Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT - Võ Công Trường

khác chứa trong MP đó. 
Cách 
2 
( )
( )
( ) ( )
d
d

 
 
 

 Chứng minh: ĐT này chứa 
trong MP song song với MP đó. 
3. Chứng minh 2 MP song song 
d'
d
α
d
β
α
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
50 
Cách 
1 
, ( )
' ( ) ( )
'
', ' ( )
a b
a b I
a a
b b
a b
 

 
  
 
 
 Chứng minh: MP này có 
chứa 2 ĐT cắt nhau lần lwutj 
song song 2 ĐT chứa trong MP 
kia. 
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 Mặt phẳng. 
 Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng Giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm chung 
đó. 
 
 
 
   
 
  
A
AB
B
 Cách 2: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong 2 mặt phẳng lần lượt có chưa 2 đường 
thẳng song song nhau Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song 2 đường thẳng đó. 
 ,
 
  
  
   

I
a b Ix Ix a b
a b
 Cách 3: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong mặt phẳng này có chưa 1 đường thẳng 
song song với mặt phẳng kia Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song đường thẳng đó. 
 
 

  
  

I
a Ix Ix a
a
Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng. 
 TH1: Nếu trong có sẵn chứa đường thẳng a cắt d tại I thì I là giao điểm của d và . 
  
  
 
a
d I
a d I
TH2: Nếu trong không có sẵn chứa đường thẳng a cắt d thì ta thực hiện như sau: 
 B1: Chọn mặt phẳng phụ  chứa d sao cho giao tuyến của và  dễ tìm. 
 B2: Tìm giao tuyến của và  . 
 B3: Trong  , tìm giao điểm I của và d I là giao điểm của d và . 

  
 
  
  
d
d I
d I
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi Mặt phẳng 
 Cách 1: Tìm tất cả các đoạn giao tuyến của với các mặt của hình chóp, lăng trụ Thiết diện là đa 
giác tạo bởi các đoạn giao tuyến đó. 
 Cách 2: Tìm tất cả các giao điểm của với các cạnh (nếu có) của hình chóp, lăng trụ Thiết diện là 
đa giác tạo bởi các giao điểm đó. 
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc. 
1. Chứng minh 2 ĐT vuông góc: 
a
b
a'
b'β
α
I
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
51 
Cách 
1 
( )
( )
d
d a
a
 
 
 
 Chứng minh: ĐT này vuông 
góc với MP chứa ĐT kia. 
Cách 
2 
d AB
d BC
d AC
 
 
 
 Chứng minh: ĐT này vuông 
góc 2 cạnh tam giác có cạnh còn 
lại nằm trên ĐT kia. 
2. Chứng minh ĐT vuông góc MP: 
Cách 
1 
;
( )
, ( )
d a d b
a b I d
a b
  
 
  
 Chứng minh: ĐT vuông góc 
với 2 ĐT cắt nhau cùng chứa 
trong MP. 
Cách 
2 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
 
 

 
  
 
  
  
d
d
 Nếu 2 MP vuông góc nhau thì 
bất kì ĐT nào nằm trong MP này 
và vuông góc với giao tuyến 2 
MP sẽ vuông góc MP kia. 
Cách 
3 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
d
d
 
  
 
 
 
  
 2 MP phân biệt cùng vuông 
góc MP thứ 3 thì giao tuyến của 
2 MP đó (nếu có) sẽ vuông góc 
MP thứ 3 đó. 
3. Chứng minh 2 MP vuông góc: 
Cách 
1 
( )
( ) ( )
( )

 
  
 
  
 Chứng minh: MP này có chứa 
1 ĐT vuông góc MP kia. 
Cách 
2 
,
,

 
 
   
 
 
  
a b
a b I
a b
 Chứng minh MP này chứa 1 
ĐT vuông góc với 2 ĐT cắt nhau 
chứa trong MP kia. 
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên Mặt phẳng 
 Định nghĩa: H là hình chiếu của M lên MH tại H. 
TH1: Có ĐT đi 
qua điểm M và vuông 
góc mp tại H H 
là hình chiếu của M 
lên 
TH2: Chưa có sẵn ĐT như TH1. 
 Tìm mp  qua M và   
 Tìm d   
 Vẽ MH d tại H 
 ( )MH  tại H 
 H là hình chiếu của M lên . 
a
d
α
d
C
B
A
a
b
d
α
I
d

d



b a

M
H d

H
M
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
52 
Dạng 3: Tính góc. 
1. Góc giữa 2 ĐT cắt nhau 
ĐN: Là góc có số đo nhỏ nhất 
(góc nhọn) trong 4 góc tạo 
thành. 
2. Góc giữa 2 ĐT bất kì 
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng 
cắt nhau lần lượt song song với 
2 đường thẳng đó. 
'
; '; '
'

 

a a
a b a b
b b
3. Góc giữa ĐT và MP 
ĐN: Là góc giữa đường thẳng 
với hình chiếu của nó trên mặt 
phẳng. 
 ( ( )), , ’dd d 
(với d’ là hình chiếu của d lên 
 )) 
Lấy , A B d 
Tìm ', 'A B lần lượt là hình chiếu của ,A B 
lên 
 d’ (A’B’) là hình chiếu của d lên 
 ( ( )), , ’dd d 
Đặc biệt: Nếu d cắt tại I thì: 
 ,
 taïi 
  
 
 
AI I
AI AIH
AH H
4. Góc giữa 2 MP 
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng 
lần lượt vuông góc với 2 mặt 
phẳng đó. 
(( ), ( )) ( , )
 

  
 
 
a
a b
b
Cách xác định thường dùng: Góc giữa hai 
MP bằng góc giữa 2 ĐT lần lượt chứa trong 2 
MP và cùng vuông góc với giao tuyến của 2 
MP đó. 
 ; , ,
; 
d
a b a b
a d b d
 
  
 
  
  
Cách xác định khác: 
;
, ,
d d
a a b
b
  
 
 
  
 
 
Dạng 4: Tính khoảng cách. 
1. Khoảng cách từ 1 Điểm đến MP 
ĐN: Là khoảng 
cách từ điểm đó 
đến hình chiếu của 
nó lên mặt phẳng. 
Tìm H là hình chiếu của A lên ( ). 
Khi đó: 
( ( ), )d A AH 
2. Khoảng cách giữa ĐT và MP song song 
ĐN: Là khoảng 
cách từ 1 điểm bất 
kì thuộc đường 
thẳng đến mặt 
phẳng. 
Lấy A . 
Khi đó: 
( ( )) ( ), , ( ) d d A 
3. Khoảng cách giữa 2 MP song song 
b
a
I
b'
a'
b
a
I
d
d'
A'
B
A
B'
d
d'
H
I
A
a
b

d
b
a

I
d
a
b
γ

M
H
Δ
H
A
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
53 
ĐN: là khoảng 
cách từ 1 điểm bất 
kì thuộc mặt phẳng 
này đến mặt phẳng 
kia. 
Lấy A . 
Khi đó: 
(( ) ( )) ( , ), ( )d d A   
4. Khoảng cách giữa 2 ĐT chéo nhau 
ĐN: Là độ dài 
đoạn vuông góc 
chung của 2 ĐT 
đó. 
Tìm ĐT cùng vuông góc a tại M và vuông 
góc với b tại N. Khi đó: 
 taïi 
 taïi 
  
 
  
,
a M
d a b MN
b N
 Cách khác: 
 
 
 
, ,
/ /
a
d a b d b
b
 
 
 
  
 
 
,
, ,
/ /
a b
d a b d 
 ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 
 d , d ,AB A B 
d ,
d ,
A AI
AB I
BIB
 
β
α
A
H
b
a
Δ
N
M
b
a
a
b
α
β
A
H
B
K
K
B
I
H
A
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
54 
SƠ ĐỒ TƯ DUY 
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
55 
Tìm khoảng đơn 
điệu (Đồng biến, 
nghịch biến)
Lập Bảng biến thiên
Xác định khoảng đơn 
điệu
Tìm m để HS 
đơn điệu trên 
TXĐ
HS bậc 3 ĐB (NB) trên ℝ
TH1: 
𝑎 > 0 𝑎 < 0
Δ′𝑦′ = 𝑏
2 − 3𝑎𝑐 ≤ 0
TH2: 
𝑎 = 𝑏 = 0
𝑐 > 0 𝑐 < 0
HS nhất biến ĐB (NB) trên 
từng khoảng XĐ
𝑦′ =
𝑎𝑑−𝑏𝑐
(𝑐𝑥+𝑑)2
> 0 (𝑦′ < 0)
Tìm m để HS đơn 
điệu trên khoảng 
K
TH1: HS đơn điệu trên ℝ
(Nếu là HS bậc lẻ,...)
TH2: HS không đơn 
điệu trên ℝ
B1: Lập Bảng biến thiên
B2: Đặt khoảng K vào vị trí 
thỏa mãn chiều biến thiên
B3: Lập Điều kiện Giải
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
56 
CỰC TRỊ
Tìm cực trị, điểm cực trị Lập Bảng biến thiên
Tìm m để HS đạt CĐ (CT) 
tại điểm x0
𝑦′ 𝑥0 = 0
𝑦" 𝑥0 0)
.
Tìm m để HS đạt CĐ (CT) bằng y0 
𝑦 𝑥0 = 0
𝑦′ 𝑥0 = 0
𝑦" 𝑥0 0)
.
Tìm m để 
HS có n
điểm cực trị
HS bậc 3
Có 2 điểm cực trị ∆′𝑦′= 𝑏
2 − 3𝑎𝑐 > 0.
Không có cực trị 
𝑎 = 𝑏 = 0
∆′𝑦′= 𝑏
2 − 3𝑎𝑐 ≤ 0.
HS bậc 4 
trùng phương
Có 3 điểm cực trị 𝑎. 𝑏 < 0.
Có 1 điểm cực trị 
𝑎. 𝑏 ≥ 0
𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0
.
PTTT của ĐTHS 𝐶 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 
𝑀(𝑥0; 𝑦0) có dạng:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑘 𝑥 − 𝑥0 (*)
Theo giả thiết Tính:
Hoành độ tiếp điểm: 𝑥0
Tung độ tiếp điểm: 𝑦0 = 𝑦 𝑥0
Hệ số góc của TT: 𝑘 = 𝑦′(𝑥0)
Thay vào PT (*) 
 Kết quả
PTTT của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 và trục tung 𝑥0 = 0
PTTT của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 và trục hoành 𝑦0 = 0
ĐT 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 hệ số góc 𝒌 = 𝒂; ĐT 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 hệ số góc 𝒌 =
−𝒂
𝒃
2 ĐT song song thì hệ số góc bằng nhau; 2 ĐT vuông góc khi tích hệ số góc bằng −𝟏
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
57 
GTLN 
GTNN
Trên đoạn 𝑎; 𝑏
B1: Tìm nghiệm 𝑥𝑖 ∈ 𝑎; 𝑏 của PT 𝑦
′ = 0
B2: Tính 𝑦 𝑎 , 𝑦 𝑏 , 𝑦(𝑥𝑖)
B3: Chọn GTLN, GTNN
Trên khoảng, nửa 
khoảng K
 Lập Bảng biến thiên 
 So sánh CĐ, CT, giá trị hàm số tại đầu ngoặc vuông
Tìm m để HS đạt 
GTLN-NN trên K
B1: Lập Bảng biến thiên
B2: Đặt khoảng K vào vị trí sao cho HS có GTLN-NN
B3: Lập Điều kiện Giải
TIỆM 
CẬN
Tìm đường 
tiệm cận
TCN
Tính giới 
hạn tại vô 
cực
lim
𝑥→∞
𝑦 = 𝑦0. TCN: y = 𝑦0
lim
𝑥→∞
𝑦 = ∞. Không có TCN
TCĐ
Tính giới hạn 
tại 𝑥0 (nghiệm 
Mẫu)
lim
𝑥→𝑥0
𝑦 = ∞. TCĐ: 𝑥 = 𝑥0
lim
𝑥→𝑥0
𝑦 = 𝑦0. Không có TCĐ 𝑥 = 𝑥0
Hàm hữu tỷ
(Đa thức/Đa thức)
Bậc Tử > Bậc Mẫu Không có TCN
Bậc Tử = Bậc Mẫu TCN: 𝑦 =
𝑎𝑇
𝑎𝑀
Bậc Tử < Bậc Mẫu TCN: 𝑦 = 0
Mẫu có nghiệm 𝑥0 (không trùng nghiệm Tử) TCĐ: 𝑥 = 𝑥0
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
58 
SỰ 
TƯƠNG 
GIAO
TƯƠNG GIAO 
THUẬN:
Cho 2 đường
𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑦 =
𝑔(𝑥)
 Hỏi về điểm 
chung (giao 
điểm),cắt, tiếp 
xúc,...
Tìm giao 
điểm
Lập PTTG: 
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
Giải PT Tìm hoành độ giao điểm 𝑥
 Thay vào 𝑦 = 𝑓 𝑥 hay 𝑦 = 𝑔 𝑥
 Tính tung độ giao điểm
Tìm m
thỏa 
ĐK....
Lập PTTG: 
𝑓 𝑥,𝑚 = 𝑔(𝑥,𝑚) (1)
 Biến đổi về PT đa 
thức (2)
Nếu 
PT(2) 
là PT 
bậc 2
Từ YCBT Lập MĐề 
thỏa ĐK nghiệm PT(1) 
 MĐề thỏa ĐK nghiệm 
PT(2)
Giải MĐ ĐK 
 Tìm m
Nếu 
PT(2) 
là PT 
bậc 3
Biến đổi PT(2) thành PT: 
𝑥 − 𝑥0 𝐴𝑥
2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
𝑥 = 𝑥0
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 (3)
Từ YCBT 
 Lập MĐề 
thỏa ĐK 
nghiệm PT(1) 
 MĐề thỏa 
ĐK nghiệm 
PT(3)
Giải 
MĐ ĐK 
 Tìm 
m
Nếu 
PT(2) là 
PT bậc 4 
trùng 
phương
Đặt 𝑡 = 𝑥2 (𝑡 ≥ 0). 
Ta được PT:
𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0 (3)
Từ YCBT
 Lập MĐề 
thỏa ĐK nghiệm 
PT(1) MĐề 
thỏa ĐK nghiệm 
PT(3)
Giải 
MĐ ĐK 
 Tìm 
m
ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO: 
(DÙNG ĐỒ THỊ)
Cho PT 𝐹 𝑥,𝑚 = 0 và đồ thị HS 𝑦 = 𝑓(𝑥)
 Hỏi về nghiệm
Biến đổi PT:
𝐹 𝑥,𝑚 = 0
⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑚)
Vẽ ĐT 𝑦 = 𝑔(𝑚) (nằm ngang) ở vị 
trí thỏa mãn YCBT 
 Lập ĐK, giải tìm m.
Số nghiệm PTTG bằng số điểm chung của 2 đường
Nghiệm đơn  Cắt 
Nghiệm kép  Tiếp xúc
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
59 
HS 𝑦 = 𝑢𝛼
𝛼 nguyên dương Với mọi 𝑢
𝛼 nguyên không dương 𝑢 ≠ 0
𝛼 không nguyên 𝑢 > 0
HS 𝑦 = 𝑎𝑢 0 < 𝑎 ≠ 1
HS 𝑦 = log𝑎 𝑢 
0 < 𝑎 ≠ 1
𝑢 > 0
HS 𝑦 = 𝑥𝛼
Xét trên (0;+∞)
𝛼 < 0 Nghịch biến
𝛼 = 0 Không đổi 
𝛼 > 0 Đồng biến
HS 𝑦 = 𝑎𝑥
TXĐ: ℝ
0 < 𝑎 ≠ 1 Nghịch biến
𝑎 > 1 Đồng biến
HS 𝑦 = log𝑎 𝑥
TXĐ: (0;+∞)
0 < 𝑎 ≠ 1 Nghịch biến
𝑎 > 1 Đồng biến
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
60 
PT 
MŨ
PT cơ bản 𝑎
𝑢 = 𝑏 ⇔ 𝑢 = log𝑎 𝑏
Cùng cơ số 𝑎
𝑢 = 𝑎𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣
Cùng mũ 𝑚. 𝑎𝑢 = 𝑛. 𝑏𝑢 ⇔
𝑎
𝑏
𝑢
=
𝑛
𝑚
Đưa về PT 
bậc 2, 3,... 
đối với 1 HS 
mũ 
(Đặt ẩn phụ)
Mũ bội:
𝑚. 𝑎2𝑢 + 𝑛. 𝑎𝑢 +𝑝 = 0.
→ Đặt 𝑡 = 𝑎𝑢 > 0
→ 𝑚. 𝑡2 + 𝑛. 𝑡 + 𝑝 = 0
Mũ đối:
𝑚. 𝑎−𝑢 + 𝑛. 𝑎𝑢 +𝑝 = 0.
→ 𝑎−𝑢 =
1
𝑎𝑢
→ Quy đồng khử mẫu 
→ Đặt 𝑡 = 𝑎𝑢 > 0
→ 𝑛. 𝑡2 + 𝑝. 𝑡 + 𝑚 = 0
Cơ số nghịch đảo:
𝑚. 𝑎𝑢 + 𝑛. 𝑏𝑢 +𝑝 = 0
(𝑎. 𝑏 = 1).
→ 𝑏𝑢 =
1
𝑎𝑢
→ Quy đồng khử mẫu 
→ Đặt 𝑡 = 𝑎𝑢 > 0
→ 𝑚. 𝑡2 + 𝑝. 𝑡 + 𝑛 = 0
Cơ số lập thành CSN:
𝑚. 𝑎𝑢 + 𝑛. 𝑏𝑢 +𝑝. 𝑐𝑢 = 0
(𝑎. 𝑐 = 𝑏2).
→ Chia 2 vế cho 𝑐𝑢 (hay 𝑎𝑢) → Thu gọn
→ Đặt 𝑡 =
𝑏
𝑐
𝑢
> 0
→ 𝑚. 𝑡2 + 𝑛. 𝑡 + 𝑝 = 0
Logarit hóa 𝑚. 𝑎𝑢 = 𝑛. 𝑏𝑣 ⇔ 𝑚. 𝑢 = 𝑛. 𝑣 log𝑎 𝑏 (u,v có nhân tử chung)
Dùng tính đơn điệu
𝑚. 𝑎𝑢 = 𝑛. 𝑏𝑣
(u,v không có nhân tử chung).
Đón 1 nghiệm và dùng tính đơn 
điệu chứng tỏ nghiệm duy nhất
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
61 
log𝑎 𝑢 = 𝑏 ⇔ 𝑢 = 𝑎
𝑏
log𝑎 𝑢 = log𝑎 𝑣 ⇔ 
𝑢 > 0 hay 𝑣 > 0
𝑢 = 𝑣
𝑚. log𝑎
2𝑢 + 𝑛. log𝑎 𝑢 + 𝑝 = 0
 ĐKXĐ: 𝑢 > 0
 Đặt 𝑡 = log𝑎 𝑢
 𝑚. 𝑡2 + 𝑛. 𝑡 + 𝑝 = 0
𝑚. log𝑎
⬚𝑢 + 𝑛. log𝑢 𝑎 + 𝑝 = 0
 ĐKXĐ: 0 < 𝑢 ≠ 1
 Đặt 𝑡 = log𝑎 𝑢
 𝑚. 𝑡2 + 𝑝. 𝑡 + 𝑛 = 0
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
62 
Xác định 
yếu tố
𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0.
Điểm đi qua:
𝑀 𝑥0; 𝑦0; 𝑧0
VTPT:
𝑛 = 𝐴;𝐵; 𝐶
Vec-tơ có giá 
vuông góc MP
Tích có hướng 2 
vec-tơ có giá 
song song (chứa 
trong ) MP
Xác định 
hệ số
𝛼 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
(*)
Dùng giả thiết xác 
định 4 hệ số A, B, C, 
D
𝛼 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 1 (**)
(Không qua O)
Dùng giả thiết xác 
định 3 hệ số a, b, c 
ĐT
Xác định 
yếu tố
∆ : 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1. 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑎2. 𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑎3. 𝑡
.
Điểm đi qua:
𝑀 𝑥0; 𝑦0; 𝑧0
VTCP:
 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3
Vec-tơ có giá song song 
(trùng) ĐT
Tích có hướng 2 vec-tơ có giá 
vuông góc ĐT
Xác định 
yếu tố
𝑆 : 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 + 𝑧 − 𝑐 2 = 𝑅2.
Tâm I 𝑎; 𝑏; 𝑐
Bán kính R
Xác định 
hệ số
𝑆 : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
Dùng giả thiết 
xác định 4 hệ số 
a, b, c, d.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
63 
Xét 
hệ số của 
PTMP
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
≠
𝐷1
𝐷2
Song song
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
=
𝐷1
𝐷2
Trùng
𝐴1; 𝐵1; 𝐶1 ≠ 𝑘 𝐴2; 𝐵2; 𝐶2 Cắt
Xét 
Hệ PT tương giao
Vô số nghiệm Trùng
Có 1 nghiệm (t;t') Cắt
Vô nghiệm
2 VTCP cùng phương Song song
2 VTCP không cùng phương Chéo nhau
Xét 
PT tương giao
Vô số nghiệm Trùng
Có 1 nghiệm Cắt
Vô nghiệm Song song
Xét 
PT tương giao
Có 2 nghiệm (Pb) Cắt tại 2 điểm
Có 1 nghiệm (Kép) Tiếp xúc tại 1 điểm
Vô nghiệm Không cắt
Xét
Khoảng cách từ Tâm MC đến 
MP
> R Không cắt
= R Tiếp xúc
< R Cắt theo 1 đường tròn 
Xét 
Khoảng cách giữa 2 Tâm của 2 
MC
> R + R' Không cắt
= R + R' Tiếp xúc ngoài 
< R + R' Cắt theo 1 đường tròn 
= |R - R'| Tiếp xúc trong
< |R - R'| Trong nhau
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
64 
Giữa 
2 Điểm
𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 2 + 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 2 + 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 2
Từ Điểm 
đến MP
𝑑 𝑀; 𝛼 =
𝐴. 𝑥𝑀 +𝐵. 𝑦𝑀 +𝐶. 𝑧𝑀 +𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
Từ 
Điểm 
đến ĐT
Tìm H là hình chiếu của M lên ĐT d 𝑀; Δ = 𝑀𝐻
d 𝑀; Δ =
𝐴𝑀. 𝑎Δ
𝑎Δ
, 𝐴 ∈ Δ
Giữa 2 MP 
song song
Bằng khoảng cách Từ 1 Điểm 
trên MP này đến MP kia
d 𝛼 ; (𝛽) = d 𝐴; (𝛽) 𝐴 ∈ 𝛼
Giữa 
ĐT và MP 
song song
Bằng khoảng cách Từ 1 Điểm 
trên ĐT đến MP
d Δ; 𝛼 = d 𝐴; (𝛼) 𝐴 ∈ Δ
Giữa 
2 ĐT
Song song
Bằng khoảng cách Từ 1 
Điểm trên ĐT này đến ĐT 
kia
d Δ; Δ′ = d 𝐴; Δ′ 𝐴 ∈ Δ
Chéo 
nhau
d Δ; Δ′ =
𝐴𝐴′. 𝑎Δ ∧ 𝑎Δ′
𝑎Δ ∧ 𝑎Δ′
, 𝐴 ∈ Δ, 𝐴′ ∈ Δ′
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 
65 
𝑐𝑜𝑠 𝐴𝐵𝐶 =
𝐵𝐴. 𝐵𝐶
𝐵𝐴 . 𝐵𝐶
𝑐𝑜𝑠 𝑎; 𝑏 =
 𝑎. 𝑏
 𝑎 . 𝑏
𝑐𝑜𝑠 𝛼 ; 𝛽 =
𝑛𝛼 . 𝑛𝛽
𝑛𝛼 . 𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝑑; 𝑑′ =
 𝑎. 𝑎′
 𝑎 . 𝑎′
𝑐𝑜𝑠 𝑑; 𝛼 =
 𝑎. 𝑛𝛼
 𝑎 . 𝑛𝛼