Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia Toán 12 - Năm học 2020-2021

m = −12. D m = −10.
Câu 176. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :
x = 4− 2t
y = t
z = 3
, (t ∈ R), d2 :

x = 1
y = t′
z = −t′
, (t′ ∈ R).
Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1) , (d2) là:
A
(
x+ 32
)2
+ y2 + (z + 2)2 = 94 . B
(
x− 32
)2
+ y2 + (z − 2)2 = 32 .
C
(
x− 32
)2
+ y2 + (z − 2)2 = 94 . D
(
x+ 32
)2
+ y2 + (z + 2)2 = 32 .
Câu 177. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :
x− 4
3 =
y − 1
−1 =
z + 5
−2 và ∆2 :
x− 2
1 =
y + 3
3 =
z
1 . Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Gọi (S) là
mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Bán kính của mặt cầu (S) bằng
A
√
12. B
√
6. C
√
24. D
√
3.
h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
Chuyên đề 4. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 369
§4. ỨNGDỤNGHÌNHHỌCGIẢI TÍCH
TRONGKHÔNGGIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
Ở dạng bài tập này chúng ta tiến hành gắn hệ trục tọa độ vào bài toán hình học không gian thuần
túy.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
p Dạng 4.35. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GÓC
Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có tâm
O. Gọi I là tâm của hình vuông A′B′C ′D′ và điểm M thuộc đoạn OI
sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi
hai mặt phẳng (MC ′D′) và (MAB) bằng
A 7
√
85
85 . B
17
√
13
65 . C
6
√
85
85 . D
6
√
13
65 .
Câu 2. (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I là tâm của hình
vuông A′B′C ′D′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 12MI (tham khảo hình vẽ).
Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC ′D′) và (MAB) bằng
A 6
√
13
65 . B
7
√
85
85 . C
6
√
85
85 . D
17
√
13
65 .
Câu 3. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′, có
AB = a,AD = a
√
2, góc giữa A′C và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên A′B và K là hình chiếu vuông góc của A trên A′D Tính góc giữa hai mặt phẳng
(AHK) và (ABB′A′).
A 60◦. B 45◦. C 90◦. D 30◦.
Câu 4. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Tính cosϕ với ϕ là góc
tạp bởi (SAC) và (SCD).
A
√
3
7 . B
√
6
7 . C
5
7 . D
√
2
7 .
Câu 5. (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết MN = a
√
6
2 .
Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) bằng
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue
370 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A
√
2
5 . B
√
3
3 . C
√
5
5 . D
√
3.
Câu 6. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh a.
Góc giữa hai mặt phẳng (A′B′CD) và (ACC ′A′) bằng
A 60◦. B 30◦. C 45◦. D 75◦.
Câu 7. (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông
góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ # »BC và # »OM
bằng
A 135◦. B 150◦. C 120◦. D 60◦.
Câu 8. (THPT Trần Phú-Đà Nẵng-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
có độ dài đường chéo bằng a
√
2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai
mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu tanα =
√
2 thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
bằng
A 30◦. B 60◦. C 45◦. D 90◦.
Câu 9. (THPT Nam Trực-Nam Định-2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,
SA = a
√
2. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA
bằng:
A arccos
√
3
5 . B arccos
√
5
5 . C arccos
√
5
3 . D arccos
√
15
5 .
Câu 10. (Chuyên Hà Tĩnh-2018) Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có A′.ABC là tứ diện đều cạnh
a. GọiM , N lần lượt là trung điểm của AA′ và BB′. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (ABC)
và (CMN).
A
√
2
5 . B
3
√
2
4 . C
2
√
2
5 . D
4
√
2
13 .
Câu 11.
(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-2018) Xét tứ diện OABC có
OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc
giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC)
(hình vẽ bên). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
(3 + cot2 α) . (3 + cot2 β) . (3 + cot2 γ) là
A 48. B 125. C Số khác. D 48
√
3.
Câu 12. (Kinh Môn-Hải Dương 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan
của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng
h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
Chuyên đề 4. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 371
A
√
5
5 . B
2
√
5
5 . C
√
3
2 . D
2
√
3
3 .
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a,AD = 2a.
Biết SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính sin góc
giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
A 3
√
5
10 . B
2
√
5
5 . C
√
5
5 . D
√
55
10 .
Câu 14. (Chuyên Lê Quý Đôn-Điện Biên 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh
SD Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng
A
√
3
2 . B
2
√
3
3 . C
√
5
5 . D
2
√
5
5 .
Câu 15. Cho khối tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, ÷ABC = ÷ADC = ÷BCD = 900. Góc giữa
đường thẳng AD và BC bằng 600. Côsin góc giữa hai phẳng (ABC) và (ACD) bằng
A
√
43
86 . B
4
√
43
43 . C
2
√
43
43 . D
√
43
43 .
Câu 16.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,
SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm
của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF ) và
(ABCD) là.
A 12 . B
√
3
3 . C
√
3. D
√
3
2 .
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh bằng a, gọi α là góc giữa đường thẳng
A′B và mặt phẳng (BB′D′D) Tính sinα.
A
√
3
5 . B
√
3
2 . C
1
2 . D
√
3
4 .
Câu 18. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC =
a
√
3. Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, A′H = a
√
5.
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng A′B và B′C. Tính cosϕ.
A cosϕ = 7
√
3
48 . B cosϕ =
√
3
2 . C cosϕ =
1
2 . D cosϕ =
7
√
3
24 .
Câu 19. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. GọiM,N
lần lượt là trung điểm của BC và C ′D′, biết rằng MN ⊥ B′D. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng
MN và mặt đáy (ABCD), khi đó cosα bằng:
A cosα = 1√
3
. B cosα =
√
3
2 . C cosα =
1√
10
. D cosα = 12 .
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue
372 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
p Dạng 4.36. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH
Câu 1. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có các
kích thước AB = 4, AD = 3, AA′ = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ′ và B′C bằng
A 32 . B 2. C
5
√
2
3 . D
30
19 .
Câu 2. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD,
đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A (0; 0; 0), D (2; 0; 0), B (0; 4; 0), S (0; 0; 4). Gọi M là trung
điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (CDM).
A d (B, (CDM)) = 2. B d (B, (CDM)) = 2
√
2.
C d (B, (CDM)) = 1√
2
. D d (B, (CDM)) =
√
2.
Câu 3. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác
vuông cân, AB = AC = a, AA′ = h (a, h > 0). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
AB′ và BC ′ theo a, h.
A ah√
a2 + 5h2
. B ah√
5a2 + h2
. C ah√
2a2 + h2
. D ah√
a2 + h2
.
Câu 4.
(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy là
tam giác đều cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AB, hình chiếu
của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI, góc giữa SA và
mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng
A a
√
21
14 . B
a
√
14
8 . C
a
√
77
22 . D
a
√
21
7 .
Câu 5. (Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh bằng
a. Gọi K là trung điểm DD′. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A′D.
A 4a3 . B
a
3 . C
2a
3 . D
3a
4 .
Câu 6.
(THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh 2a
√
3, mặt bên SAB là tam giác cân với÷ASB = 1200 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung
điểm của SC và N là trung điểm của MC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM , BN .
A 2
√
327a
79 . B
√
237a
79 . C
2
√
237a
79 . D
5
√
237a
316 .
h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
Chuyên đề 4. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 373
Câu 7. (Chuyên-Vĩnh Phúc-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = 1cm, AC =
√
3cm. Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC có thể tích bằng 5
√
5pi
6 cm
3. Tính khoảng cách từ C tới (SAB).
A
√
3
2 cm. B
√
5
4 cm. C
√
3
4 cm. D
√
5
2 cm.
Câu 8. (Chuyên Lam Sơn 2019) Một phần sân trường được định vị
bởi các điểm A, B, C, D như hình vẽ bên. Bước đầu chúng được lấy
“thăng bằng”để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A
và B với độ dài AB = 25m, AD = 15m, BC = 18m. Do yêu cầu kĩ
thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C
nên người ta lấy độ cao ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với
độ cao ở A là 10cm, acm, 6cm tương ứng. Giá trị của a là số nào sau
đây?
A 15, 7cm. B 17, 2cm. C 18, 1cm. D 17, 5cm.
Câu 9. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tứ diện OABC, có OA,OB,OC đôi một vuông góc và
OA = 5, OB = 2, OC = 4. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Gọi G là trọng tâm
của tam giác ABC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (AMN) là:
A 20
3
√
129
. B 20√
129
. C 14 . D
1
2 .
Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi M là trung điểm của
AB, ∆A′CM cân tại A′ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối lăng trụ
bằng a
3√3
4 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC
′
A a
√
57
19 . B
2a
√
57
19 . C
2a
√
39
13 . D
2a
√
39
3 .
Câu 11. (Sở Nam Định 2019) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D,
SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45◦, E là trung điểm của SD, AB = 2a,
AD = DC = a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACE).
A 2a3 . B
4a
3 . C a. D
3a
4 .
p Dạng 4.37. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH
Câu 1. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (−1; 2; 1) và đi qua
điểm A (1; 0;−1) Xét các điểm B,C,D thuộc (S) sao cho AB,AC,AD đôi một vuông góc với
nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A 64. B 323 . C
64
3 . D 32.
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue
374 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Câu 2. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (−1; 0; 2) và đi qua
điểm A (0; 1; 1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với
nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A 83 . B 4. C
4
3 . D 8.
Câu 3. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; b) với a, b > 0
và a + b = 2. Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′. Thể tích của khối tứ diện BDA′M có giá trị
lớn nhất bằng
A 6427 . B
32
27 . C
8
27 . D
4
27 .
Câu 4. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh a. Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của BC và A′B′. Mặt phẳng (MND′) chia khối lập phương thành
hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là (H). Tính thể tích khối (H).
A 55a
3
72 . B
55a3
144 . C
181a3
486 . D
55a3
48 .
Câu 5. (Chuyên Thăng Long-Đà Lạt-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình
hộp chữ nhậtABCD.A′B′C ′D′ cóA trùng với gốc tọa độO các đỉnhB (m; 0; 0) , D (0;m; 0) , A′ (0; 0;n)
với m,n > 0 và m + n = 4 Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′ Khi đó thể tích tứ diện BDA′M
đạt giá trị lớn nhất bằng
A 94 . B
64
27 . C
75
32 . D
245
108 .
Câu 6. (Nho Quan A-Ninh Bình-2019) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có độ dài cạnh
bằng 1. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,C ′D′, DD′. Gọi thể tích khối tứ diện
MNPQ là phân số tối giản a
b
, với a, b ∈ N∗. Tính a+ b.
A 9. B 25. C 13. D 11.
Câu 7. Trong không gian Oxyz,tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn |x|+ |y|+ |z| ≤ 2 và |x− 2|+
|y|+ |z| ≤ 2 là một khối đa diện có thể tích bằng
A 3. B 2. C 83 . D
4
3 .
Câu 8. (Thi thử cụm Vũng Tàu-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = 1;AD =
2;AA′ = 3. Mặt phẳng (P ) đi qua C ′ và cắt các tia AB;AD;AA′ lần lượt tại E;F ;G (khác A)
sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Tổng của AE + AF + AG bằng.
A 18. B 17. C 15. D 16.
Câu 9. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm
AB, gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên AD,AC. Tính theo a bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp K.CDMN .
A a
√
3
4 . B
a
√
2
4 . C
3a
√
3
8 . D
3a
√
2
8 .
h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
Chuyên đề 4. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 375
Câu 10. (Chuyên Thái Bình -2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
BC và CD. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN bằng
A a
√
93
12 . B
a
√
29
8 . C
5a
√
3
12 . D
a
√
37
6 .
Câu 11. (Chuyên KHTN-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (5; 0; 0) và
B (3; 4; 0). Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi C di động
trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A
√
5
4 . B
√
3
2 . C
√
5
2 . D
√
3.
Câu 12. (Chuyên Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C (không trùng O)
lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của
tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng 32 Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc
với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng
A 3. B 2. C 4. D 1.
Câu 13. (Chuyên Lê Hồng Phong-TPHCM-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3
đường thẳng (d1) :
x− 1
2 =
y − 1
1 =
z − 1
−2 , (d2) :
x− 3
1 =
y + 1
2 =
z − 2
2 , (d3) :
x− 4
2 =
y − 4
−2 =
z − 1
1 . Mặt cầu bán kính nhỏ nhất tâm I (a; b; c), tiếp xúc với 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3). Tính
S = a+ 2b+ 3c.
A S = 10. B S = 11. C S = 12. D S = 13.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD cs đáy là hình thang vuông tại A và B, AD = 2AB = 2BC =
2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. Gọi E là trung điểm cạnh AD. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
A a
√
3
2 . B
a
√
11
2 . C
a
√
6
2 . D
a
√
3
4 .
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue