Sổ tay Toán học Lớp 12
Qui tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f(x)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm f0(x) và tìm nghiệm f0(x) = 0, (x1.x2. ∈ D)
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm số y = f(x)
Cực trị hàm số
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f0(x0) = 0
Qúy tắc 1
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f0(x)
• Bước 2: Tìm các điểm xi(i = 1; 2; .) mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f0(x). Nếu f0(x)
đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 1 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 1](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-1_D6qitH66mC.jpg)
Trang 1
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 2 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 2](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-2_sPCPUQqJQE.jpg)
Trang 2
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 3 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 3](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-3_lJ0y5eL3K4.jpg)
Trang 3
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 4 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 4](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-4_n8QY0WMp5L.jpg)
Trang 4
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 5 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 5](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-5_DnRw0RXqkv.jpg)
Trang 5
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 6 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 6](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-6_u94lFVdTmm.jpg)
Trang 6
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 7 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 7](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-7_jNnEgqKqmj.jpg)
Trang 7
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 8 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 8](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-8_pMS4qkik8q.jpg)
Trang 8
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 9 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 9](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-9_oz4x9Zxavv.jpg)
Trang 9
![Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 10 Sổ tay Toán học Lớp 12 trang 10](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/image/2022/01/10/11652/so-tay-toan-hoc-lop-12-trang-10_c3YQaOasRU.jpg)
Trang 10
Tải về để xem bản đầy đủ
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "Sổ tay Toán học Lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
Tóm tắt nội dung tài liệu: Sổ tay Toán học Lớp 12
![Sổ tay Toán học Lớp 12 Sổ tay Toán học Lớp 12](https://s1.tailieuebook.com/piwus9eq3x7rbsx0/thumb/2022/01/10/so-tay-toan-hoc-lop-12_9KD4nDQ5Og.jpg)
Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2), · · · So sánh y(a), y(b), y(x1), y(x2), · · · Suy ra max [a;b] y; min [a;b] y Đường tiệm cận lim x→x+0 y = ±∞ Ç lim x→x−0 y = ±∞ å ⇒ TCĐ: x = x0 lim x→+∞ y = y0 ( lim x→−∞ y = y0 ) ⇒ TCN: y = y0 Lũy thừa (a > 0) 1 am.an = am+n 2 (a.b)n = an.bn 3 √ ak = a k 2 4 a m an = am−n 5 (a b )n = a n bn 6 n √ ak = a k n 7 (am)n = am.n 8 a−n = 1 an 9 m √ n √ ak = a k m.n Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1) 1 loga 1 = 0 2 loga(x.y) = loga x+ loga y. 3 loga a = 1 4 loga Å x y ã = loga x− loga y. 5 loga aα = α 6 loga xα = α loga x. 7 logx a = 1 loga x 8 logam x = 1 m loga x. ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 6 7 | Sổ tay toán học-12 9 loga x = loga b. logb x 10 loga x = logb x logb a . Hàm số lũy thừa y = xα, α ∈ R Tập xác định: • D = R khi α nguyên dương • D = R \ {0} khi α nguyên âm • D = (0; +∞) khi α không nguyên x y O α < 0 α = 0 0 < α < 1 α = 1 α > 1 1 1 Hàm số mũ y = ax a > 1 0 < a < 1 •D = R •D = R x y O a > 1 1 TCN: y = 0 x y O 0 < a < 1 1 TCN: y = 0 Hàm số logarit y = loga x a > 0 0 < a < 1 •D = (0; +∞) •D = (0; +∞) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 7 8 | Sổ tay toán học-12 x y O a > 1 1 T C Đ :x = 0 x y O 0 < a < 1 1 T C Đ :x = 0 Phương trình, bất phương trình mũ ax = b⇔ x = loga b af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x) a > 1 0 < a < 1 af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) Phương trình và bất phương trình logarit loga x = b⇔ x = ab loga f(x) = logb g(x) ⇔ f(x) = g(x) a > 1 0 < a < 1 loga f(x) > loga g(x)⇔ ⇔ f(x) > g(x) loga f(x) > loga g(x)⇔ ⇔ f(x) < g(x) Lãi suất ngân hàng 1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 8 9 | Sổ tay toán học-12 hạn người gửi không đến rút tiền ra. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗) là Sn = A+ n.A.r = A(1 + nr) 2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗) là Sn = A(1 + r)n ; n = log1+r Å Sn A ã ; r% = n Sn A − 1 ; A = Sn(1 + r)n Bảng nguyên hàm 1 ∫ dx = x+ C 2 ∫ kdx = kx+ C 3 ∫ xndx = x n+1 n+ 1 + C 4 ∫ (ax+ b)n dx = 1 a (ax+ b)n+1 n+ 1 + C 5 ∫ dx x2 = −1 x + C 6 ∫ dx (ax+ b)2 = − 1 a . 1 ax+ b + C 7 ∫ dx x = ln |x|+ C 8 ∫ dx ax+ b = 1 a ln |ax+ b|+ C 9 ∫ exdx = ex + C 10 ∫ eax+bdx = 1 a eax+b + C 11 ∫ axdx = a x ln a + C 12 ∫ aαx+βdx = 1 α aαx+β ln a + C 13 ∫ cosxdx = sin x+ C 14 ∫ cos(ax+ b)dx = 1 a sin(ax+ b) +C 15 ∫ sin xdx = − cosx+ C 16 ∫ sin(ax+b)dx = −1 a cos(ax+b)+C 17 ∫ dx cos2 x = tan x+ C 18 ∫ dx cos2(ax+ b) = 1 a tan(ax+ b) + C 19 ∫ dx sin2 x = − cotx+ C 20 ∫ dx sin2(ax+ b) = − 1 a cot(ax+b)+C ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 9 10 | Sổ tay toán học-12 21 ∫ tan xdx = − ln |cosx|+ C 22 ∫ tan(ax+ b)dx = −1 a ln |cosx|+ C 23 ∫ cotxdx = ln |sin x|+ C 24 ∫ cot(ax+ b)dx = 1 a ln |sin x|+ C 25 ∫ 1 x2 − a2 dx = 1 2a ln ∣∣∣∣x− ax+ a ∣∣∣∣+C 26 ∫ 1 x2 + a2dx = 1 a arctan x a + C Tích phân b∫ a f(x)dx = F (x) ∣∣∣∣b a = F (b)− F (a) 1 a∫ a dx = 0 2 b∫ a f(x)dx = − a∫ b f(x)dx 3 b∫ a k.f(x)dx = k a∫ b f(x)dx 4 b∫ a [f(x)± g(x)] dx = b∫ a f(x)dx± b∫ a g(x)dx 5 b∫ a f(x)dx = c∫ a f(x)dx+ b∫ c f(x)dx Tích phân từng phần b∫ a u.v′dx = u.v ∣∣∣∣b a − b∫ a u′.vdx hay b∫ a udv = u.v ∣∣∣∣b a − b∫ a v.du ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 10 11 | Sổ tay toán học-12 Diện tích phẳng phẳng 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởiy = f(x) y = 0;x = a;x = b y = f(x) y = g(x);x = a;x = b x y O y = f(x) a b x y O y = f(x) y = g(x) a b S = b∫ a |f(x)| dx S = b∫ a |f(x)− g(x)| dx 3 Diện tích hình phẳng 4 Diện tích hình phẳng x y O a bc y = h(x) x y O a b c d y = f(x) S = c∫ a |h(x)| dx+ b∫ c |h(x)| dx S = c∫ a f(x)dx− d∫ c f(x)dx+ d∫ b f(x)dx S = c∫ a h(x)dx− b∫ c h(x)dx Thể tích vật thể tròn xoay 1 Thể tích của vật thể giới bạn bởi 2 Thể tích của vật thể giới bạn bởi ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 11 12 | Sổ tay toán học-12 (P ), (Q)⊥Ox x = a;x = b y = f(x), Ox x = a;x = b V = b∫ a S(x)dx V = pi. b∫ a f2(x)dx Số phức 1 Định nghĩa và tính chất • z = a+ bi, (i2 = −1) là số phức – Phần thực: a – Phần ảo: b • Cho z = a+ bi và z′ = a′ + b′i thì – z + z′ = (a+ a′) + (b+ b′)i – z − z′ = (a− a′) + (b− b′)i – z.z′ = (aa′ − bb′) + (ab′ + a′b)i – z z′ = aa ′ + bb′ a′2 + b′2 + a′b− a− b′ a′2 + b′2 2 Số phức liên hợp • Cho z = a+ bi thì z = a− bi là số phức liên hợp của z. • Tính chất – z.z = a2 + b2; z1 + z2 = z1 + z2; z1.z2 = z1.z2 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 12 13 | Sổ tay toán học-12 – Å z1 z2 ã = z1 z2 ; z + z = 2a; z − z = 2bi 3 Môdun số phức • Cho z = a+ bi thì |z| = √a2 + b2 • |z| = |z|; |z1.z2| = |z1|.|z2| • ∣∣∣∣z1z2 ∣∣∣∣ = |z1||z2| ; |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|; |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2| 4 Biểu diễn hình học số phức z = a+ bi⇒M(a; b) x y O a b M O M = |z| = √ a2 + b 2 5 Phương trình bậc hai ax2 + bx+ c = 0, ∆ = b2 − 4ac. • ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm thực: x1,2 = −b± √ ∆ 2a • ∆ < 0 phương trình có 2 nghiệm phức: x1,2 = −b± √|∆|i 2a Thể Khối đa diện 1 Thể tích khối lập phương cạnh a: V = a3 2 Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 13 14 | Sổ tay toán học-12 3 Thể tích khối lăng trụ V = Sđáy.h Sđáy : Diện tích đáy h: chiều cao lăng trụ 4 Thể tích khối chóp V = 13Sđáy.h Sđáy : Diện tích đáy h: chiều cao lăng trụ 5 Tỉ số thể tích khối chóp Hình chóp S.ABC, gọi A′, B′, C ′ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC VS.A′B′C′ VS.ABC = SA ′ SA SB′ SB SC ′ SC 6 a = SA SA′ , b = SB SB′ , c = SC SC ′ , d = SD SD′ VS.A′B′C′D′ VS.ABCD = a+ b+ c+ d4abc 7 a = AM AA′ , b = BN BB′ , c = CP CC ′ VABC.MNP VABC.A′B′C′ = a+ b+ c3 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 14 15 | Sổ tay toán học-12 8 a = AM AA′ , b = BN BB′ , c = CP CC ′ , d = DQ DD′ và a+ c = b+ d VABCD.MNPQ VABCD.A′B′C′D′ = a+ b+ c+ d4 Khối tròn xoay 1 Diện tích mặt cầu: S = 4piR2 2 Thể tích khối cầu: V = 43piR 2 3 Thể tích chỏm cầu: V = pih2 Å R− h3 ã = pih6 ( 3r2 + h2 ) 4 Diện tích xung quanh chỏm cầu Sxq = 2piRh = pi ( r2 + h2 ) 5 Diện tích xung quanh: Sxq = 2piRl 6 Diện tích toàn phần: Stp = 2piR(l +R) 7 Thể tích khối trụ: V = piRh ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 15 16 | Sổ tay toán học-12 8 Diện tích xung quanh: Sxq = piRl 9 Diện tích toàn phần: Stp = piR(l +R) 10 Thể tích khối nón: V = 13piR 2.h l = √ h2 +R2; h = √ l2 −R2 11 V = pi.h3 ( R2 + r2 +R.r ) 12 Sxq = pi (R + r) l 13 Stp = pi ( R2 + r2 +R.l + r.l ) Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay Hình trụ có thiết diện qua trục OO′ là hình chữ nhật ABB′A′ • Chiều rộng: AB = 2R • Chiều dài: AA′ = h = l • Diện tích: SABB′A′ = AB.AA′ = 2.R.l Hình nón có thiết diện qua trục SO là tam cân SAB tại S • Cạnh bên: SA = SB = l • Cạnh đáy: AB = 2R • Diện tích: S4SAB = 12R.h ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 16 17 | Sổ tay toán học-12 Hình học phẳng • 4ABC vuông tại A: BC2 = AB2 + AC2 • 1 AH2 = 1 AB2 + 1 AC2 • Diện tích: S4ABC = 12AB.AC • 4ABC vuông cân tại tại A +S4ABC = BC2 4 + BC = AB √ 2 • S4ABC = 12ha.a = 1 2hb.b = 1 2hc.c • S4ABC = 12bc sinA = 1 2ca sinB = 1 2ab sinC • S4ABC = √ p(p− a)(p− b)(p− c) • S4ABC = pr, p = a+ b+ c2 • S4ABC = abc4R • a2 = b2 + c2 − 2b.c cosA • asinA = b sinB = c sinC = 2R • Hình vuông ABCD cạnh a +AC = BD = a √ 2 +SABCD = a2 • Tam giác ABC đều cạnh a + Đường cao: AM = a √ 3 2 + GA = GB = GC = a √ 3 3 + Diện tích: S4ABC = a2 √ 3 4 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 17 18 | Sổ tay toán học-12 Công thức tính nhanh thể tích 1 Hình chóp S.ABC có SA = c, AB = a,AC = b đôi một vuông góc: VS.ABC = abc 6 2 Hình chóp S.ABC có đáy 4ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b: VS.ABC = a2 √ 3b2 − a2 12 Khi a = b thì VS.ABC = a3 √ 2 12 3 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α: VS.ABC = a3 tanα 12 4 Hình chóp tam giác đều có cạnh bên b, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α: VS.ABC = √ 3b sinα cos2 α 4 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 18 19 | Sổ tay toán học-12 5 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc α: VS.ABC = a3 tanα 24 6 Hình chóp đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên b: VS.ABCD = a2 √ 4b2 − 2a2 6 Khi a = b thì VS.ABCD = a3 √ 2 6 7 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α: VS.ABCD = a3 √ 2 tanα 6 8 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α: VS.ABCD = 4b3. tanα 3 » (2 + tan2 α)3 9 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α: VS.ABCD = a2 √ tan2 α− 1 6 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 19 20 | Sổ tay toán học-12 Hệ tọa độ trong không gian 1 Tọa độ vec-tơ • Vec-tơ đơn vị: #» i = (1, 0, 0); #»j = (0, 1, 0); #»k = (0, 0, 1) • Vec-tơ #»a = a1. #»i + a2. #»j + a2 + a3. #»k ⇒ #»a = (a1; a2; a3) • Tính chất: Cho hai vec-tơ #»a = (a1; a2; a3), #»b = (b1; b2; b3) + Tổng-hiệu: #»a ± #»b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3) + Tích 1 số với 1 vec-tơ: k #»a = (k.a1; k.a2; k.a3) + Độ dài vec-tơ: | #»a | = √a21 + a22 + a23 + Hai vec bằng nhau: #»a = (a1; a2; a3), #» b = (b1; b2; b3) #»a = #»b ⇔ a1 = b1 b1 = b2 a3 = b3 + Hai vec-tơ cùng phương: #»a = k. #»b ⇔ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = k + Tích vô hướng của hai vec-tơ #»a . #» b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 + Vec-tơ #»a vuông góc #»b #»a⊥ #»b ⇔ #»a . #»b = 0⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 20 21 | Sổ tay toán học-12 + Tích có hướng của 2 vec-tơî #»a , #» b ó = Ñ∣∣∣∣∣∣∣a2 a3b2 b3 ∣∣∣∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣∣∣∣a3 a1b3 b1 ∣∣∣∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2 ∣∣∣∣∣∣∣é = (a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1) + Góc giữa hai vec-tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦ cosα = cos Ä #»a , #» b ä = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3√ a21 + a22 + a23. √ b21 + b22 + b23 2 Tọa độ điểm • # »OM = x. #»i + y. #»j + z. #»j ⇒M(x; y; z). • Tính chất: Cho các điểm A (xA; yA; zA); B (xB; yB; zB); C (xC ; yC ; zC) + Độ dài đoạn thẳng AB AB = » (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 + Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB I : xI = xA + xB 2 yI = yA + yB 2 zI = zA + zB 2 + Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: # »MA = k. # »MB ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 21 22 | Sổ tay toán học-12 xM = xA − k.xB 1− k ; yM = yA − k.yB 1− k ; zM = zA − k.zB 1− k + Tọa độ trong tâm G của 4ABC G : xG = xA + xB + xC 3 yG = yA + yB + yC 3 zG = zA + zB + zC 3 Ứng dụng tích có hướng của 2 vec-tơ 1 #»a và #»b cùng phương: î #»a , #» b ó = #»0 2 #»a , #»b , #»c đồng phẳng: î #»a , #» b ó . #»c = 0 3 Diện tích 4ABC: S4ABC = 1 2 ∣∣∣î # »AB, # »ACó∣∣∣ 4 Diện tích hình bình hành ABCD: S4ABCD = ∣∣∣î # »AB, # »ACó∣∣∣ 5 Thể tích hình hộp ABCD.A′B′C ′D′: V = ∣∣∣î # »AB, # »ACó . # »AA′∣∣∣ 6 Thể tích tứ diện ABCD: V = 16 ∣∣∣î # »AB, # »ACó . # »AD∣∣∣ ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 22 23 | Sổ tay toán học-12 Phương trình mặt cầu 1 Mặt cầu (S) : tâm I(a; b; c)bán kính R (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 2 Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện: a2 + b2 + c2 − d = 0 > 0 là phương trình mặt cầu (S)tâm I(a; b; c)bán kình R = √a2 + b2 + c2 − d Phương trình mặt phẳng 1 Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ): Ax+By + Cz +D = 0 có vec-tơ pháp tuyến #»n = (A;B;C) 2 Mặt phẳng (P ) : qua M(x0; y0; z0)vtpt #»n = (A;B;C) A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0 3 Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơ chỉ phương #»a và #»b thì vtpt của (P ) là #»n = î #»a , #» b ó 4 Mặt phẳng (ABC) với A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (ABC) : x a + y b + z c = 1 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 23 24 | Sổ tay toán học-12 5 Các mặt phẳng đặc biệt (Oyz) : x = 0 (Oxz) : y = 0 (Oxy) : z = 0 (Oyz) ∥ x = a (Oxz) ∥ y = b (Oxy) ∥ z = c 6 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P ) : Ax+By + Cz +D = 0 d(M0; (P )) = |A.x0 +B.y0 + C.z0 +D|√ A2 +B2 + C2 7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng (P1) : A1x+B1y + C1z +D1 = 0, # »n1 = (A1;B1;C1) (P2) : A2x+B2y + C2z +D2 = 0, # »n2 = (A2;B2;C2) • (P1) ∥ (P2): A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 6= D1 D2 . • (P1) ≡ (P2): A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = D1 D2 . • (P1)⊥(P2): A1.A2 +B1.B2 + C1.C2 = 0 • Góc giữa 2 mặt phẳng: 0◦ ≤ (P1, P2) ≤ 90◦ cos(P1, P2) = |A1.A2 +B1.B2 + C1.C2|√ A21 +B21 + C21 . √ A22 +B22 + C22 Phương trình đường thẳng 1 Phương trình tham số Đường thẳng (∆) : qua M0(x0; y0; z0)vtcp: #»u = (a; b; c) Phương trình tham số (∆) : x = x0 + a.t y = y0 + b.t z = z0 + c.t , (t ∈ R) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 24 25 | Sổ tay toán học-12 2 Phương trình chính tắc: (∆) : x− x0 a = y − y0 b = z − z0 c 3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng (∆) : x = x0 + a.t y = y0 + b.t z = z0 + c.t , (∆′) : x = x′0 + a′.t′ y = y′0 + b′.t′ z = z′0 + c′.t′ • (∆) cắt (∆′): x0 + at = x′0 + a′t y0 + bt = y′0 + b′t z0 + ct = z′0 + c′t có đúng 1 nghiệm t, t′ • (∆) chéo (∆′): x0 + at = x′0 + a′t y0 + bt = y′0 + b′t z0 + ct = z′0 + c′t vô nghiệm và a a′ 6= b b′ 6= c c′ • (∆) ∥ (∆′): x0 + at = x′0 + a′t y0 + bt = y′0 + b′t z0 + ct = z′0 + c′t vô nghiệm và a a′ = b b′ = c c′ • (∆) ≡ (∆′): x0 + at = x′0 + a′t y0 + bt = y′0 + b′t z0 + ct = z′0 + c′t vô số nghiệm 4 Góc giữa 2 đường thẳng: (0◦ ≤ (∆; ∆′) ≤ 90◦) cos(∆; ∆′) = |a.a ′ + b.b′ + c.c′|√ a2 + b2 + c2. √ a′2 + b′2 + c′2 5 Vị trị tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 25 26 | Sổ tay toán học-12 (∆) : x = x0 + a.t y = y0 + b.t z = z0 + c.t và (P ) : Ax+By + Cz +D = 0 Thế (∆) vào (P ) A(x0 + a.t) +B(y0 + b.t) + C(z0 + c.t) +D = 0 (1) + Nếu (1) có đúng nghiệm t = t0 suy ra (∆) cắt (P ) tại điểm M0(x0 + at0; y0 + bt0; z0 + zt0) + Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P ) + Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) thuộc (P ) 6 Góc của đường thẳng và mặt phẳng: (0◦ ≤ (∆;P ) ≤ 180◦) sin(∆, P ) = |A.a+B.b+ C.c|√ A2 +B2 + C2. √ a2 + b2 + c2 7 Đường thẳng song (vuông góc) với mặt phẳng (∆) có vtcp: #»u = (a; b; c); (P ) có vtpt: #»n = (A;B;C) • (∆) ∥ (P ) khi A.a+B.b+ C.c = 0 • (∆)⊥(P ) khi A a = B b = C c . ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 26
File đính kèm:
so_tay_toan_hoc_lop_12.pdf