúng d1 vaø song song 
vôùi ñöôøng thaúng d2 (d1, d2 cheùo nhau): 
 – Xaùc ñònh caùc VTCP a b,
 cuûa caùc ñöôøng 
thaúng d1, d2. 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø:  n a b, . 
 – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 M ( ). 
Loaïi 9: ( ) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi hai 
ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2: 
 – Xaùc ñònh caùc VTCP a b,
 cuûa caùc ñöôøng 
thaúng d1, d2. 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø:  n a b, . 
Loaïi 10: ( ) ñi qua moät ñöôøng thaúng (d) vaø 
vuoâng goùc vôùi moät maët phaúng (): 
 – Xaùc ñònh VTCP u cuûa (d) vaø VTPT n
cuûa (). 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø: n u n,  
 . 
 – Laáy moät ñieåm M thuoäc d M ( ). 
Loaïi 11: ( ) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi 
hai maët phaúng caét nhau (), (): 
 – Xaùc ñònh caùc VTPT n n, 
 cuûa () vaø 
(). 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø:   n n n,
 . 
Loaïi 12: ( ) laø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) taïi ñieåm 
H: 
 – Giaû söû maët caåu (S) coù taâm I vaø baùn kính 
R. 
 – Moät VTPT cuûa ( ) laø: n IH 
 
 Chuù yù: Ñeå vieát phöông trình maët phaúng 
caàn naém vöõng caùc caùch xaùc ñònh maët phaúng ñaõ 
hoïc ôû lôùp 11 
6. Phương trình đường thẳng 
 Phương trình đường thẳng qua 
0 0 0M(x ; y ;z ) có VTCP 1 2 3u u ;u ;u 
 là 
d: 
0 1
0 2
0 3
x x u t
y y u t
z x u t
 là phương trình tham số 
hoặc 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
u u u
 là phương trình chính 
tắc; 1 2 3u , u , u 0 , 
Chú ý: 
.VTCP là véc tơ 0 
 có giá song song hoặc trùng với 
đường thẳng. 
. Đường thẳng qua A, B thì nó có một VTCP là AB
 
. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó có 
VTCP là VTPT của mặt phẳng, 
. Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP. 
. Nếu ;u a b
 chọn ;u a b 
. Phương trình đường thẳng đặc biệt: 
x t x 0 x 0
0x : y 0; 0y : y t ; 0z : y 0
z 0 z 0 z t
Một số loại viết phương trình thường gặp: 
Loaïi 1 : d ñi qua ñieåm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) vaø coù 
VTCP 1 2 3 u (u ; u ; u )
: 
1
2
3
o
o
o
x x u t
d y y u t t R
z z u t
( ) : ( ) 
Trang 24 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Loaïi 2: d ñi qua hai ñieåm A, B: 
 Moät VTCP cuûa d laø AB
 
. 
Loaïi 3: d ñi qua ñieåm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) vaø song 
song vôùi ñöôøng thaúng cho tröôùc: 
 Vì d // neân VTCP cuûa cuõng laø VTCP cuûa 
d. 
Loaïi 4: d ñi qua ñieåm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) vaø vuoâng 
goùc vôùi maët phaúng (P) cho tröôùc: 
 Vì d  (P) neân VTPT cuûa (P) cuõng laø VTCP 
cuûa d. 
Loaïi 5: d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), 
(Q): 
 Caùch 1: Tìm moät ñieåm vaø moät VTCP. 
 – Tìm toaï ñoä moät ñieåm A d: baèng caùch 
giaûi heä phöông trình P
Q
( )
( )
 (vôùi vieäc choïn giaù 
trò cho moät aån) 
 – Tìm moät VTCP cuûa d: P Qu n n,
 Caùch 2: Tìm hai ñieåm A, B thuoäc d, roài vieát 
phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm ñoù. 
Loaïi 6: d ñi qua ñieåm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) vaø vuoâng 
goùc vôùi hai ñöôøng thaúng d1, d2: 
 Vì d  d1, d  d2 neân moät VTCP cuûa d laø: 
1 2
 d du u u,
Loaïi 7: d ñi qua ñieåm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) , vuoâng goùc 
vaø caét ñöôøng thaúng . 
 Caùch 1: Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa 
M0 treân ñöôøng thaúng . 
0
H
M H u
  
 
 Khi ñoù ñöôøng thaúng d laø ñöôøng thaúng ñi qua 
M0, H. 
 Caùch 2: Goïi (P) laø maët phaúng ñi qua A vaø 
vuoâng goùc vôùi d; (Q) laø maët phaúng ñi qua A 
vaø chöùa d. Khi ñoù d = (P)  (Q) 
Loaïi 8: d ñi qua ñieåm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) vaø caét hai 
ñöôøng thaúng d1, d2: 
 Caùch 1: Goïi M1 d1, M2 d2. Töø ñieàu kieän 
M, M1, M2 thaúng haøng ta tìm ñöôïc M1, M2. Töø 
ñoù suy ra phöông trình ñöôøng thaúng d. 
 Caùch 2: Goïi (P) = 0 1M d( , ) , (Q) = 
0 2M d( , ) . Khi ñoù d = (P)  (Q). Do ñoù, moät 
VTCP cuûa d coù theå choïn laø P Qu n n,
 . 
Loaïi 9: d naèm trong maët phaúng (P) vaø caét caû hai 
ñöôøng thaúng d1, d2: 
 Tìm caùc giao ñieåm A = d1  (P), B = d2  
(P). Khi ñoù d chính laø ñöôøng thaúng AB. 
Loaïi 10: d song song vôùi vaø caét caû hai ñöôøng 
thaúng d1, d2: 
 Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa vaø 
d1, maët phaúng (Q) chöùa vaø d2. 
 Khi ñoù d = (P)  (Q). 
Loaïi 11: d laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa hai 
ñöôøng thaúng d1, d2 cheùo nhau: 
 Caùch 1: Goïi M d1, N d2. Töø ñieàu kieän 
1
2
MN d
MN d
 
  
, ta tìm ñöôïc M, N. 
 Khi ñoù, d laø ñöôøng thaúng MN. 
 Caùch 2: 
 – Vì d  d1 vaø d  d2 neân moät VTCP cuûa d 
coù theå laø: 
1 2
 d du u u,
. 
 – Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa d 
vaø d1, baèng caùch: 
 + Laáy moät ñieåm A treân d1. 
 + Moät VTPT cuûa (P) coù theå laø: 
1
 dPn u u,
 . 
 – Töông töï laäp phöông trình maët phaúng 
(Q) chöùa d vaø d2. 
 Khi ñoù d = (P)  (Q). 
Loaïi 12: d laø hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng leân 
maët phaúng (P): 
 d qua điểm M là giao của và (P) 
 VTCT của d là: 
 d P Pu u n n, ,
 . 
 Loaïi 13: d ñi qua ñieåm M, vuoâng goùc vôùi d1 
vaø caét d2: 
Trang 25 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
 Caùch 1: Goïi N laø giao ñieåm cuûa d vaø d2. Töø 
ñieàu kieän MN  d1, ta tìm ñöôïc N. 
 Khi ñoù, d laø ñöôøng thaúng MN. 
 Caùch 2: 
 – Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua M 
vaø vuoâng goùc vôùi d1. 
 – Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa 
M vaø d2. 
 Khi ñoù d = (P)  (Q). 
7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 
 Khoảng cách từ 0 0 oM x ; y ;z 
đến mặt phẳng :Ax By Cz D 0 là 
 0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d M;
A B C
8. Góc 
 Nếu :Ax By Cz D 0 
thì có một VTPT n A;B;C 
 Nếu d: 
0 1
0 2
0 3
x x u t
y y u t
z x u t
 hoặc 
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
u u u
 thì d có một VTCP 
 1 2 3u u ;u ;u 
 d d 'cos d;d ' cos u ;u 
 cos ; cos n ;n   
 dsin d; cos u ;n 
9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
 Để xét vị trí tương đối của hai 
đường thẳng 
0 1
0 2
0 3
x x u t
d : y y u t
z z u t
, có VTCP 1 2 3u u ;u ;u 
, qua 
 0 0 0M x ; y ;z 
0 1
0 2
0 3
x x ' u ' t '
d ' : y y ' u ' t '
z z ' u ' t '
 ,có VTCP 1 2 3u ' u ' ;u ' ;u ' 
 ta 
làm theo các bước: 
 Bước 1. Nếu u ' ku
M d '
 thì d trùng d’ 
 Nếu u ' ku
M d '
 thì d song song với d’. 
Nếu u ' ku 
 chuyển sang bước 2. 
Bước 2. Xét hê phương trình 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x u t x ' u ' t '
y u t y ' u ' t '
z u t z ' u ' t '
-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ chéo 
nhau 
- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất t, t’ thì 
hai đường thẳng cắt nhau. 
10. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt 
phẳng 
Cho 
0 1
0 2
0 3
x x u t
d : y y u t
z z u t
 và 
 :Ax By Cz D 0 để xét vị trí tương đối 
của d và ta xét hệ phương trình 
0 1
0 2
0 3
x x u t
y y u t
z z u t
Ax By Cz D 0
-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d song song 
-Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d nằm 
trong 
-Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt 
Trang 26 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Chủ đề 11: Phép dời hình và phép biến hình 
trong mặt phẳng 
1.Phép biến hình: Qui taéc ñaët töông öùng moãi 
ñieåm M cuûa maët phaúng vôùi moät ñieåm xaùc ñònh 
duy nhaát M cuûa maët phaúng ñoù ñgl pheùp bieán 
hình trong maët phaúng. 
 Neáu kí hieäu pheùp bieán hình laø F thì ta vieát 
F(M) = M hay M = F(M). M ñgl aûnh cuûa M qua 
pheùp bieán hình F. 
 Cho hình H. Khi ñoù: 
 H = {M = F(M) / M H} 
ñgl aûnh cuûa H qua F. 
 Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh chính 
noù ñgl pheùp ñoàng nhaát. 
2.Phép tịnh tiến véc tơ v
v vT : (P) (P),M M ' T (M) MM ' v 
 
v
x ' x a
T : M(x; y) M '(x '; y ')
y ' y b
3.Phép quay tâm O góc 
O;Q : (P) (P),O O,M O M '
OM OM '
OM,OM '
4.Phép dời hình, hai hình bằng nhau: 
 F là phép dời hình 
F : M M ', N N ' MN M ' N ' 
 Các phép đồng nhất, phép tịnh 
tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép 
quay là phép dời hình. 
 Phép biến hình có được bằng 
cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là 
một phép dời hình. 
 Hai hình được gọi là bằng nhau 
nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình 
kia. 
5. Phép vị tự tâm O tỉ số k 
 Cho điểm O và số k 0 . Phép 
biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho 
OM ' k.OM 
  
 được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k 
kí hiệu O;kV 
6. Phép đồng dạng 
 Định nghĩa: Phép biến hình F 
được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0), nếu với 
hai điểm bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của 
chúng luôn có M’N’=k.MN 
 Nếu thực hiện liên tiếp phép 
đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p, ta 
được phép đồng dạng tỉ số pk 
 Hai hình được gọi là đồng dạng 
với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình 
này thành hình kia. 
Trang 27 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Chủ đề 12: Phương pháp tọa độ trong mặt 
phẳng 
1. Tọa độ véc tơ, các phép toán véc tơ 
 Cho hai điểm A AA x ; y và 
 B BB x ; y . Ta có: B A B AAB x x ; y y 
 
 Cho 1 2 1 2u u ;u , v(v ; v )
. Khi đó 
 1 2 1 2 1 2u v u u ; v v ;ku ku ;ku ,k 
1 1
2 2
u v
u v
u v
2. Tọa độ trung điểm, trọng tâm 
 Cho A, B, C. A A B BA x ; y ,B x ; y , 
C CC(x ; y ) . Tọa độ trung điểm I của AB, trọng 
tâm G của tam giác ABC được tính theo công 
thức. 
A B
I
A B
I
x xx
2
y yy
2
, 
A B C
G
A B C
G
x x xx
3
y y yy
3
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 
 Trong mặt phẳng tọa độ cho 
 1 2a a ;a và 1 2b b ;b 
. Khi đó tích vô hướng 
của hai véc tơ a và b
 là: 
1 2 1 2a.b a .a b .b 
 Hai véc tơ 1 2a (a ;a ) 
và 1 2b b ;b 
 0 
 vuông góc với nhau khi và chỉ 
khi 1 2 1 2a.b a .a b .b 0 
 Độ dài của véc tơ 1 2a a ;a 
được tính theo công thức: 
2 2
1 2a a a 
 Khoảng cách giữa hai điểm 
 A A B BA x ;y ;B x ;y được dính bởi công thức: 
 2 2B A B AAB x x y y 
 Cho a và b
 đều khác véc tơ 0
thì ta có: os 
 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a .b a .b
c a; b
a a . b b
4. Phương trình tham số của đường thẳng. 
 Đường thẳng qua điểm 0 0M x ; y 
có VTCP 1 2u u ;u
 thì có phương trình tham số 
0 1
0 2
x x u t
: , t
y y u t
 (1) 
 Một số chú ý: 
1.VTCP là véc tơ 0 
 có giá song song hoặc 
trùng với đường thẳng. 
2.Nếu có VTPT n a;b 
 thì có VTCP 
 u b;a 
3.Nếu có hệ số góc k thì có một VTCP 
 u 1;k 
4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (1) 
thì nó có một VTCP 1 2u u ;u 
5.Hai đường thẳng song song có cùng VTCP 
6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của 
đường này là VTCP của đường thẳng kia. 
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng 
 Phương trình : ax+by+c=0 (2) đgl 
phương trình tổng quát của đường thẳng 
 Đường thẳng qua điểm 0 0M x ; y 
có VTPT n a;b 
 thì có phương trình tổng 
quát 0 0: a x x b y y 0 
 Một số chú ý: 
1.VTPT là véc tơ 0 
và vuông góc với VTCP. 
2.Nếu có VTCP u a;b 
 thì có VTPT 
 n b;a 
 . 
3.Nếu có hệ số góc k thì có một VTPT 
 u k; 1 
 Phương trình đường thẳng qua 
 0 0M x ; y có hệ số góc k có dạng 
 0 0y k x x y 
4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (2) 
thì nó có một VTPT n a;b 
Trang 28 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
5.Hai đường thẳng song song có cùng VTPT. 
Phương trình : ax+by+c=0 , nếu '  thì 
phương trình ' : ax+by+m=0 , m c 
6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTCP của 
đường này là VTPT của đường thẳng kia. 
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Xét hai đường thẳng: 
 1: a1x + b1y + c1 = 0 và 2: a2x + b2y + c2 = 0 
Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ : 
1 1 1
2 2 2
0 ( )
0
a x b y c I
a x b y c
 1 cắt 2 (I) có 1 nghiệm 
 1 // 2 (I) vô nghiệm 
 1  2 (I) có VSN. 
7. Góc giữa hai đường thẳng 
 Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc 
không tù tạo bởi hai đường thẳng đó 
+ 1  2 ( 1, 2) = 900 
+ 1 // 2 ( 1, 2) = 00 
00 ( 1, 2) 900 
 Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0 
 2: a2x + b2y + c2 = 0 
 = ( 1, 2). 
cos = 1 2cos(n ,n )
 = 1 2
1 2
n .n
n . n
 cos = 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a b b
a b . a b
 1  2 a1a2 + b1b2 = 0 
 1: y = k1x + m1 
 2: y = k2x + m2 
 1  2 k1.k2 1 
8. Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng 
Cho : ax + by + c = 0 và M0(x0; y0). 
 0 0
2 2
ax by c
d M;
a b
 0d M;0x y ; 0d M;0y x 
9. Phương trình đường tròn 
 Phương trình đường tròn (C) tâm 
I(a; b), bán kính R: 
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 
 Phương trình đường tròn (C) tâm 
O(0; 0), bán kính R: x2 + y 2 = R2 
Phương trình: 
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 
với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn 
tâm I(a; b), bán kính R = 2 2a b c . 
 Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0) (C). Phương 
trình tiếp tuyến với (C) tại M0(x0; y0): 
(x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0 
 Nhận xét : 
 là tiếp tuyến của (C) d(I, ) = R 
10. Phương trình Elip 
Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không 
đổi 2a lớn hơn F1F2. 
M (E) F1M + F2M = 2a 
F1, F2: các tiêu điểm 
 F1F2 = 2c: Tiêu cự . 
Phương trình E :
2 2
2 2
1x y
a b
 (b2 = a2 – c2) 
(E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối 
xứng là O. 
Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) 
 B1(0; –b), B2(0; b) 
A1A2 = 2a : Trục lớn 
B1B2 = 2b : Trục nhỏ. 
 1 2F c;0 ; F c;0 
Mục Lục 
0, Lời nói đầu Trang 1 
1, Khảo sát hàm số Trang 3 
2, Mũ-Loga Trang 9 
3, Nguyên hàm -tích phân Trang 13 
4, Số phức Trang 14 
5, Lượng giác Trang 15 
6, Tổ hợp-Xác suất Trang 17 
7, Dãy số, cấp số Trang 18 
8, Giới hạn Trang 19 
9, Hình học không gian Trang 20 
10, Phương pháp tọa độ 
trong không gian Trang 22 
11, Phép dời hình và phép 
biến hình trong mặt phẳng Trang 26 
12, Phương pháp tọa độ 
trong mặt phẳng Trang 27