Phương pháp ngoại suy tiệm cận dự báo nhanh giới hạn ổn định tĩnh hệ thống điện trên cơ sở thông số trạng thái chế độ xác lập

yển nên điểm a cũng di chuyển liên tục dọc 
theo đường cong. 
Hình 4. Giao điểm giữa mặt cong và đường cong 
 trong không gian 
Hình 4 thể hiện trường hợp hệ phương trình có 
2 nghiệm, vị trí của chúng nằm trên đường cong 
Cf1 và mặt cong Sf1 trong không gian. 
Khi λ thay đổi hệ có thể chuyển từ có nghiệm 
sang vô nghiệm. Vị trí giới hạn là vị trí tương 
tương ứng với lúc đường và mặt cong tiếp xúc 
với nhau tại 1 điểm, đó cũng là lúc ma trận 
Jacobi của hệ trở thành suy biến, det(J)=0. 
xb 
yb 
zb 
z 
x 
y 
a 
xa 
ya 
za 
b 
z 
x 
y 
a 
xa 
ya 
za 
z 
x 
y 
a 
xa 
ya 
za 
Cf1 
z 
x 
y 
a 
xa ya 
za 
Sf1 
Có thể mở rộng các đặc trưng nêu trên cho 
không gian n chiều với hệ n phương trình [5]. 
B. Trạng thái giới hạn ổn định của HTĐ 
Giả thiết HTĐ có n+1 nút kể cả nút cân bằng 
(nút n+1), với m nút nguồn (không tính nút cân 
bằng), trong đó có s nút nguồn dạng PV và m-s 
nút nguồn dạng PQ. Các nút còn lại là nút tải 
hoặc trung gian. 
Với các giả thiết trên, dạng tối giản của hệ 
phương trình CĐXL có thể viết được như sau 
[6], [7]: 

   
1n
1j
jiijjiiji )cos(UUyP ; 
với i = 1, 2, , n 

   
1n
1j
jiijjiiji )sin(UUyQ ; 
với i = 1, 2, , n-s 
Trong đó: 
n+1: số nút của hệ thống. Nút cân bằng được 
đánh số n+1, với δn+1 = 0. 
Pi , Qi : công suất tác dụng và công suất phản 
kháng bơm vào nút i (phụ tải mang dấu âm). 
Ψij , yij : góc pha và modun của tổng dẫn Yij. 
i , Ui : góc pha và modun của điện áp nút i. 
Do góc Ψij thường lớn hơn 90o nên người ta 
còn hay đổi biến tính theo góc ij = Ψij - 90o, khi 
đó ta có hệ: 

    
1n
ij
1j
ijjijiijii
2
iiii )sin(UUycosUyP 
i = 1, 2, , n (2-3) 

    
1n
ij
1j
ijjijiijii
2
iiii )cos(UUysinUyQ 
i = 1, 2, , n-s (2-4) 
Ta có thể kí hiệu gọn lại theo dạng tổng quát: 
 F(X) = λ (2-5) 
với: 
 F = (f1, f2, ... , f2n-s)t 
 X = (...δi..., ... Ui ...)t 
 λ = (... Pi ..., ... Qi ...)t 
Cách viết trên tương ứng với dạng (2-2), sẽ 
cho phép ứng dụng trực tiếp các kết quả phân 
tích trong mục A. 
Hình 5. Vị trí tương đối giữa đường cong và mặt cong 
trong không gian 
Hình 5 thể hiện trạng thái ban đầu và trạng 
thái giới hạn khi hệ phương trình chỉ còn một 
nghiệm. Với hệ phương trình CĐXL của HTĐ 
thì đó cũng là trạng thái giới hạn ổn định. Rõ 
ràng có thể nhận dạng trạng thái giới hạn qua trị 
số của góc α giữa vector pháp tuyến (gradient 
vector) của mặt cong và vector tiếp tuyến 
(tangent vector) của đường cong tại điểm cắt: lúc 
α = 90o. 
C. Tính toán góc α và chỉ số ổn định 
Xét hệ phương trình (2-3) (2-4), với ma trận 
Jacobi thiết lập được: 


















sn2
sn2
2
sn2
1
sn2
sn2
2
2
2
1
2
sn2
1
2
1
1
1
x
f
...
x
f
x
f
...............
x
f
...
x
f
x
f
x
f
...
x
f
x
f
J 
Theo lí thuyết hình giải tích không gian, vector 
pháp tuyến của mặt không gian Sfi có các thành 
phần tỉ lệ với đạo hàm riêng của hàm fi theo các 
hướng [5]: 
 t
sn2
i
2
i
1
i
i )
x
f
,...,
x
f
,
x
f
(f
 





  
Tiếp tuyến với đường cong không gian Cfi có 
các thành phần tỉ lệ với các phần phụ đại số của 
các phần tử trên hàng i của ma trận Jacobi [5]: 
t
)mN2(i2i1ii )M...,,M,M(Tag . 
Cũng theo lí thuyết hình giải tích không gian, 
góc giữa 2 vector không gian có cosin tính được 
theo biểu thức sau: 
ii
ii
Tag.f
Tag*f
cos


 , 
Trong đó dấu "*" biểu thị tích vô hướng của 2 
a 
b 
α 
Gradient 
vector 
Tangent 
vector 
Space 
curve 
Space 
surface 
c 
90o 
Gradient 
vector 
Tangent 
vector 
Space 
curve 
Space 
surface 
vector còn dấu || || biểu thị chuẩn Ơclid của 
vector. Ta có: 
2
)sN2(i
2
2i
2
1ii
2
sN2
i2
2
i2
1
i
i
)M(...)M()M(Tag
)
x
f
(...)
x
f
()
x
f
(f






 
Mặt khác, theo công thức tính định thức thì 
 fi*Tagi = det(J). Như vậy, khi α=900 hay 
 fi*Tagi = 0, cũng chính là lúc định thức Jacobi 
triệt tiêu. 
Ý tưởng sử dụng góc α làm chỉ dấu đánh giá 
ổn định đã được đề xuất bởi Adly A. Girgis và 
Liancheng Wang [2]. 
D. Phương pháp ngoại suy tiệm cận tìm giới 
hạn ổn định 
Xét hệ (2-3) (2-4) với λ của mọi phương trình 
giữ cố định (nhận các giá trị P*j và Q*j) trừ một 
trị số λi = Pi thay đổi. Ta có thể coi như bổ sung 
1 biến vào hệ phương trình, với phương trình bổ 
sung xi+1 = Pi. Khi đó phương trình xi+1 = P*i xác 
định mặt phẳng trong không gian N+1 chiều (chỉ 
để tiện khảo sát, không làm thay đổi định thức 
Jacobi). 
Từ (2-3) có thể thấy các hàm fi tương ứng với 
phương trình cân bằng CSTD của nút là tổng của 
các hàm hình sin theo các góc lệch δ (khi coi các 
điện áp U ít thay đổi theo CSTD). Hơn nữa, chỉ 
có thành phần tính theo δi là thay đổi mạnh nhất 
theo Pi. Thật vậy, với giả thiết công suất ở tất cả 
các nút không thay đổi, thì khi Pi thay đổi chỉ có 
nút cân bằng có biến động công suất. Góc lệch δi 
tương ứng với thành phần trao đổi công suất 
giữa nút i và nút cân bằng, do đó sẽ thay đổi 
mạnh. Các góc pha còn lại, tương ứng với trao 
đổi công suất giữa các nút khác với nút cân 
bằng, chỉ biến động rất nhỏ. Nói khác đi có thể 
coi gần đúng phương trình tương ứng với biến δi 
ở dạng: 
 Pi = Pii+Pmsin(i-φ). (2-6) 
Trong đó, thành phần Pii = yiiUi2cosψii không 
đổi. Góc ψii ≈ -900 nên Pii có giá trị rất nhỏ. 
 Pm và φ là biên độ và góc dịch pha của hàm sin 
tiệm cận, cần xác định theo thông số trạng thái. 
Tương tự, có thể coi góc δ ít thay đổi theo 
CSPK, hơn nữa công suất phản kháng Qi thay 
đổi chủ yếu chỉ làm thay đổi điện áp Ui của nút i. 
Từ (2-4) ta nhận thấy Qi có dạng bậc 2 theo Ui 
 Giả thiết này hoàn toàn tương ứng với cách 
chấp nhận khi áp dụng tiêu chuẩn Markovits cho 
từng nút [8]. 
a) Tìm giới hạn công suất tác dụng 
Như đã nhận xét trong phần trên, nghiệm 
CĐXL có thể xác định tương ứng với giao điểm 
của mặt cong Pi(δi) và đường cong của các 
phương trình còn lại. Với những chấp nhận như 
vừa nêu thì đường cong sẽ có dạng gần với 
đường thẳng song song với trục δi (hình 6). Theo 
lý thuyết hình giải tích, đạo hàm của hàm Pi theo 
δi chính bằng hình chiếu của véctơ pháp tuyến 
của mặt cong lên trục δi. Nghĩa là dPi(δi)/dδi = 
|| fi ||.cos(α). 
Theo (2-6) ta giả thiết tiệm cận hàm Pi(δi) ở 
dạng: 
 y = Pm sin (δ-φ) + Pii 
Các tham số cần tìm là Pm, và φ. 
Ta có các phương trình sau, đúng với thông số 
CĐXL hiện hành (khi CSTD nút xét có trị số 
P*): 
 y = Pm sin (δ-φ) + Pii = P* (2-7) 
 y' = Pmcos (δ-φ) (2-8) 
Như trên ta có trị số đạo hàm: 
 y' = || fi ||.cos(α) 
Do đó: Pmcos (δ-φ) = || fi ||.cos(α) 
Bình phương 2 vế các phương trình (2-7), (2-
8) cộng lại ta được: 
 2i
2
ii
*2
m )]cos(.||f[||)PP(P  
 2i
2
ii
*
m )]cos(.||f[||)PP(P  
Coi gần đúng: Pii = 0, ta tính được công suất 
giới hạn Pm (không phụ thuộc góc φ): 
 2i
2*
m )]cos(.||f[||PP  (2-9) 
b) Tìm giới hạn công suất phản kháng 
Ta cũng giả thiết phương trình viết cho CSPK 
nút có dạng gần đúng bậc hai theo điện áp nút. 
Dạng tổng quát của hàm bậc 2 có dạng y = aX2 
+ bX +c. Tuy nhiên, theo (2-4), khi U = 0 thì 
công suất nút tải cũng bằng 0 nên ta có thể xét 
hàm ở dạng: y = aU2 + bU (hình 7). 
Hình 6. Mặt cong Pi(δi) cắt đường thẳng 
 của các phương trình còn lại 
Pi* 
δi 
Ui 
Pi 
α 
Ui* 
  fi 
Các tham số cần xác định là a và b. 
Giả thiết đã biết U1 ở CĐXL (tương ứng với 
lúc CSPK nút Q = Q*). 
Các phương trình có được như sau: 
y = aU12 + bU1= Q* (2-10) 
y' = 2aU1 + b = || fi ||.cos(α) (2-11) 
Từ phương trình (2-11) ta có: 
 b = || fi ||.cos(α) - 2aU1 
Thay vào (2-10) ta có: 
 aU12+[|| fi ||.cos(α) - 2aU1].U1 = Q* 
 -aU12+ || fi ||.cos(α).U1 = Q* 
Suy ra: 
2
1
*
1i
U
QU).cos(.||f||
a
 
 b = || fi ||.Cos(α) - 2aU1 
Điện áp giới hạn (lúc y'=0): U = -b/2a 
Thay vào biểu thức y ta nhận được giá trị cực 
đại: ymax = -b2/4a = Qm (2-12) 
chính là giới hạn CSPK nút. 
Dễ thấy, sai số của phép tiệm cận có thể mắc 
phải là do đã coi gần đúng các thông số ít biến 
động là hằng số khi hệ thống chuyển từ chế độ 
đầu đến chế độ giới hạn. Như vậy, càng ở xa chế 
độ giới hạn sai số sẽ càng lớn, tuy nhiên, đó lại 
là chế độ an toàn. 
III. VÍ DỤ TÍNH TOÁN 
Xét hệ thống điện đơn giản như hình 8, trong 
đó có 2 nút nguồn (nút 1, 4), hai nút tải (nút 2, 
5). Nút 3 là nút trung gian (không có tải hay 
nguồn đấu trực tiếp). Có thể đặt ra các bài toán 
sau: 
- Tính giới hạn truyền tải công suất nhận về 
các nút tải khi công suất cung cấp từ nguồn 1 
hoặc từ nguồn 4, so sánh ảnh hưởng của phương 
thức cung cấp nguồn đến mức độ ổn định. 
- So sánh ảnh hưởng đến các giới hạn ổn định 
khi đặt thêm dung lượng bù tại nút 5. 
Hình 8. Sơ đồ hệ thống điện đơn giản 5 nút 
Do sơ đồ khá đơn giản, ta có thể tính được các 
giới hạn trên cho mọi nút bằng cả phương pháp 
lặp (gọi là tính off-line) và phương pháp NSTC. 
Mục đích là để đánh giá sai số của phương pháp 
NSTC, đồng thời thấy rõ được ảnh hưởng của 
phương thức cấp nguồn. Với phương pháp lặp, 
trong bài báo sử dụng chương trình CONUS 
(của ĐHBK HN) có chức năng tìm giới hạn 
ÔĐT theo các kịch bản khác nhau. 
1. Sai số phương pháp NSTC 
Trước hết tìm giới hạn nhận công suất cho các 
nút tải từ nguồn cung cấp là NMĐ tại nút 4 
(NMĐ4). Kết quả tính bằng 2 phương pháp được 
liệt kê trong bảng 1. Trong phương thức này 
NMĐ1 giữ nguyên công suất là 100MW. 
Bảng 1. So sánh giới hạn khi cung cấp từ NMĐ4 
Hàng 
Thông 
số 
Tính theo NSTC Tính off-line 
α PmQm Kdt% P0Q0 PmQm Kdt% 
1 P2 86.1o 4.69 89.3% 0.5 3.73 86.6% 
2 P5 87.2o 5.19 61.5% 2 5.21 61.6% 
3 P3 86.7o 5.39 100.0% 0 4.28 100.0% 
4 Q2 81.5o 2.63 91.3% 0.23 2.34 90.2% 
5 Q5 84.7o 3.09 61.2% 1.2 3.22 62.7% 
6 Q3 84.2o 2.38 100.0% 0 2.38 100.0% 
Có các nhận xét sau: 
- Nếu coi phương pháp tính lặp (tính off-line) là 
chính xác thì sai số của phương pháp NSTC 
không phải là lớn. Hệ số dự trữ có sai số dưới 
2,7%, còn sai số tuyệt đối (tính theo trị số giới 
hạn) có lớn hơn, tuy nhiên sai số nhỏ hơn rất 
nhiều so với cách ước lượng trong [2]. 
- Sai số tuyệt đối có trị số lớn hơn thuộc về các 
nút có công suất vận hành đang ở xa giới hạn ( 
nút 2 và 3) và ngược lại. Điều này dễ giải thích 
vì phương pháp đề xuất có ý nghĩa ngoại suy 
tiệm cận. Đối với nút có dự trữ nhỏ, phương 
pháp NSTC cho kết quả chính xác hơn. Điều này 
phù hợp với mong muốn kiểm tra nút yếu, đảm 
bảo độ tin cậy cao hơn cho các ứng dụng. 
2. So sánh ảnh hưởng của nguồn cung cấp 
δi 
Hình 7. Mặt cong Qi(Ui) cắt đường thẳng 
 của các phương trình còn lại 
Qi* 
Ui 
Qi 
α 
δi* 
 fi 
4 
1 
5 
3 2 
50+j23 
200+j120 
8,1+j12,6(Ω) 
4,2+j8,0(Ω) 
13,0+j21,0(Ω) 0,3+j44,4(Ω) 0,5+j50,6(Ω) 
110kV 
10,5kV 10,5kV 
 Vẫn xét giới hạn công suất nhận về cho các 
nút tải nhưng thay đổi phương thức cung cấp từ 
nguồn là NMĐ tại nút 1 (NMĐ1). Trong phương 
thức này NMĐ4 được giữ nguyên công suất 
phát, sự thay đổi phụ tải sẽ được đáp ứng từ 
NMĐ 1 (đổi nút cân bằng). Kết quả so sánh với 
phương thức cung cấp từ NMĐ4, được thể hiện 
trong bảng 2. 
Bảng 2. So sánh ảnh hưởng phương thức cung cấp 
Hàng 
Thông 
số 
Nhận từ nguồn 4 Nhận từ nguồn 1 
α PmQm Kdt% α PmQm Kdt% 
1 P2 86.1 4.69 89.3 85.9 4.83 89.6 
2 P5 87.2 5.19 61.4 87.5 4.61 56.6 
3 P3 86.7 5.39 100 87.5 4.16 100 
4 Q2 81.5 2.63 91.3 81.8 2.55 91 
5 Q5 84.7 3.09 61.2 84.7 3.09 61.2 
6 Q3 84.2 2.38 100 84 2.45 100 
Nhận xét: 
- Khi thay đổi phương thức cung cấp nguồn, 
giới hạn truyền tải có thay đổi đáng kể. Với sơ 
đồ trên, tải nút 2 nhận công suất từ NMĐ1 có 
giới hạn cao hơn từ NMĐ4. Trong khi đó nút 3 
và nút 5 nhận từ nguồn nút 4 có giới hạn cao 
hơn. Điều này có thể giải thích qua khoảng cách 
cung cấp từ tải đến nguồn (tính theo tổng trở). 
Nhận công suất qua khoảng cách xa, giới hạn ổn 
định sẽ thấp hơn. Tuy nhiên, với sơ đồ phức tạp 
giới hạn ổn định chỉ có thể căn cứ vào kết quả 
tính toán. 
- Giới hạn CSPK ít phụ thuộc hơn vào phương 
thức cung cấp nguồn. 
3. So sánh ảnh hưởng của thiết bị bù 
Vẫn sơ đồ hệ thống điện trên, lắp thêm một bộ 
tụ bù tĩnh tại nút 5 với dung lượng 100 MVAr. 
Ta vẫn tính bằng cả 2 phương pháp nhưng chỉ 
với 1 phương thức cung cấp nguồn từ nút 4. Kết 
quả nhận được ghi trong bảng 3. 
Bảng 3 Kết quả tính toán khi có thêm thiết bị bù 
Hàng 
Thông 
số 
Tính on-line Tính off-line 
α PmQm Kdt% P0Q0 PmQm Kdt% 
1 P2 86.2 5.0 90.0% 0.5 4.3 88.4% 
2 P5 87.3 5.5 63.6% 2.0 5.8 65.6% 
3 P3 86.9 5.7 100.0% 0.0 4.9 100.0% 
4 Q2 82.0 2.8 91.8% 0.2 2.7 91.4% 
5 Q5 85.0 3.3 63.6% 1.2 3.6 66.3% 
6 Q3 84.5 2.6 100.0% 0.0 2.5 100.0% 
Nhận xét: 
- Thiết bị bù tĩnh có ảnh hưởng rõ rệt trong 
việc nâng cao giới hạn ổn định của công suất nút 
tải, đồng thời nâng giới hạn ổn định chung cho 
toàn hệ thống. 
- Kết quả tính toán theo phương pháp đề xuất 
(NSTC) vẫn có sai số nhỏ so với tính tính lặp 
trực tiếp (off-line). 
III. KẾT LUẬN 
- Phương pháp NSTC cho phép dự báo nhanh 
công suất truyền tải giới hạn theo điều kiện ổn 
định HTĐ với sai số đủ nhỏ cho các ứng dụng 
thực tế. Nút có dự trữ ổn định càng thấp, phương 
pháp cho kết quả với độ chính xác càng cao. Đây 
là một thuận lợi cho các ứng dụng. 
- Khi thay đổi phương thức nguồn cung cấp, 
độ dự trữ ổn định thay đổi đáng kể. Do đó, việc 
tính toán phân tích giới hạn công suất truyền tải 
theo điều kiện ổn định (khi thay đổi phương thức 
huy động nguồn) là rất cần thiết. Kết quả sẽ cho 
phép lựa chọn nguồn cung cấp hợp lý, đặc biệt là 
trong các hoạt động của thị trường điện. 
- Áp dụng biện pháp bù tĩnh tại nút tải có thể 
cải thiện giới hạn truyền tải công suất cho nút, 
đồng thời nâng cao được mức độ ổn định chung 
cho toàn hệ thống. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] P. Kessel and H. Glavitsch, "Estimating the 
voltage stability of a power system," Power 
Delivery, IEEE Transactions on, vol. 1, pp. 346-
354, 1986. 
[2] L. Wang and A. A. Girgis, "On-line detection of 
power system small disturbance voltage 
instability," Power Systems, IEEE Transactions 
on, vol. 11, pp. 1304-1313, 1996. 
[3] Жданов_П_C, Устойчивость электрических 
систем. Москва: Государственное 
Энергетическое издательство, 1948. 
[4] Y. Tamura, et al., "Relationship between voltage 
instability and multiple load flow solutions in 
electric power systems," Power Apparatus and 
Systems, IEEE Transactions on, pp. 1115-1125, 
1983. 
[5] C. G. Cullen, Matrices and linear 
transformations: Courier Dover Publications, 
2012. 
[6] P. Kundur, Power system stability and Control. 
California: McGraw-Hill, Inc., 2008. 
[7] L. V. Út, Phân tích & Điều khiển ổn định hệ 
thống điện: NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2011. 
[8] И. M. Маркович, Режим энергетических 
систем. Москва: Энергия, 1969. 
 Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Mạnh Cường, phòng Phát triển 
Hệ thống điện, Viện Năng lượng, địa chỉ: số 6, phố Tôn 
Thất Tùng, quận Đống Đa, TP. Hà Nội. SĐT: 
04.38523742, email: cuongoe@gmail.com.