Giáo trình Lý thuyết mạch

 = 0,28H và C = 3,57 μF 
có điện áp ban đầu trên tụ V0 = 50V. Xác định biểu thức điện áp khi đóng 
chuyển mạch vào t = 0. 
Ta có: 7002/1 RC ; 52 10.9,4 ; 620 10/1 LC 
Khi α < ω0 , mạch điện có đáp ứng là dao động tắt dần. 
 71410.9,410 56220 d 
Tại t = 0, V0 = 50; khi đó A1 = V0 = 50 từ phương trình định luật 
Kirchhoff về dòng cho nút. 
 0
1
0
dt
dv
Cvdt
LR
v t
 → 0
0
1
V
RCdt
dv
t
Lấy đạo hàm biểu thức điện áp tại t = 0: 
 12
0
AA
dt
dv
d
t
  
 → 012
1
V
RC
AAd  
Thay A1 = 50 → 49
)/( 00
2 
d
VRCV
A

Vậy: )714sin49714cos50(700 ttev t 
Trường hợp tắt dần ở giới hạn ngưỡng không được xét cho mạch RLC 
song song do có thông số quá nhỏ hoặc không có trong thực tế thiết kế. Thậm 
chí có thể lấy các hằng số của đáp ứng ở giới hạn dao động cho trường hợp này. 
5.3.3. Mạch điện có hai vòng mắt lưới 
Những phân tích đáp ứng của mạch điện cho trường hợp hai vòng mắt 
lưới, gồm hai phần tử tích trữ điện năng, có dạng phương trình vi phân dưới đây. 
Hình 5–29 
Như trong hình 5–29, chọn 2 vòng với các dòng i1 và i2, áp dụng định 
luật Kirchhoff về áp, ta có hai phương trình vi phân bậc 1: 
 ViR
dt
di
LiR 21
1
111 (5–21) 
 V
dt
di
LiRRiR 2222111 )( (5–22) 
Hai phương trình này cần phải giải đồng thời (hệ phương trình vi phân), 
để thực hiện ta lấy đạo hàm một trong hai phương trình và thế phương trình còn 
lại được phương trình bậc hai. Ở đây ta lấy đạo hàm phương trình thứ nhất 
 0212
1
2
1
1
1 
dt
di
R
dt
id
L
dt
di
R (5–23) 
Khử i2 và di2/dt từ các phương trình trên ta thu được: 
 V
LL
R
i
LL
RR
dt
di
LL
LRLRLR
dt
id
21
2
1
21
211
21
2112111
2
 (5–24) 
Trạng thái ổn định trong lời giải của phương trình (5–24) là điều kiện 
1/)( RVi ; Quá trình quá độ được xác định bằng các nghiệm s1 và s2 của 
phương trình: 
 0
21
21
21
2112112 
LL
RR
s
LL
LRLRLR
s 
Và điều kiện ban đầu: 0)0( i ; 
10
1
L
V
dt
di
t
(Cả hai dòng điện i1 và i2 cần phải liên tục tại t = 0). Biểu thức dành cho i1 
đã biết, biểu thức dành cho i2 có thể suy ra từ (5–21). 
Ở đây cần có hệ số tắt dần đảm bảo quá trình quá độ kết thúc. Phụ thuộc 
vào các hằng số quá trình quá độ có thể là tắt dần dưới ngưỡng hoặc tắt dần trên 
ngưỡng (dao động). Tổng quát, dòng điện trong mạch được biểu diễn theo biểu 
thức sau: 
 i = (quá độ) + 
1R
V
Quá độ có giá trị bằng 1/ RV khi t = 0 và bằng không khi t = ∞. 
5.4. Quá độ của mạch điện trong miền tần số 
5.4.1. Tần số phức 
 Các mạch điện đã xét trước đây, hàm biểu diễn nguồn là hằng số (ví dụ, 
V = 50V), còn các nguồn có dạng hàm sin (ví dụ, )30500sin(100 otv V), 
hoặc hàm mũ (ví dụ, tev 510 V) chưa được xét đến. Trong phần này, ta làm 
quen với tần số phức, nếu dùng biểu diễn các hàm trên sẽ có nhiều đơn giản khi 
phân tích mạch bao gồm cả quá trình quá độ và trạng thái ổn định. 
Biểu diễn hàm mũ bằng hàm sin và cos tương đương: 
 )sin()cos()(    tjte tj 
Ta thấy: )(Re)cos(   tjet và để đơn giản Re được thay bằng hằng 
số A và hệ số te . 
 )cos(
)(   tAeeAe ttjt 
 stjtjjtjt eAeeAeeAe   )()( trong đó  j s 
Tần số phức  j s có đơn vị là s–1 và ω như đã biết có đơn vị rad/s. 
Như vậy đơn vị của σ cũng phải là s–1. Và để phân biệt σ được gọi là tần số 
Neper với đơn vị Np/s. Nếu cả σ và ω đều khác không, hàm số là hàm cos tắt 
dần. Nếu σ và ω bằng không, hàm có giá trị là hằng số. Cuối cùng nếu ω = 0 và 
σ khác không, giá trị của hàm là suy giảm theo hàm mũ. Chỉ có các giá trị âm 
của σ mới đáng xem xét. 
Bảng 5–4: Một số hàm với giá trị  j s và cho biểu thức stAe . 
f (t) s A 
te 510 j 5 10 
)30500cos(5 ot 5000 j 5 
)45100cos(2 3 ot te 1003 j 2 
100 00 j 100 
Trong hình 5–30, ta xét biến thiên của hàm với các giá trị của s, khi thay 
đổi s dạng sóng của hàm số khác biệt nhiều. Nếu σ = 0, lúc này không có hiện 
tượng tắt dần, hàm khảo sát trở thành hàm cos với biên độ ± Vm (không thể hiện 
trên đồ thị). Nếu ω = 0, hàm mũ suy giảm với giá trị ban đầu là ± Vm . Nếu cả σ 
và ω đều khác không ta được hàm cos tắt dần. 
Hình 5–30 
5.4.2. Trở kháng tổng quát của mạch RLC trong miền tần số s 
Các nguồn áp stmeVv cho mạch thụ động (mạch điện chỉ gồm các phần 
tử thụ động) sẽ có dòng điện trên các nhánh và điện áp trên các phần tử. Dòng 
và áp sẽ cùng là hàm thời gian theo tes (như, tja eeI
s
 và 
tj
a eeV
s ). Do đó để 
xác định được dòng và áp chỉ cần xác định độ lớn và góc pha của chúng. Bằng 
cách này ta đã chuyển từ miền thời gian sang miền tần số (hình 5–31). 
 Hình 5–31 
Xét mạch gồm RL nối tiếp với nguồn áp stjm eeVv
 sẽ có dòng điện 
được biển diễn theo biểu thức stjm eeIi
 = Im
tes , nếu thay vào phương trình 
mạch điện 
 tjm eeV
dt
di
LRi s 
Ta được phương trình sau: 
 tjm
t
m
t
m eeVeLIeRI
sss
s
 → 
LR
eV
I
j
m
m
s 
Trở kháng trong miền tần số của RL nối tiếp là R + sL, do đó điện cảm có 
cảm kháng là sL trong miền tần số. 
Ví dụ 5–23: Mạch RL nối tiếp với R = 10Ω, L = 2H, được cấp nguồn áp 
)3010cos(10 2 ot tev V. Xác định dòng điện trong miền tần số. 
dt
di
i
dt
di
LRiev to 2103010  s 
Thay tIei s 
 ttto sIeIee sss 2103010  → 
s210
3010

o
I 
Thay s = –2 + j10 (biểu thức nguồn )3010cos(10 2 ot tev → 2  ; 
10  ; 102 j s ) vào ta có: 
 o
oo
jj
I 3,4348,0
206
3010
)102(210
3010
  


Kết quả: )3,4310cos(48,0 2 ot tei A 
Ví dụ 5–24: Mạch RC nối tiếp với R = 10Ω và C = 0,2F, có nguồn áp 
tương tự như với ví dụ 5–23. 
  idtiidt
C
Riev to 510
1
3010 s 
Thay tIei s 
 ttto IeIeev sss
s
5
103010  → 
s/510
3010

o
I 
Thay s = –2 + j10 vào biểu thức dòng điện I 
 oI 8,3201,1  
Kết quả: )8,3210cos(01,1 2 ot tei 
Như vậy trong miền tần số trở kháng của tụ điện (1/sC). Và trở kháng của 
mạch thụ động RLC nối tiếp trong miền tần số: CLR sssZ /1)( 
5.4.3. Hàm biến đổi mạch điện 
Nguồn áp có dạng tVev s cấp cho mạch thụ động tạo nên dòng điện và 
điện áp có chung dạng hàm tes trong mạch, ví dụ, tj eIei s . Như vậy chỉ cần 
xác định được độ lớn và góc pha để xác định dòng, áp. Phần trên ta đã xét các 
đại lượng trong miền tần số, trong đó dòng và áp được biểu diễn ở dạng cực, ví 
dụ   IV ; . Trong hình 5–32, biểu diễn mạch điện tươgn ứng trong miền thời 
gian s = σ + jω và miền tần số trong đó chỉ hiển thị độ lớn và góc pha. Trong 
miền tần số, điện cảm được biểu diễn bằng sL và điện dung được biểu diễn bằng 
1/sC. Tổng trở kháng của mạch được biểu diễn bằng Z(s) = V(s) / I(s). 
Hình 5–32 
Hàm biến đổi mạch điện H(s) được định nghĩa là tỉ số giữa biên độ phức 
của tín hiệu hàm mũ đầu ra Y(s) với biên độ phức của tín hiệu hàm mũ đầu vào 
X(s). Nếu như X(s) là nguồn cấp cho mạch và Y(s) là điện áp giữa hai cực, thì tỉ 
số Y(s)/X(s) không có đơn vị. 
Hàm biến đổi mạch được xác định từ phương trình vi phân vào – ra của 
mạch: 
xb
dt
dx
b
dt
xd
b
dt
xd
bya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 011
1
1011
1
1 ...... 
Trong đó: tXetx s )( và tYety s )( 
tm
m
m
m
tn
n
n
n ebbbbeaaaa
ss
ssssss )...()...( 01
1
101
1
1 
Khi đó: 
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)(
)(
bbbb
aaaa
m
m
m
m
n
n
n
n
sss
sss
sX
sY
sH 
Trong mạch tuyến tính bao gồm các phần tử, hàm H(s) được gọi là hàm tỉ 
lệ của s, thường được viết dưới dạng tổng quát sau: 
))...()((
))...()((
)(
21
21
v
k
pspsps
zszszs
sH

Trong đó: k – số thực nào đó, hằng số phức zm (m = 1, 2,  μ) được gọi 
là các zero của H(s) và pn (n = 1, 2, ... ν) được gọi là các pole (cực) của H(s), giả 
thiết đặc biệt quan trọng khi H(s) được hiểu là tỉ lệ của đáp ứng (của một phần 
mạch điện trong miền thời gian) đối với kích thích (từ phần khác của mạch 
điện). Như vậy với s = zm, đáp ứng bằng không, và không phụ thuộc vào độ lớn 
của kích thích. Với s = pn, đáp ứng bằng vô cùng, và không phụ thuộc vào mức 
nhỏ của kích thích. 
Ví dụ 5–25: Mạch thụ động trong miền tần số được vẽ tại hình 5–33. Xác 
định hàm biến đổi của mạch theo đáp ứng I(s) đối với kích thích V(s) 
Hình 5–33 
Hàm biến đổi: 
)(
1
)(
)(
)(
sZsV
sI
sH 
Trong đó: Z(s) tổng trở tương đương của mạch thụ động 
12
128
5,2
20
3
5
20
3
5
5,2)(
2
2
s
ss
s
s
s
s
sZ 
)6)(2(
12
4,0)(
2
ss
s
sH 
Tử số của biểu thức H(s) trong ví dụ trên bằng không khi 12j s , 
tương ứng hàm điện áp tại tần số đó sẽ tạo dòng điện bằng không. Trong phần 
sau sẽ đề cập đến chế độ cộng hưởng của mạch RLC nối tiếp và RLC song song 
tại tần số LC/1  . Với L = 5/3 H và C = 1/20 F thì 12  rad/s. 
Các zero và pole của hàm biến đổi mạch điện H(s) có thể biểu diễn trên hệ 
trục tọa độ phức. Hình 5–34 là các pole và zero của ví dụ 5–25, trong đó zero 
được kí hiệu bằng (.) và pole được kí hiệu bằng (x). Các zero trên trục ảo với các 
giá trị 12j s và các pole trên trục thực tại s = –2 và s = –6. 
Hình 5–34 
5.4.4. Đáp ứng cưỡng bức 
Hàm biến đổi mạch điện có thể được biểu diễn dưới dạng cực (pole) và 
đáp ứng có thể xác định bằng phương pháp đồ thị. Trước khi tiếp cận với 
phương pháp đồ thị, ta có xét H(s) đơn giản là tỉ lệ V0(s)/Vi(s), I2(s)/V1(s) và 
I2(s)/I1(s). 
))...()((
))...()((
)(
21
21
v
k
pspsps
zszszs
sH

Đặt: ),...2,1(   mN mmmzs 
 ),...2,1( vnD nnn  ps 
)...()...(
...
...
)(
))...()((
))...()((
)(
2121
21
21
2211
2211
v
v
vv
DDD
NNN
k
DDD
NNN
k
 




  


sH
sH
Biểu thức này cho thấy đáp ứng của mạch đối với kích thích tại tần số 
 j s được xác định bởi tổng độ dài các véc tơ từ các cực và zero đến 
điểm s và góc của các vec tơ với trục dương σ trong giản đồ pole–zero. 
Ví dụ 5–26: Hãy kiểm tra đáp ứng của mạch trong ví dụ 5–25 đối với kích 
thích từ nguồn hàm mũ tev s1 khi s = 1 Np/s. 
Điểm kiểm tra đáp ứng 1 + j0 trên giản đồ cực–zero. Vẽ các véc tơ từ các 
cực và zero đến điểm kiểm tra và tính toán độ dài, góc (hình 5–35) ta được: 
oDDNN 9,7312tan;0;7;3;13 121212121 
  
248,000
7.3
1313
4,0)1(1  
oo
H 
Hình 5–35 
Kết quả cho thấy, trong miền thời gian, )(248,0)( tvti , như vậy cả điện 
áp và dòng điện đều có giá trị vô cùng lớn nếu kích thích là hàm te1 . Trong phần 
lớn các trường hợp, σ cần phải có giá trị âm hoặc bằng không. 
Phương pháp đồ thị đã xét ở trên tỏ ra không thích hợp khi phân tích hàm 
biến đổi mạch điện H(s) như một tỉ số. Hơn nữa, biểu thức được viết ở dạng 
hằng số k, từ các cực và zero của H(s) trong hệ trục tọa độ phức (giản đồ cực–
zero). 
5.4.5. Đáp ứng tự nhiên 
Trong chương này chúng ta tập trung vào đáp ứng của mạch điện trong 
trường hợp cưỡng bức hoặc khi ở trạng thái ổn định, và xác định chúng trong 
miền tần số là phương pháp hữu hiệu nhất. Tuy nhiên, đáp ứng tự nhiên rất dễ 
dàng xác định, chúng là các cực của hàm biến đổi mạch điện. 
Ví dụ 5–27: Mạch điện như trong ví dụ 5–25 được vẽ trong hình 5–36, 
xác định đáp ứng tự nhiên khi nguồn V(s) được chèn vào giữa hai điểm x–x’. 
Mạch tương tự như ví dụ 5–25, do đó: 
)6)(2(
12
4,0)(
2
ss
s
sH 
Tần số tự nhiên là – 2 Np/s và – 6 Np/s, do đó trong miền thời gian, dòng 
điện tự nhiên hoặc quá độ được xác định theo dạng sau: 
tt
n eAeAi
6
2
2
1
Trong đó các hằng số A1 và A2 được xác định từ áp dụng điều kiện đầu 
để có đáp ứng, fn iii với fi là đáp ứng cưỡng bức. 
Hình 5–36 
Ví dụ 5–28: Mạch điện trong hình 5–36 được cấp dòng điện I(s) giữa hai 
điểm y–y’ trong hình 5–36. Tìm biểu thức V(s) tại hai cực x–x’ 
Hàm biến đổi mạch H(s) 
)(
)(
)(
)( sZ
sI
sV
sH 
)6)(2(
20
128
20
205
3
5,2
1
1
)(
2 
ss
s
ss
s
s
s
sZ 
Các cực trong trường hợp này là – 2 Np/s và – 6 Np/s, kết quả tương tự ví 
dụ 5–27. 
5.4.6. Biến đổi tỉ lệ biên độ và tần số 
Biến đổi tỉ lệ biên độ 
Nếu mạch điện có trở kháng vào là hàm Zin(s) và Km là số thực dương. 
Khi đó nếu mỗi điện trở R trong mạch được thay thế bằng KmR, mỗi điện cảm L 
được thay thế bằng KmL và mỗi điện dung C được thay thế bằng C/Km, thì trở 
kháng vào mới sẽ là KmZ(s). Ta có thể phát biểu mạch đã được biến đổi biên độ 
theo hằng số tỉ lệ Km. 
Biến đổi tỉ lệ tần số 
Nếu, thay nhưng biến đổi ở phần trên, giữ nguyên R, mỗi điện cảm L thay 
bằng L/Kf (Kf >0), mỗi điện dung C thay bằng C/Kf, trở kháng vào mới của mạch 
sẽ là Zin(s/Kf). Như vậy mạch điện mới có trở kháng đầu vào với tần số s/Kf 
đúng bằng mạch cũ nhưng tần số s. Ta có thể phát biểu tần số của mạch biến đổi 
theo hệ số tỉ lệ Kf. 
Ví dụ: Hãy biểu diễn Z(s) cho mạch điện hình 5–37 và áp dụng biển đổi 
tỉ lệ biên độ. 
Hình 5–37 
Trở kháng vào: 
)/1(
)/1(
)(
)(
s
s
s
s
sssZ
CR
CR
LK
C
K
RK
C
K
RK
LK m
m
m
m
m
m 
5.4.7. Mạch bậc cao có nguồn 
Phân tích một số mạch ứng dụng trong thực tế, có chứa những phần tử 
như khuếch đại và một vài phần tử lưu trữ năng lượng, thường dẫn đến vài 
phương trình vi phân bậc một, có thể giải đồng thời như hệ phương trình vi 
phân, hoặc đưa về dạng phương trình vi phân bậc cao của đầu vào và đầu ra. 
Một công cụ thuận tiện thường dùng là sử dụng tần số phức cho các phương 
trình này (thường trở kangs cũng ở miền phức). Phương pháp này được minh 
họa trong một số ví dụ dưới đây. 
Ví dụ: Xác định hàm H(s) = V2 / V1 cho mạch điện ở hình 5–38 và chứng 
minh mạch điện tích phân không đảo nếu như R1C1 = R2C2. 
Hình 5–38 
Áp dụng phân áp trong miền phức đối với cực đầu vào và cực hồi tiếp của 
khuếch đại 
Cực A: 1
111
1
V
sCR
VA
Cực B: 2
22
22
1
V
sCR
sCR
VB
Do OA lý tưởng nên BA vv 
2
22
22
1
11 11
1
V
sCR
sCR
V
sCR 
 → 
sCRsCR
sCR
V
V
2211
22
1
2
)1(
1
Chỉ với R1C1 = R2C2 = RC, ta có 
RCsV
V 1
1
2 → 
t
dtv
RC
v 12
1
Ví dụ: Mạch điện trong hình 5–39 được gọi là mạch Sallen–Key. Xác 
định H(s) = V2 / V1 và biến đổi thành phương trình vi phân. 
Hình 5–39 
Viết phương trình định luật Kirchhoff về dòng cho nút A và B: 
 0)( 2
1 
CsVV
R
VV
R
VV
A
BAA 
 0 
CsV
R
VV
B
AB → )1( RCsVV BA 
Đặt kRR 12 /1 , khi đó BkVV 2 → kVVB /2 ; kRCsVVA /)1(2 
Thay vào hai phương trình định luật Kirchhoff về dòng, khử VA và VB: 
1)3(2221
2
RCsksCR
k
V
V
Phương trình vi phân: 
 kVRCsksCRV 1
222
2 )1)3(( 
 → 12
22
2
22 )3( kvv
dt
dv
RCk
dt
vd
CR 
Ví dụ: Mạch điện có sơ đồ trong hình 5–39, giả thiết R = 2 kΩ, C = 10 nF 
và R2 = R1. Hãy xác định 2v nếu )(1 tuv . 
Thay các giá trị của các phần tử trong biểu thức H(s), ta có: 
110.210.4
2
1)3( 52102221
2
 ssRCsksCR
k
V
V
842
9
1
2
10.2510.5
10.5
ssV
V
 1
9
2
824
2
2
2
10.510.2510.5 vv
dt
dv
dt
vd
Đáp ứng của phương trình trên khi t > 0 với kích thích )(1 tuv 
 )sin31,2cos2(22 ttev
t  
 )9,130cos(055,322
ot tev  
Trong đó: 25000 và 21651  rad/s 
Ví dụ: Hãy tìm điều kiện để mạch trong hình 5–39 để đạt được trạng thái 
dao động của )(2 tv với tín hiệu vào bằng không và tìm tần số dao động. 
Từ biểu thức: 
1)3(2221
2
RCsksCR
k
V
V
Để có được trạng thái dao động, các nghiệm của phương trình đặc trưng 
phải là số ảo, điều này có được khi: 
 3 k → 12 2RR 
 RC/1 