Nghiên cứu ứng dụng phân tích đẳng hình học cho bài toán điều khiển chủ động kết cấu tấm vật liệu phân lớp chức năng với tấm kích điện làm từ vật liệu áp điện

bố đều khi áp điện với điện áp
20V và 40V; Tấm vuông dưới tác động của điện áp
thay đổi từ 0 đến 60V mà không chịu tác dụng của
tải trọng phân bố. Tương tự như phương pháp phần
tử hữu hạn, phương pháp đẳng hình học cũng áp đặt
điều kiện biên Dirichlet trên u, v, w và j lần lượt là
chuyển vị theo x, chuyển vị theo y, chuyển vị theo z và
điện thế. Điều kiện biên thường được sử dụng trong
bài báo này là ngàm và tựa đơn:
Điều kiện biên ngàm (C-Clamp)
u= v= w= 0 (26)
Điều kiện biên tựa đơn (S-Simply)
v= w= 0 at x= 0; a
u= w= 0 at y= 0; a
(27)
Mô hình bài toán tấm vuông FGM có phần tử áp điện
400x400 mm cấu tạo lớp trên, lớp dưới làm từ vật liệu
áp điện PZT-G1995N và lớp giữa làm từ vật liệu phân
lớp chức năng (FGM) Ti–6Al–4V/Al2O3. Bề dày lớp
giữa là 5mm, lớp trên và lớp dưới là 0,1 mm. FGM
có quy luật phân bố vật liệu theo phương bề dày z với
số mũ n lần lượt 0 (Ti–6Al–4V); 0,2; 0,5; 1; 5; 15; ¥
(Al2O3) và thông số vật liệu4 được biểu diễn ởBảng 1.
Điều kiện biên bài toán: CFFF và chịu tải phân bố đều
100 N/m2. Mô hình hình học và điều kiện biên được
thể hiện ở Hình 1.
Tuy nhiên, khác với cách phân tích bài toán4 dựa trên
lý thuyết tấm FSDT kết hợp phương pháp CSDSG,
trong bài báo này chúng tôi thực hiện phân tích bài
toán dạng ba chiều với các thông số vật liệu từ Bảng 1
được mô tả cụ thể thông qua các ma trận vật liệu [C],
Hình 1: Mô hình hình học và điều kiện biên bài toán
Bảng 1: Thông Số Vật Liệu Bài Toán
Thông số
Vật liệu
Ti-6AL-
4V
Al2O3 PZT-
G1995N
E(Gpa) 105,7 320,24 63
v 0,2981 0,26 0,3
G(Gpa) - - 24,2
d31(m/V) - - 254x1012
d32(m/V) - - 254x1012
P11(F/m) - - 15,3x109
P22(F/m) - - 15,3x109
P33(F/m) - - 15x109
[e],

eS

từ biểu thức (11) và (25) như sau:
[C] =266666664
13;57 syms
36;35 13;57
36;35 36;35 13;57
0 0 0 24;2
0 0 0 0 24;2
0 0 0 0 0 24;2
377777775
109 (Pa)
[e] =
264 0 0 0 0 0 2540 0 0 0 254 0
254 254 254 0 0 0
3751012 (m=V )
h
eS
i
=
26415;3 0 00 15;3 0
0 0 15
375109 (F=m)
Để chọn được mức lưới phù hợp cho bài toán, chúng
tôi tiến hành khảo sát giá trị chuyển vị theo phương z
tại điểm có tọa độ x = 0,4m, y = 0,2mvà z = 0 ,0026m
ở các mức lưới như nhau và có bậc lưới lần lượt là bậc
2, bậc 3 và bậc 4 tại n = 0. Hình 2 mô tả tốc độ hội tụ
của lưới IGA bậc 2, bậc 3, bậc 4 so với kết quả chuyển
vị theo phương z của bài báo4. Bảng 2 mô tả kết quả
của chuyển vị theo phương z (Uz) và sai số (%) tại vị
trí khảo sát ứng với nhiều mô hình lưới khác nhau so
với giá trịUz = -2,560x104 m được tham khảo trong
tài liệu4. Từ Hình 2 cho ta thấy rằng, lưới bậc 4 có
SI66
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Kĩ thuật và Công nghệ, 2(SI2):SI63-SI73
tốc độ hội tụ tốt nhất vì với một số lượng bậc tự do
như nhau nhưng vẫn cho được kết quả gần nghiệm
tham khảo hơn rất nhiều so với lưới bậc 2 và 3. Với
số lượng bậc tự do và bậc xấp xỉ phù hợp, khối lượng
tính toán của bài toán sẽ giảm đi đáng kể. Đây là ưu
điểm của IGAmang lại, vừa linh động trong việc dùng
bậc xấp xỉ, vừa linh động trong việc kiểm soát độ mịn
của lưới nhằm thu được lời giải xấp xỉ tốt. Vì thế, ở
những phân tích sau, mô hình IGA bậc 4 vớimức lưới
12x12x2 sẽ được sử dụng để đảm bảo được lời giải xấp
xỉ chính xác với mức lưới phù hợp.
Kết quả phân bố chuyển vị theo phương z ứng với n
= 0,5 khi sử phân tích đẳng hình học được biểu diễn
trong Hình 3. Hình 4 là kết quả so sánh với lời giải
tham khảo từ bài báo 4 ứng với các sốmũ n khác nhau
của hàm phân bố vật liệu FGM lần lượt là 0 (Ti–6Al–
4V); 0,2; 0,5; 1; 5; 15; ¥ (Al2O3). Qua kết quả Hình 4
cho ta thấy rằng, kết quả thu được từ phân tích đẳng
hình học cho kết quả chính xác khi so sánh với kết
quả tham khảo từ bài báo4. Ở kết quả này, điện thế
chưa được áp đặt lên phần tử áp điện. Vì thế, ở phần
tiếp theo của bài toán, điện thế sẽ được áp đặt lên các
tấm áp điện nhằm khảo sát ảnh hưởng của phần tử áp
điện lên biến dạng của kết cấu.
Tiếp theo kết quả trên, chúng tôi tiến hành khảo sát
trường hợp các lớp vật liệu áp điện được xem như cơ
cấu chấp hành (actuator) bằng cách áp điện lên tấm áp
điện. Mô hình hình học của bài toán được sử dụng lại
với quy luật phân bố hàmmũ n = 0; 0,5; 5;¥. Tấm vẫn
chịu tải trọng phân bố đều 100 N/m2 và lớp trên được
áp điện phân cực thuận, lớp dưới được áp điện phân
cực ngược trong hai trường hợp điện áp khác nhau là
20V và 40V để khảo sát ảnh hưởng của điện áp đến
độ võng của tấm. Tấm áp điện trên được áp điện thế
phân cực thuận bằng cách đặt trực tiếp lên bậc tự do
điện thế tại các điểm điều khiển ở mặt tiếp xúc với
lớp giữa là 0V và mặt trên ngoài cùng là 20V và 40V.
Ngược lại, tấm áp điện dưới được áp điện thế phân cực
ngược bằng cách đặt trực tiếp lên bậc tự do điện thế
tại các điểm điều khiển ở mặt tiếp xúc với lớp giữa là
0V và mặt trên ngoài cùng là 20V và 40V. Hình 5 mô
tả chuyển vị theo phương z với nhiều quy luật phân
bố vật liệu khác nhau tuân theo quy luật hàm lũy thừa
lần lượt là n = 0; 0,5; 5;¥ ứng với các trường hợp của
điện thế được áp vào là 0V, 20V và 40V. Bảng 3 mô
tả kết quả của chuyển vị theo phương z tại điểm (0,4;
0,2; 0,0026) cùng với sai số giữa phân tích đẳng hình
học (IGA) so với kết quả từ tài liệu4. Kết quả Hình 5
cho thấy rằng, tấm FGMứng với các quy luật phân bố
vật liệu khác nhau với các tấm dán áp điện được áp
đặt điện áp càng cao thì chuyển vị của tấm càng giảm
đáng kể. Điều này chứng tỏ tấm dáng áp điện có thể
làm giảm chuyển vị của kết cấu dạng tấm. Kết quả này
hứa hẹn cho việc ứng dụng của các tấm áp điện trong
các lĩnh vực công nghiệp nhằm hạn chế độ võng của
các kết cấu.
Bảng 3: Kết quả chuyển vị theo phương z ứngvới điện
áp 0v, 20v tại điểm (0,4; 0,2; 0,0026) (đv: 1x104 m)
Số mũ n 0V 20V
n = 0 -2,5460 4 -1,3346 4
-2,4974 [IGA] -1,3163 [IGA]
Sai số (%) 1,9088 1,3923
n = 0,5 -1,6199 4 -0,8440 4
-1,5977 [IGA] -0,8328 [IGA]
Sai số (%) 1,3716 1,3495
n = 5 -1,1266 4 -0,5820 4
-1,1133 [IGA] -0,5745 [IGA]
Sai số (%) 1,1843 1,2990
n = ¥ -0,8947 4 -0,4609 4
-0,8870 [IGA] -0,4552 [IGA]
Sai số (%) 0,8566 1,2461
Sau cùng, chúng tôi tiến hành khảo sát độ võng theo
phương z tại điểm (0,4; 0,2; 0,0026) ứng với điều kiện
biên CFFF và điểm (0,2; 0,2; 0,0026) ứng với điều kiện
SCSC trong các trường hợp điện áp thay đổi từ 0 đến
60V được áp đặt lên các tấm áp điệnmà không kể đến
ảnh hưởng của lực phân bố lên kết cấu. Các kết quả
độ võng được trình bày ở Hình 6 ứng với hai loại điều
kiện biên khác nhau là CFFF và SCSC với quy luật
phân bố vật liệu n = 2. Kết quả này cũng được tiến
hành so sánh và cho ra kết quả tốt so với kết quả tham
khảo từ bài báo 4. Hình 7 là kết quả phân bố độ võng
theo phương z ứng với các loại điều kiện biên như
CFFF và SCSC với điện áp 60V được đặt lên các tấm
áp điện ứng với quy luật phân bố vật liệu n = 2. Kết
quả độ võng theo phương z ứng với nhiều giá trị n =
0; 0,5; 5;¥ của điểm (0,4; 0,2; 0,0026) được biểu diễn
ở Hình 8 a và điểm (0,2; 0,2; 0,0026) được biểu diễn ở
Hình 8 b. Qua các kết quả ở Hình 8 a và Hình 8 b chỉ
ra rằng, độ võng của tấm phụ có quan hệ tuyến tính
với điện áp được áp đặt vào các tấm áp điện phù hợp
với các kết luận từ bài báo 4.
KẾT LUẬN
Phân tích đẳng hình học dựa vào hàm cơ sở NURBS
là công cụ tính toán hiệu quả cho việc phân tích tĩnh
cho mô hình vật liệu phân lớp chức năng (FGM) có
phần tử áp điện. Qua những kết quả được trình bày
ở phần trước, nhóm tác giả nhận thấy rằng IGA là
SI67
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Kĩ thuật và Công nghệ, 2(SI2):SI63-SI73
Bảng 2: Kết quả chuyển vị theo phương z tương ứng với từngmức lưới tại điểm (0,4; 0,2; 0,0026)
Phương pháp Mật độ lưới Bậc tự do Uz
(x104 m)
Sai số (%)
Bậc 2 - IGA 3x3x2 1200 -1,8463 27,5
5x5x2 2352 -2,1500 15,6
7x7x2 3888 - 2,3469 7,8
9x9x2 5808 -2,4223 4,9
12x12x2 9408 -2,4516 3,7
18x18x2 14400 -2,4810 2,6
25x25x2 22500 -2,4928 2,1
Bậc 3 - IGA 3x3x2 2160 -2,4100 5,3
5x5x2 3840 -2,4400 4,2
7x7x2 6000 -2,4611 3,3
9x9x2 8640 -2,4741 2,8
12x12x2 13500 -2,4920 2,1
Bậc 4 - IGA 3x3x2 3528 -2,4208 4,9
5x5x2 5832 -2,4711 2,9
7x7x2 8712 -2,5057 1,6
9x9x2 12168 -2,5253 0,8
12x12x2 15360 -2,4974 1,9
Hình 2: Tốc độ hội tụ chuyển vị theo phương z của bài toán ứng với các mô hình lưới khác nhau.
SI68
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Kĩ thuật và Công nghệ, 2(SI2):SI63-SI73
Hình 3: Kết quả chuyển vị theo phương z tại n = 0,5
Hình 4: Đồ thị so sánh chuyển vị theo phương z tại n = 0; 0,2; 0,5; 1;5; 15;¥
SI69
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Kĩ thuật và Công nghệ, 2(SI2):SI63-SI73
Hình 5: Kết quả chuyển vị theo phương z tương ứng với (a) n = 0 (vật liệu hoàn toàn là Ti-6Al-4V); (b) n = 0,5; (c) n
= 5; (d) n =¥ (vật liệu hoàn toàn là Al2O3)
phương pháp hiệu quả dùng để xấp xỉ bài toán có tấm
áp điện. Do IGA dùng hình học NURBS làm hàm cơ
sở nên sự liên tục giữa các phần tử là bậc cao giúp
bài toán có nghiệm xấp xỉ tốt với mức lưới phù hợp.
Điều này giúp tiết kiệm tài nguyên tính toán và tăng
độ chính xác của lời giải khi so với những phương
pháp số truyền thống khác. Qua phân tích tĩnh cho
mô hình vật liệu phân lớp chức năng có phần tử áp
điện sẽ tạo tiền đề để giải quyết bài toán điều khiển
chủ động cho các kết cấu làm từ vật liệu phân lớp
chức năng có tích hợp phần tử áp điện bằng cách định
nghĩa các lớp vật liệu áp điện lần lượt là actuator và
sensor.
LỜI CÁMƠN
Nghiên cứu được tài trợ bởi Trường Đại học Bách
Khoa, ĐHQG-HCM trong khuôn khổ Đề tài mã số
T-KHUD-2018-20
DANHMỤC TỪ VIẾT TẮT
IGA: Phân tích đẳng hình học – Isogeometric analysis
FGM: Vật liệu phân lớp chức năng - Functionally
graded material
NURBS: Hàm cơ sở Spline tỉ lệ không đồng nhất -
Non-uniform rational basis spline
CAD: thiết kế với hỗ trợ máy tính - Computer Aided
Design
FEA: phân tích phần tử hữu hạn - Finite Element
Analysis
FEM: phương pháp phần tử hữu hạn - Finite Element
Method
CPT: Lý thuyết tấm cổ điển - Classical Plate Theory
CSDSG: phương pháp hàm trơn rời rạc dựa trên ô -
Cell-based Smoothed Discrete Shear Gap
FSDT: lý thuyết cắt bậc nhất – First-Order Shear De-
formationTheory
CFFF: ngàm 1 cạnh và 3 cạnh tự do
SCSC: ngàm 2 cạnh và 2 cạnh tựa đơn
XUNGĐỘT LỢI ÍCH
Nhóm tác giả xin camđoan rằng không có bất kỳ xung
đột lợi ích nào trong công bố bài báo.
ĐÓNGGÓP CỦA TÁC GIẢ
NguyễnDuyKhương xây dựng dữ liệu và chạy kết quả
tính toán.
NguyễnMạnhTiến viết bản thảo và phân tích kết quả.
SI70
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Kĩ thuật và Công nghệ, 2(SI2):SI63-SI73
Hình 6: Đồ thị chuyển vị theo phương z tại n = 2
Hình 7: Kết quả chuyển vị theo phương z của (a) CFFF và (b) SCSC ứng với điện áp 60V và n = 2.
SI71
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Kĩ thuật và Công nghệ, 2(SI2):SI63-SI73
Hình 8: Kết quả chuyển vị theo phương z của tấm chịu điều kiện biên (a) CFFF tại điểm (0,4; 0,2; 0,0026) (m); (b)
SCSC tại điểm (0,2; 0,2; 0,0026) (m)
Nguyễn Xuân Hùng đóng góp ý tưởng khoa học cho
bài báo.
Vũ Công Hòa kiểm tra lại bài báo.
TÀI LIỆU THAMKHẢO
1. Hughes. Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS,
exact geometry and mesh refinement. Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering. 2005;194(39 - 41):4135–
4195. Available from: https://doi.org/10.1016/j.cma.2004.10.
008.
2. Koizumi M. FGM activities in Japan. Composites part B: Engi-
neering. 1997;28(1-2). Available from: https://doi.org/10.1016/
S1359-8368(96)00016-9.
3. He XQ, Ng TY, Sivashanker S, Liew KM. Active control of FGM
plates with integrated piezoelectric sensors and actuators. In-
ternational Journal of Solids and Structures. 2001;38(9):1641–
1655. Available from: https://doi.org/10.1016/S0020-7683(00)
00050-0.
4. Nguyen-Quang K, Dang-Trung H, Ho-Huu V, Luong-Van H,
Nguyen-Thoi T. Analysis and control of FGM plates inte-
grated with piezoelectric sensors and actuators using cell-
based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3). Com-
posite Structures. 2017;165:115–129. Available from: https:
//doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.01.006.
5. Alibeigloo. Static analysis of a functionally graded cylindrical
shell with piezoelectric layers as sensor and actuator. Smart
Materials and Structures. 2009;18(6):12. Available from: https:
//doi.org/10.1088/0964-1726/18/6/065004.
6. Cottrell JA, Hughes TJR, Bazilevs Y. Isogeometric Analysis To-
ward Integration of CAD and FEA. 2009;Available from: https:
//doi.org/10.1002/9780470749081.
SI72
Science & Technology Development Journal – Engineering and Technology, 2(SI2):SI63-SI73
Open Access Full Text Article Research Article
1Ho Chi Minh City University of
Technology, VNU-HCM
2Ho Chi Minh City University of
Technology
Correspondence
Nguyen Duy Khuong, Ho Chi Minh City
University of Technology, VNU-HCM
Email: ndkhuong@hcmut.edu.vn
History
 Received: 29-3-2019 
 Accepted: 14-5-2019 
 Published: 31-12-2019
DOI :10.32508/stdjet.v2iSI2.493 
Copyright
© VNU-HCM Press. This is an open-
access article distributed under the
terms of the Creative Commons
Attribution 4.0 International license.
An application of isogeometric analysis for active control the solid
functionally gradedmaterial plates with actuator patches using
piezoelectric material
Nguyen Duy Khuong1,*, NguyenManh Tien1, Nguyen Xuan Hung2, Vu Cong Hoa1
Use your smartphone to scan this
QR code and download this article
ABSTRACT
This paper applies isogeometric analysis (IGA) to simulate active control of the functionally graded
material (FGM) plates by using piezoelectric material patches. This control helps to reduce the de-
flection of the plate under the effect of static load, whichmakes the structuremore resistant to load-
ing. IGA is built on the non-uniform rational basis spline (NURBS) basic function with many advan-
tages such as: describing geometry exactly by approximating by higher order function and directly
using this function to approach procedure. Furthermore, NURBS geometry has mesh flexibility
and high continuity between elements, making the problem highly accurate. Three-dimensional
model for plate-like structure consists of upper and lower layers made of piezoelectric materials,
the middle layer is FGM. The obtained results will be verified with the published results to prove
the efficiency of the proposed method for this problem. Through the obtained results, it is shown
that IGA is used effectively for the active control problemby piezoelectric patches to reduce the dis-
placement of FGM plates. The efficiency shownwhen using a small number of degrees of freedom
but still ensuring the solution has accurate results when compared with the reference solution.
Key words: Isogeometric analysis, functionally graded material, piezoelectric
Cite this article : Khuong N D, Tien N M, Hung N X, Hoa V C. An application of isogeometric analysis 
for active control the solid functionally graded material plates with actuator patches using piezo-
electric material. Sci. Tech. Dev. J. – Engineering and Technology; 2(SI2):SI63-SI73.
SI73