Sổ tay Toán học Lớp 12

Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2), · · ·
So sánh y(a), y(b), y(x1), y(x2), · · ·
Suy ra max
[a;b]
y; min
[a;b]
y
Đường tiệm cận
lim
x→x+0
y = ±∞
Ç
lim
x→x−0
y = ±∞
å
⇒ TCĐ: x = x0
lim
x→+∞ y = y0
(
lim
x→−∞ y = y0
)
⇒ TCN: y = y0
Lũy thừa (a > 0)
1 am.an = am+n 2 (a.b)n = an.bn 3
√
ak = a
k
2
4 a
m
an
= am−n 5
(a
b
)n
= a
n
bn
6 n
√
ak = a
k
n
7 (am)n = am.n 8 a−n = 1
an
9 m
√
n
√
ak = a
k
m.n
Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1)
1 loga 1 = 0 2 loga(x.y) = loga x+ loga y.
3 loga a = 1 4 loga
Å
x
y
ã
= loga x− loga y.
5 loga aα = α 6 loga xα = α loga x.
7 logx a =
1
loga x
8 logam x =
1
m
loga x.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 6
7 | Sổ tay toán học-12
9 loga x = loga b. logb x 10 loga x =
logb x
logb a
.
Hàm số lũy thừa y = xα, α ∈ R
Tập xác định:
• D = R khi α nguyên dương
• D = R \ {0} khi α nguyên âm
• D = (0; +∞) khi α không
nguyên
x
y
O
α < 0
α = 0
0 < α < 1
α = 1
α > 1
1
1
Hàm số mũ y = ax
a > 1 0 < a < 1
•D = R •D = R
x
y
O
a > 1
1
TCN: y = 0 x
y
O 0 < a < 1
1
TCN: y = 0
Hàm số logarit y = loga x
a > 0 0 < a < 1
•D = (0; +∞) •D = (0; +∞)
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 7
8 | Sổ tay toán học-12
x
y
O
a > 1
1
T
C
Đ
:x
=
0
x
y
O
0 < a < 1
1
T
C
Đ
:x
=
0
Phương trình, bất phương trình mũ
ax = b⇔ x = loga b
af(x) = ag(x)
⇔ f(x) = g(x)
a > 1 0 < a < 1
af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
Phương trình và bất phương trình logarit
loga x = b⇔ x = ab
loga f(x) = logb g(x)
⇔ f(x) = g(x)
a > 1 0 < a < 1
loga f(x) > loga g(x)⇔
⇔ f(x) > g(x)
loga f(x) > loga g(x)⇔
⇔ f(x) < g(x)
Lãi suất ngân hàng
1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không
tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 8
9 | Sổ tay toán học-12
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗) là
Sn = A+ n.A.r = A(1 + nr)
2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗) là
Sn = A(1 + r)n ; n = log1+r
Å
Sn
A
ã
; r% = n
Sn
A
− 1 ; A = Sn(1 + r)n
Bảng nguyên hàm
1
∫
dx = x+ C 2
∫
kdx = kx+ C
3
∫
xndx = x
n+1
n+ 1 + C 4
∫
(ax+ b)n dx = 1
a
(ax+ b)n+1
n+ 1 + C
5
∫ dx
x2
= −1
x
+ C 6
∫ dx
(ax+ b)2 = −
1
a
.
1
ax+ b + C
7
∫ dx
x
= ln |x|+ C 8
∫ dx
ax+ b =
1
a
ln |ax+ b|+ C
9
∫
exdx = ex + C 10
∫
eax+bdx = 1
a
eax+b + C
11
∫
axdx = a
x
ln a + C 12
∫
aαx+βdx = 1
α
aαx+β
ln a + C
13
∫
cosxdx = sin x+ C 14
∫
cos(ax+ b)dx = 1
a
sin(ax+ b) +C
15
∫
sin xdx = − cosx+ C 16
∫
sin(ax+b)dx = −1
a
cos(ax+b)+C
17
∫ dx
cos2 x = tan x+ C 18
∫ dx
cos2(ax+ b) =
1
a
tan(ax+ b) + C
19
∫ dx
sin2 x = − cotx+ C 20
∫ dx
sin2(ax+ b) = −
1
a
cot(ax+b)+C
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 9
10 | Sổ tay toán học-12
21
∫
tan xdx = − ln |cosx|+ C 22
∫
tan(ax+ b)dx = −1
a
ln |cosx|+ C
23
∫
cotxdx = ln |sin x|+ C 24
∫
cot(ax+ b)dx = 1
a
ln |sin x|+ C
25
∫
1
x2 − a2 dx =
1
2a
ln
∣∣∣∣x− ax+ a
∣∣∣∣+C 26
∫ 1
x2 + a2dx =
1
a
arctan x
a
+ C
Tích phân
b∫
a
f(x)dx = F (x)
∣∣∣∣b
a
= F (b)− F (a)
1
a∫
a
dx = 0 2
b∫
a
f(x)dx = −
a∫
b
f(x)dx
3
b∫
a
k.f(x)dx = k
a∫
b
f(x)dx
4
b∫
a
[f(x)± g(x)] dx =
b∫
a
f(x)dx±
b∫
a
g(x)dx
5
b∫
a
f(x)dx =
c∫
a
f(x)dx+
b∫
c
f(x)dx
Tích phân từng phần
b∫
a
u.v′dx = u.v
∣∣∣∣b
a
−
b∫
a
u′.vdx
hay
b∫
a
udv = u.v
∣∣∣∣b
a
−
b∫
a
v.du
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 10
11 | Sổ tay toán học-12
Diện tích phẳng phẳng
1 Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi
2 Diện tích hình phẳng
giới hạn bởiy = f(x)
y = 0;x = a;x = b
y = f(x)
y = g(x);x = a;x = b
x
y
O
y = f(x)
a b x
y
O
y = f(x)
y = g(x)
a b
S =
b∫
a
|f(x)| dx S =
b∫
a
|f(x)− g(x)| dx
3 Diện tích hình phẳng 4 Diện tích hình phẳng
x
y
O a
bc
y = h(x)
x
y
O a b
c d
y = f(x)
S =
c∫
a
|h(x)| dx+
b∫
c
|h(x)| dx S =
c∫
a
f(x)dx−
d∫
c
f(x)dx+
d∫
b
f(x)dx
S =
c∫
a
h(x)dx−
b∫
c
h(x)dx
Thể tích vật thể tròn xoay
1 Thể tích của vật thể giới
bạn bởi
2 Thể tích của vật thể giới
bạn bởi
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 11
12 | Sổ tay toán học-12
(P ), (Q)⊥Ox
x = a;x = b
y = f(x), Ox
x = a;x = b
V =
b∫
a
S(x)dx V = pi.
b∫
a
f2(x)dx
Số phức
1 Định nghĩa và tính chất
• z = a+ bi, (i2 = −1) là số phức
– Phần thực: a
– Phần ảo: b
• Cho z = a+ bi và z′ = a′ + b′i thì
– z + z′ = (a+ a′) + (b+ b′)i
– z − z′ = (a− a′) + (b− b′)i
– z.z′ = (aa′ − bb′) + (ab′ + a′b)i
– z
z′
= aa
′ + bb′
a′2 + b′2 +
a′b− a− b′
a′2 + b′2
2 Số phức liên hợp
• Cho z = a+ bi thì z = a− bi là số phức liên hợp của z.
• Tính chất
– z.z = a2 + b2; z1 + z2 = z1 + z2; z1.z2 = z1.z2
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 12
13 | Sổ tay toán học-12
–
Å
z1
z2
ã
= z1
z2
; z + z = 2a; z − z = 2bi
3 Môdun số phức
• Cho z = a+ bi thì |z| = √a2 + b2
• |z| = |z|; |z1.z2| = |z1|.|z2|
•
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| ; |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|; |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|
4 Biểu diễn hình học số phức
z = a+ bi⇒M(a; b)
x
y
O a
b M
O
M
=
|z|
=
√ a2 + b
2
5 Phương trình bậc hai
ax2 + bx+ c = 0, ∆ = b2 − 4ac.
• ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm thực: x1,2 = −b±
√
∆
2a
• ∆ < 0 phương trình có 2 nghiệm phức: x1,2 = −b±
√|∆|i
2a
Thể Khối đa diện
1 Thể tích khối lập phương cạnh a:
V = a3
2 Thể tích khối hộp chữ nhật
V = a.b.c
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 13
14 | Sổ tay toán học-12
3 Thể tích khối lăng trụ
V = Sđáy.h
Sđáy : Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
4 Thể tích khối chóp
V = 13Sđáy.h
Sđáy : Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
5 Tỉ số thể tích khối chóp
Hình chóp S.ABC, gọi A′, B′, C ′ lần lượt
là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC
VS.A′B′C′
VS.ABC
= SA
′
SA
SB′
SB
SC ′
SC
6 a = SA
SA′
, b = SB
SB′
, c = SC
SC ′
, d = SD
SD′
VS.A′B′C′D′
VS.ABCD
= a+ b+ c+ d4abc
7 a = AM
AA′
, b = BN
BB′
, c = CP
CC ′
VABC.MNP
VABC.A′B′C′
= a+ b+ c3
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 14
15 | Sổ tay toán học-12
8 a = AM
AA′
, b = BN
BB′
, c = CP
CC ′
, d = DQ
DD′
và a+ c = b+ d
VABCD.MNPQ
VABCD.A′B′C′D′
= a+ b+ c+ d4
Khối tròn xoay
1 Diện tích mặt cầu: S = 4piR2
2 Thể tích khối cầu: V = 43piR
2
3 Thể tích chỏm cầu:
V = pih2
Å
R− h3
ã
= pih6
(
3r2 + h2
)
4 Diện tích xung quanh chỏm cầu
Sxq = 2piRh = pi
(
r2 + h2
)
5 Diện tích xung quanh: Sxq = 2piRl
6 Diện tích toàn phần: Stp = 2piR(l +R)
7 Thể tích khối trụ: V = piRh
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 15
16 | Sổ tay toán học-12
8 Diện tích xung quanh: Sxq = piRl
9 Diện tích toàn phần: Stp = piR(l +R)
10 Thể tích khối nón: V = 13piR
2.h
l =
√
h2 +R2; h =
√
l2 −R2
11 V = pi.h3
(
R2 + r2 +R.r
)
12 Sxq = pi (R + r) l
13 Stp = pi
(
R2 + r2 +R.l + r.l
)
Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay
Hình trụ có thiết diện qua trục OO′ là hình
chữ nhật ABB′A′
• Chiều rộng: AB = 2R
• Chiều dài: AA′ = h = l
• Diện tích: SABB′A′ = AB.AA′ = 2.R.l
Hình nón có thiết diện qua trục SO là tam
cân SAB tại S
• Cạnh bên: SA = SB = l
• Cạnh đáy: AB = 2R
• Diện tích: S4SAB = 12R.h
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 16
17 | Sổ tay toán học-12
Hình học phẳng
• 4ABC vuông tại A: BC2 = AB2 + AC2
• 1
AH2
= 1
AB2
+ 1
AC2
• Diện tích: S4ABC = 12AB.AC
• 4ABC vuông cân tại tại A
+S4ABC =
BC2
4
+ BC = AB
√
2
• S4ABC = 12ha.a =
1
2hb.b =
1
2hc.c
• S4ABC = 12bc sinA =
1
2ca sinB =
1
2ab sinC
• S4ABC =
√
p(p− a)(p− b)(p− c)
• S4ABC = pr, p = a+ b+ c2
• S4ABC = abc4R
• a2 = b2 + c2 − 2b.c cosA
• asinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R
• Hình vuông ABCD cạnh a
+AC = BD = a
√
2
+SABCD = a2
• Tam giác ABC đều cạnh a
+ Đường cao: AM = a
√
3
2
+ GA = GB = GC = a
√
3
3
+ Diện tích: S4ABC =
a2
√
3
4
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 17
18 | Sổ tay toán học-12
Công thức tính nhanh thể tích
1 Hình chóp S.ABC có SA =
c, AB = a,AC = b đôi một vuông
góc: VS.ABC =
abc
6
2 Hình chóp S.ABC có đáy 4ABC là
tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b:
VS.ABC =
a2
√
3b2 − a2
12
Khi a = b thì VS.ABC =
a3
√
2
12
3 Hình chóp tam giác đều có cạnh
đáy a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
VS.ABC =
a3 tanα
12
4 Hình chóp tam giác đều có cạnh
bên b, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
VS.ABC =
√
3b sinα cos2 α
4
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 18
19 | Sổ tay toán học-12
5 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy
bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc α:
VS.ABC =
a3 tanα
24
6 Hình chóp đều S.ABCD có ABCD
là hình vuông cạnh a, cạnh bên b:
VS.ABCD =
a2
√
4b2 − 2a2
6
Khi a = b thì VS.ABCD =
a3
√
2
6
7 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
α: VS.ABCD =
a3
√
2 tanα
6
8 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên
bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α: VS.ABCD =
4b3. tanα
3
»
(2 + tan2 α)3
9 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α: VS.ABCD =
a2
√
tan2 α− 1
6
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 19
20 | Sổ tay toán học-12
Hệ tọa độ trong không gian
1 Tọa độ vec-tơ
• Vec-tơ đơn vị:
#»
i = (1, 0, 0); #»j = (0, 1, 0); #»k = (0, 0, 1)
• Vec-tơ #»a = a1. #»i + a2. #»j + a2 + a3. #»k ⇒ #»a = (a1; a2; a3)
• Tính chất: Cho hai vec-tơ #»a = (a1; a2; a3), #»b = (b1; b2; b3)
+ Tổng-hiệu: #»a ± #»b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
+ Tích 1 số với 1 vec-tơ: k #»a = (k.a1; k.a2; k.a3)
+ Độ dài vec-tơ: | #»a | = √a21 + a22 + a23
+ Hai vec bằng nhau: #»a = (a1; a2; a3),
#»
b = (b1; b2; b3)
#»a = #»b ⇔

a1 = b1
b1 = b2
a3 = b3
+ Hai vec-tơ cùng phương: #»a = k. #»b
⇔ a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
= k
+ Tích vô hướng của hai vec-tơ
#»a .
#»
b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
+ Vec-tơ #»a vuông góc #»b
#»a⊥ #»b ⇔ #»a . #»b = 0⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 20
21 | Sổ tay toán học-12
+ Tích có hướng của 2 vec-tơî
#»a ,
#»
b
ó
=
Ñ∣∣∣∣∣∣∣a2 a3b2 b3 ∣∣∣∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣∣∣∣a3 a1b3 b1 ∣∣∣∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2 ∣∣∣∣∣∣∣é
= (a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1)
+ Góc giữa hai vec-tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦
cosα = cos
Ä
#»a ,
#»
b
ä
= a1.b1 + a2.b2 + a3.b3√
a21 + a22 + a23.
√
b21 + b22 + b23
2 Tọa độ điểm
• # »OM = x. #»i + y. #»j + z. #»j ⇒M(x; y; z).
• Tính chất:
Cho các điểm A (xA; yA; zA); B (xB; yB; zB); C (xC ; yC ; zC)
+ Độ dài đoạn thẳng AB
AB =
»
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
+ Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
I :

xI =
xA + xB
2
yI =
yA + yB
2
zI =
zA + zB
2
+ Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: # »MA = k. # »MB
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 21
22 | Sổ tay toán học-12
xM =
xA − k.xB
1− k ; yM =
yA − k.yB
1− k ; zM =
zA − k.zB
1− k
+ Tọa độ trong tâm G của 4ABC
G :

xG =
xA + xB + xC
3
yG =
yA + yB + yC
3
zG =
zA + zB + zC
3
Ứng dụng tích có hướng của 2 vec-tơ
1 #»a và #»b cùng phương:
î
#»a ,
#»
b
ó
= #»0
2 #»a , #»b , #»c đồng phẳng:
î
#»a ,
#»
b
ó
. #»c = 0
3 Diện tích 4ABC:
S4ABC =
1
2
∣∣∣î # »AB, # »ACó∣∣∣
4 Diện tích hình bình hành ABCD:
S4ABCD =
∣∣∣î # »AB, # »ACó∣∣∣
5 Thể tích hình hộp ABCD.A′B′C ′D′:
V =
∣∣∣î # »AB, # »ACó . # »AA′∣∣∣
6 Thể tích tứ diện ABCD:
V = 16
∣∣∣î # »AB, # »ACó . # »AD∣∣∣
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 22
23 | Sổ tay toán học-12
Phương trình mặt cầu
1 Mặt cầu (S) :
tâm I(a; b; c)bán kính R
(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
2 Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện:
a2 + b2 + c2 − d = 0 > 0 là phương trình mặt cầu (S)tâm I(a; b; c)bán kình R = √a2 + b2 + c2 − d
Phương trình mặt phẳng
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ):
Ax+By + Cz +D = 0 có vec-tơ pháp tuyến #»n = (A;B;C)
2 Mặt phẳng
(P ) :
qua M(x0; y0; z0)vtpt #»n = (A;B;C)
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0
3 Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơ chỉ phương
#»a và #»b thì vtpt của (P ) là #»n =
î
#»a ,
#»
b
ó
4 Mặt phẳng (ABC) với A(a; 0; 0),
B(0; b; 0), C(0; 0; c)
(ABC) : x
a
+ y
b
+ z
c
= 1
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 23
24 | Sổ tay toán học-12
5 Các mặt phẳng đặc biệt
(Oyz) : x = 0 (Oxz) : y = 0 (Oxy) : z = 0
(Oyz) ∥ x = a (Oxz) ∥ y = b (Oxy) ∥ z = c
6 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến
mặt phẳng
(P ) : Ax+By + Cz +D = 0
d(M0; (P )) =
|A.x0 +B.y0 + C.z0 +D|√
A2 +B2 + C2
7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
(P1) : A1x+B1y + C1z +D1 = 0, # »n1 = (A1;B1;C1)
(P2) : A2x+B2y + C2z +D2 = 0, # »n2 = (A2;B2;C2)
• (P1) ∥ (P2): A1
A2
= B1
B2
= C1
C2
6= D1
D2
.
• (P1) ≡ (P2): A1
A2
= B1
B2
= C1
C2
= D1
D2
.
• (P1)⊥(P2): A1.A2 +B1.B2 + C1.C2 = 0
• Góc giữa 2 mặt phẳng: 0◦ ≤ (P1, P2) ≤ 90◦
cos(P1, P2) =
|A1.A2 +B1.B2 + C1.C2|√
A21 +B21 + C21 .
√
A22 +B22 + C22
Phương trình đường thẳng
1 Phương trình tham số
Đường thẳng (∆) :
qua M0(x0; y0; z0)vtcp: #»u = (a; b; c)
Phương trình tham số (∆) :

x = x0 + a.t
y = y0 + b.t
z = z0 + c.t
, (t ∈ R)
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 24
25 | Sổ tay toán học-12
2 Phương trình chính tắc:
(∆) : x− x0
a
= y − y0
b
= z − z0
c
3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
(∆) :

x = x0 + a.t
y = y0 + b.t
z = z0 + c.t
, (∆′) :

x = x′0 + a′.t′
y = y′0 + b′.t′
z = z′0 + c′.t′
• (∆) cắt (∆′):

x0 + at = x′0 + a′t
y0 + bt = y′0 + b′t
z0 + ct = z′0 + c′t
có đúng 1 nghiệm t, t′
• (∆) chéo (∆′):

x0 + at = x′0 + a′t
y0 + bt = y′0 + b′t
z0 + ct = z′0 + c′t
vô nghiệm
và a
a′
6= b
b′
6= c
c′
• (∆) ∥ (∆′):

x0 + at = x′0 + a′t
y0 + bt = y′0 + b′t
z0 + ct = z′0 + c′t
vô nghiệm
và a
a′
= b
b′
= c
c′
• (∆) ≡ (∆′):

x0 + at = x′0 + a′t
y0 + bt = y′0 + b′t
z0 + ct = z′0 + c′t
vô số nghiệm
4 Góc giữa 2 đường thẳng: (0◦ ≤ (∆; ∆′) ≤ 90◦)
cos(∆; ∆′) = |a.a
′ + b.b′ + c.c′|√
a2 + b2 + c2.
√
a′2 + b′2 + c′2
5 Vị trị tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 25
26 | Sổ tay toán học-12
(∆) :

x = x0 + a.t
y = y0 + b.t
z = z0 + c.t
và (P ) : Ax+By + Cz +D = 0
Thế (∆) vào (P )
A(x0 + a.t) +B(y0 + b.t) + C(z0 + c.t) +D = 0 (1)
+ Nếu (1) có đúng nghiệm t = t0 suy ra (∆) cắt (P ) tại điểm
M0(x0 + at0; y0 + bt0; z0 + zt0)
+ Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P )
+ Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) thuộc (P )
6 Góc của đường thẳng và mặt phẳng: (0◦ ≤ (∆;P ) ≤ 180◦)
sin(∆, P ) = |A.a+B.b+ C.c|√
A2 +B2 + C2.
√
a2 + b2 + c2
7 Đường thẳng song (vuông góc) với mặt phẳng
(∆) có vtcp: #»u = (a; b; c); (P ) có vtpt: #»n = (A;B;C)
• (∆) ∥ (P ) khi A.a+B.b+ C.c = 0
• (∆)⊥(P ) khi A
a
= B
b
= C
c
.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 26