Điều khiển dự báo Tube - Mpc thích nghi cho hệ phi tuyến có khâu phi tuyến không biết trước thỏa mãn điều kiện liên tục lipschitz

 một từ phổ biến hơn ở 
thời điểm hiện tại là “học“ (learning). 
Trong bài báo này, đối tượng điều khiển được 
nghiên cứu là một hệ điều khiển phi tuyến bao gồm 
một hệ tuyến tính nối với một hàm phi tuyến không 
nhớ (memoryless), trong đó hàm phi tuyến này không 
biết trước, chỉ biết được hằng số Lipschitz của hàm số 
này. Cần tìm tín hiệu điều khiển để tối ưu hàm mục 
tiêu năng lượng khi đưa hệ về vị trí 0 và đảm bảo hệ 
ổn định, đồng thời tín hiệu điều khiển và các trạng thái 
của hệ phải nằm trong giới hạn kỹ thuật cho phép. Đã 
có những nghiên cứu trước đây về áp dụng MPC cho 
hệ phi tuyến tương tự, ví dụ [3, 4]. Những phương 
pháp này đảm bảo tính bền vững cho hệ dù không biết 
rõ hàm phi tuyến. Tuy nhiên, hạn chế của phương 
pháp này là vì được xây dựng dựa trên LMIs (Linear 
Matrix Inequalities), trong đó bài toán được đưa về 
tìm một elipsoid nằm trong một polytope tạo ra bởi 
các constraints (giới hạn) chứ không giải thẳng bài 
toán NLP (Nonlinear Programming), nên dẫn đến 
conservatism. Trong phương pháp được đề xuất dưới 
đây, thông tin được sử dụng để xây dựng hàm số chặn 
trên và chặn dưới của hàm phi tuyến nhằm giảm phần 
không tường minh xuống, đồng thời bài toán cũng 
được đưa về dạng NLP, qua đó giảm conservatism. 
Tiếp theo bài báo được bố cục như sau: Phần 2 
trình bày rõ vấn đề cần được giải quyết dưới dạng toán 
học. Phần 3 và 4 trình bày ý tưởng và phương pháp. 
Phần 5 trình bày ví dụ minh họa và các kết quả mô 
phỏng. Cuối cùng, phần 6 là kết luận và định hướng 
nghiên cứu tiếp theo. 
2. Vấn đề cần giải quyết 
Hệ phi tuyến được xem xét trong bài báo này là 
hệ phi tuyến phổ biến, ví dụ như hệ thống tay máy 
robot linh hoạt (xem [9]), được mô tả bởi phương 
trình: 
 (1) 
Trong đó x, u lần lượt là vector biến trạng thái và 
tín hiệu điều khiển. A, B là ma trận trạng thái và ma 
trận tín hiệu vào, có chiều n × n và n × m. G và H 
là ma trận hằng đã biết và hàm số 𝛾(𝑧): 𝐑 ⟶ 𝐑 là 
khâu phi tuyến không biết rõ, giả thiết rằng chỉ có 
hằng số Lipschitz 𝐿 ≥ 0 của hàm phi tuyến đã biết 
trước, có nghĩa là với mọi 𝑧1, 𝑧2 ta luôn có: 
||𝛾(𝑧1) − 𝛾(𝑧2)|| ≤ 𝐿||𝑧1 − 𝑧2||∀𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝑅(2a) 
Và: 
(0) 0 (2b) 
Yêu cầu của bài toán là tín hiệu điều khiển và 
trạng thái của hệ luôn phải nằm trong giới hạn cho 
trước, giả thiết rằng hai tập giới hạn X và U này đều 
là tập lồi: 
x(k) X, u(k) , 0U k  (3) 
Giả thiết mọi trạng thái của hệ 𝑥(𝑘) đều quan sát 
được và hệ điều khiển được hoàn toàn. Bài toán đặt ra 
là tìm tín hiệu điều khiển u để tối ưu năng lượng tiêu 
thụ của hệ, hay nói cách khác là phiếm hàm mục tiêu 
J đại diện cho năng lượng của hệ đạt giá trị nhỏ nhất. 
3. Sử dụng dữ liệu để xây dựng hàm chặn trên 
và hàm chặn dưới 
Phần này sẽ trình bày cách xây dựng hàm chặn 
trên và hàm chặn dưới cho hàm phi tuyến 𝛾(𝑧) chưa 
biết. Giả thiết trong quá trình vận hành, chúng ta thu 
được các dữ liệu tương ứng của hàm số 𝛾(𝑧) dưới 
dạng bộ số (𝑧𝑖 , 𝛾𝑖) với 𝑖 = 1,  , 𝑙, gọi là tập dữ liệu 
𝒟. Giả thiết này thực hiện được vì theo giả thiết mọi 
trạng thái của hệ 𝑥(𝑘) đều quan sát được ở trên thì 
tại mỗi thời điểm k, ta luôn xác định được 𝑧(𝑘) và 
giá trị 𝛾(𝑧) từ (1). Đồng thời giả thiết bỏ qua sai lệch 
do đo đạc và thu thập dữ liệu. Không làm mất tính 
tổng quát, ta xét với bộ dữ liệu trong đó 𝑧 > 0 . 
Trường hợp 𝑧 < 0 thực hiện tương tự. Giả thiết bộ 
dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự 0 < 𝑧1 < 𝑧2 < ⋯ 𝑧𝑙 . 
Gọi hàm �̅� và 𝛾 là hàm chặn trên và hàm chặn 
dưới của hàm phi tuyến 𝛾(𝑧) chưa biết, được xây 
dựng dựa vào giả thiết về hằng số Lipschitz (2) như 
sau. Xét tại điểm (𝑧𝑖 , 𝛾𝑖), vì hàm số 𝛾(𝑧) đi qua 
điểm này nên hàm số đó bắt buộc phải nằm trong 
vùng màu trắng như trên Hình 1. Tập hợp tất cả các 
điểm mà hàm số 𝛾(𝑧) phải đi qua, ta sẽ thấy bắt 
buộc hàm số này phải nằm trong miền nằm giữa hai 
hàm số liên tục có dạng răng cưa như trên Hình 1c. 
Vì các giá trị (𝑧𝑖 , 𝛾𝑖) xác định trong khoảng từ 
[0, 𝑧𝑙] nên hàm chặn trên và chặn dưới hoàn toàn xác 
định được trong miền này. Ký hiệu: 
Theo ký hiệu này ta có: 
( 1) Ax(k)+G (z(k))+Bu(k),
z(k)=Hx(k)
x k  
 
max
1
max 1, 2,3..., 1
1 1
d z z
Z Di
d z z iiiZ Di
  
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
41 SỐ 65 (01-2021) 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
 0,i
max i
i
d d z z
  
Với cách xây dựng hai hàm chặn trên và chặn dưới 
�̅� và 𝛾 như trên, hiệu số giữa hai hàm này luôn này 
luôn bị chặn bởi: W (z)- (z) 2 WLd  
với W=2Ld . Nếu ta chọn một hàm nằm giữa hai 
hàm chặn trên và chặn dưới, tức là 
(z) (z) (z)   , thì hiển nhiên ta sẽ có: 
 (z)- (z) W  (4) 
Và W hoàn toàn xác định được. Như vậy, thay vì 
cần hàm số 𝛾(𝑧), mà ta không biết, để tính toán tín 
hiệu điều khiển, ta có thể chọn một hàm �̃� bất kỳ 
nằm giữa hai hàm số chặn trên và chặn dưới để đưa 
vào bộ điểu khiển, đưa về bài toán MPC bền vững 
với sai số của hàm phi tuyến là W ước lượng được. 
Tiếp theo sẽ trình bày phương pháp điều khiển 
TubeMPC áp dụng cho trường hợp bài toán này. 
Hình 1a. Nếu ta biết điểm (𝒛𝒌, 𝜸𝒌) của hàm số chưa biết, 
điều kiện liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L cho ta 
biết rằng hàm số chỉ có thể nằm trong miền có màu 
trắng, không thể nằm trong miền có màu xanh. Ranh 
giới miền màu xanh đậm có hệ số góc L 
Hình 1b. Nếu ta biết thêm điểm (𝒛𝒌+𝟏, 𝜸𝒌+𝟏) của hàm số 
chưa biết, tiếp tục áp dụng điều kiện liên tục Lipschitz 
cho ta biết rằng hàm số chỉ có thể nằm trong miền có 
màu trắng, không thể nằm trong miền có màu xanh 
Hình 1c. Khi ta có thêm nhiều điểm khác, miền mà hàm 
số có thể tồn tại (vùng màu trắng) hẹp lại, bị chặn bởi 
hai hàm liên tục có dạng răng cưa màu hồng và màu 
xanh lá như trên hình vẽ. Hiệu số của hai hàm này xác 
định được qua công thức (4) 
4. TubeMPC cho bài toán điều khiển bền vững 
Ý tưởng của bài toán điều khiển TubeMPC là do 
đối tượng điều khiển thực tế có những sai số không 
biết, chỉ biết được các chặn trên của các sai số đó, 
trong khi phương pháp MPC cần phải có một mô hình 
tường minh của đối tượng. Giải pháp của phương 
pháp TubeMPC là ta chọn một mô hình đối tượng trên 
danh nghĩa (nominal system) và xây dựng bộ điều 
khiển MPC dựa trên mô hình danh nghĩa này, đồng 
thời đảm bảo rằng sai số giữa trạng thái của mô hình 
danh nghĩa so với trạng thái mô hình thực tế luôn nằm 
trong một giới hạn cho phép. Tưởng tượng hình học 
giống như ta giữ sai số 𝑒(𝑡) nằm trong một ống 
(tube), đó là lý do vì sao gọi là TubeMPC. Sau đây ta 
sẽ xét mô hình đối tượng danh nghĩa như sau: 
Trong đó, các ma trận A, B, C, G, H là các ma trận 
trong mô hình đối tượng thực tế (1), chỉ có hàm phi 
tuyến �̃� là khác với mô hình thực tế. Sự khác biệt đó 
dẫn đến trạng thái của hệ danh nghĩa �̃� khác với 
trạng thái 𝑥 của hệ thực tế. Phiếm hàm mục tiêu và 
hàm kết thúc được định nghĩa: 
T(x) : x PxE 
T TF(x,u) : x Qx u Ru 
Trong đó Q, R, P là các ma trận xác định dương có 
kích thước tương ứng. Bài toán tối ưu cần giải cho mỗi 
bước tính là: 
(6) 
(5) 
x(k 1) Ax(k) ( (k)) (k),
z(k) Hx(k)
G z Bu 
( )
min (x( ), (k)) E(x(k N))
N
u k
k
F k u 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
42 SỐ 65 (01-2021) 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
x( 1) x( ) ( x( )) ( ),k A k G H k Bu k 
�̃�(𝑘) ∈ 𝑋 ⊖ 𝑅(𝑘), �̃�(𝑘) ∈ 𝑈 ⊖ 𝐾𝑒𝑅(𝑘), 
�̃�(𝑘 + 𝑁) ∈ 𝐸 ⊖ 𝑅(𝑘 + 𝑁) 
Ký hiệu ⊖ là phép trừ Minkowski giữa hai tập. 
Nếu so sánh các điều kiện ràng buộc của hệ thực tế 
trong (3) với hệ danh nghĩa trong (6) sẽ thấy tập xác 
định của hệ danh nghĩa hẹp hơn do phải trừ đi các tập 
ℛ(𝑘). Tập ℛ(𝑘) xuất hiện do phải tính đến sai lệch 
W của hàm phi tuyến. Cụ thể, nếu chúng ta cho phép 
trạng thái �̃� của hệ danh nghĩa thuộc tập X, khi �̃� ở 
biên của X, do sai số tạo nên bởi tính không chính xác 
của hàm phi tuyến �̃�, chúng ta không thể chắc chắn 
rằng trạng thái thực tế 𝑥 vẫn thuộc tập X. Vì vậy, tập 
ℛ(𝑘) phải được tính toán sao cho không chỉ ở thời 
điểm 𝑘 hiện tại, mà tất cả các trạng thái từ 𝑘 đến 
𝑘 + 𝑁, nếu (6) thỏa mãn thì chắc chắn trạng thái thực 
tế 𝑥 sẽ thuộc tập X. Để tính toán tập ℛ(𝑘) và đảm 
bảo sai số giữa hệ danh nghĩa và hệ thực tế luôn hữu 
hạn, chúng ta xét sai số của trạng thái giữa hai hệ: 
𝑒(𝑘) = 𝑥(𝑘) − �̃�(𝑘) (7) 
Tín hiệu điều khiển cho hệ có dạng: 
 𝑢(𝑘) = �̃�(𝑘) + 𝐾𝑒𝑒(𝑘) (8) 
Trong đó thành phần �̃� được tính toán từ bộ điều 
khiển MPC dành cho hệ danh nghĩa, thành phần còn 
lại để ổn định hệ sai số với 𝐾𝑒 là tham số chọn được. 
Hệ sai số thu được khi sử dụng tín hiệu điều khiển (8) 
cho hệ (6), và trừ hệ (1) cho hệ (6) ta có: 
 𝑒(𝑘 + 1) = (𝐴 + 𝐵𝐾𝑒)𝑒(𝑘) + 𝐺𝑑(𝑘), 
Trong đó, 𝑑(𝑘) = 𝛾(𝑧(𝑘)) − �̃�(�̃�(𝑘)) (9) 
Tiếp theo sẽ trình bày tiêu chí chọn tham số 𝐾𝑒 
cho hệ (9). Chú ý rằng 𝑑(𝑘) bị chặn bởi: 
||𝛾(𝑧) − �̃�(�̃�)|| ≤ ||𝛾(𝑧) − 𝛾(�̃�)|| + ||𝛾(�̃�) − �̃�(�̃�)|| (10) 
Số hạng đầu tiên trong về trái được chặn bởi (sử 
dụng tính liên tục Lipschitz ở (2)): 
||𝛾(𝑧) − 𝛾(�̃�)|| ≤ 𝐿||𝑧 − �̃�|| ≤ 𝐿||𝐻||||𝑥 − �̃�|| = 𝐿||𝐻||||𝑒|| 
Và số hạng thứ hai của (10) bị chặn bởi (4). Từ đó, 
ta có chặn trên của tín hiệu 𝑑(𝑘): 
||𝑑(𝑘)|| ≤ �̃�||𝑒(𝑘)|| + 𝑊 (11) 
với �̃� = 𝐿||𝐻||. Như vậy, nếu xét hệ sai số (9) như 
một hệ có trạng thái là 𝑒(𝑘) và tín hiệu nhiễu là 
𝑑(𝑘) và 𝑑(𝑘) bị chặn bởi (11), câu hỏi đặt ra làm 
thế nào để chọn được 𝐾𝑒 sao cho 𝑒(𝑘) không tiến 
đến vô cùng (khi đó, sai lệch giữa trạng thái hệ thực 
tế và hệ danh nghĩa là rất lớn). Đồng thời, khi đã chọn 
được 𝐾𝑒 để 𝑒(𝑘) hữu hạn, làm thế nào để tính được 
giá trị cực đại của 𝑒(𝑘) khi đó, vì từ giá trị cực đại 
của 𝑒(𝑘) ta có thể tính được giá trị cực đại cho phép 
của �̃� theo quan hệ (7), hay nói cách khác chính là 
tính tập ℛ(𝑘). Bài toán này chính là bài toán tính tập 
bất biến (invariant set) trong điều khiển phi tuyến ([2]). 
Một cách để giải bài toán này là đưa bài toán về LMI 
để tính ra một xấp xỉ ngoài (outer approximation) của 
tập này dưới dạng ellipsoid như đề cập trong [8]. Cụ 
thể bài toán được đưa về tìm giá trị Ω > 0 và Θ để 
hệ LMI sau đây có nghiệm: 
 𝜏1�̃� + 𝜏2 ≤ 1, �̃� = 2𝑊
2 (12) 
Khi đó 𝐾𝑒 được xác định bằng công thức: 
 𝐾𝑒 = ΘΩ
−1 (13) 
Vì bài toán đã được đưa hoàn toàn về bài toán 
Tube MPC tiêu chuẩn được đề cập trong [6] nên dẫn 
đến kết quả sau. 
Xét đối tượng điều khiển (1) thỏa mãn điều kiện 
(2). Nếu bài toán tối ưu (6) tồn tại lời giải �̃�(𝑘) thì 
hệ thống thực tế (1) được điều khiển bởi tín hiệu (8) 
sẽ thỏa mãn điều kiện (3) về giới hạn của trạng thái 
và tín hiệu điều khiển ([6]). 
Vì bài toán đã được đưa hoàn toàn về bài toán 
Tube MPC tiêu chuẩn được đề cập trong [6] nên 
kết quả này được trực tiếp có được từ các kết quả 
trong [6]. 
5. Ví dụ và kết quả mô phỏng 
Trong phần này một ví dụ sẽ được trình bày để 
minh họa phương pháp thiết kế bộ điều khiển dự báo 
bền vững đã trình bày ở trên. Xét đối tượng điều khiển 
là một tay máy robot ([9]) (Hình 2) được mô tả bởi 
phương trình toán như sau: 
𝑥1(𝑘 + 1) = 𝑥1(𝑘) + 0.05 𝑥2(𝑘)
𝑥2(𝑘 + 1) = −2,43𝑥1(𝑘) − 0,9375𝑥2(𝑘) + 2.43𝑥3(𝑘) + 1,08𝑢(𝑘)
𝑥3(𝑘 + 1) = 𝑥3(𝑘) + 0,05𝑥4(𝑘)
𝑥4(𝑘 + 1) = 0,975𝑥1(𝑘) − 0,835𝑥3(𝑘) + 𝑥4(𝑘) − 0.1665𝑔(𝑥3(𝑘))
Trong đó hàm số g(z) là hàm phi tuyến, có dạng: 
𝑔(𝑧) = 0,25(𝑧 + 𝑠𝑖𝑛(𝑧)) 
Như vậy hàm g(x) luôn nằm giữa miền 0 ≤
𝑔(𝑧) ≤ 0.5𝑧, thỏa mãn điều kiện (2) với L=0,5. 
Trạng thái ban đầu của hệ tại x0=(1;0,2;0;0). Yêu 
Hình 2. Mô hình tay máy robot 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
43 SỐ 65 (01-2021) 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
cầu điều khiển về gốc tọa độ với: 
|𝑢| < 1,5, |𝑥1| < 𝜋 2⁄ , |𝑥3| < 𝜋 2⁄ 
Phiếm hàm mục tiêu có Q= 0,01diag(1;0,1;1;0,1), 
R= 0,01. Dữ liệu được giả thiết có sẵn từ các lần hoạt 
động trước. Giải hệ LMI (12,13) ta thu được 𝐾𝑒 =
[−4,8; −1,2; 2,6; −0.5]. 
Các tập giới hạn trong (6) được tính bằng toolbox 
MPT3 (https://www.mpt3.org/) trên nền Matlab. Bài 
toán bền vững MPC (6) được giải bằng toolbox do-
mpc (www.do-mpc.com) trên nền Python. 
Kết quả mô phỏng được thể hiện trên Hình 3 cho 
thấy tín hiệu điều khiển u luôn nằm trong giới hạn cho 
phép từ -1,5 đến 1,5 và các ràng buộc về giới hạn đối 
với trạng thái x1 và x3 đều được thỏa mãn. 
Như vậy phương pháp điều khiển được đề xuất 
giải quyết hoàn toàn được bài toán điều khiển đề ra. 
Hình 3. Kết quả mô phỏng các trạng thái và tín hiệu 
điều khiển của hệ 
6. Kết luận 
Bài báo đã trình bày một phương pháp điều khiển 
dự báo thích nghi - bền vững dành cho hệ phi tuyến 
có hàm số phi tuyến chưa biết với giả thiết hàm số 
đó liên tục Lipschitz với hằng số L dưới các điều kiện 
ràng buộc về trạng thái và tín hiệu điều khiển. Vì 
phương pháp điều khiển dự báo MPC phụ thuộc vào 
mô hình đối tượng nên việc tận dụng các dữ liệu thu 
được trong quá trình vận hành để học thêm về mô 
hình của hệ góp phần nâng cao chất lượng điều khiển. 
Bằng các chứng minh toán học rõ ràng và ví dụ minh 
họa được mô phỏng, bài báo đã cho thấy phương 
pháp thiết kế bộ điều khiển giải quyết được bài toán 
đề ra. Bài báo là bước đầu của các nghiên cứu mở 
rộng sau này. Một hướng nghiên cứu khả dĩ có thể 
được mở rộng ra cho bài toán khi các dữ liệu đo đạc 
không chính xác, có kèm theo nhiễu đo. Việc không 
bỏ qua sai số đo đạc sẽ góp phần cải thiện hơn nữa 
chất lượng điều khiển. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Basil Kouvaritakis, Mark Cannon: Model 
Predictive Control, Springer, 2016. 
[2] Stephen Boyd, Laurent El Ghaoui, Eric Feron, 
Venkataramanan Balakrishnan: Linear matrix 
inequalities in system and control theory, SIAM, 1994. 
[3] Rolf Findeisen, Frank Allgöwer, Lorenz T. 
Biegler: Assessment and Future Directions of 
Nonlinear Model Predictive Control (Lecture 
Notes in Control and Information Sciences), 
Springer, 2007. 
[4] Sasa V. Rakovic, William S. Levine: Handbook 
of Model Predictive Control, Birkhause, 2019. 
[5] Lars Grune, Jurgen Pannek: Nonlinear Model 
Predictive Control: Theory and Algorithms, 
Springer, 2017. 
[6] D.Q. Mayne, E.C. Kerrigan, E. Van Wyk, and P. 
Falugi, Tube-based robust nonlinear model predictive 
control, International Journal of Robust and 
Nonlinear Control, Vol.21(11), pp.1341-1353, 2011. 
[7] G. Beliakov, Interpolation of Lipschitz functions, 
Journal of Computational and Applied 
Mathematics, Vol.196(1), pp.20-44, 2006. 
[8] J. Lofberg, Min-Max Approaches to Robust 
ModelPredictive Control, Dissertation, 
Link ̈oping University, 2003. 
[9] C. Bohm, S. Yu, R. Findeisen, and F. Allgower, 
Predictive control for Lure systems subject to 
constraints using LMIs, 2009 European Control 
Conference (ECC), pp.3389-3394, 2009. 
Ngày nhận bài: 25/12/2020 
Ngày nhận bản sửa: 09/01/2021 
Ngày duyệt đăng: 18/01/2021