Điều khiển dự báo bền vững cho hệ phi tuyến lure tham số không chắc chắn

hu hút sự quan tâm 
trong lĩnh vực lý thyết điều khiển [1]. Ưu điểm của 
MPC so với các phương pháp điều khiển phi tuyến 
khác là tích hợp được các điều kiện ràng buộc của bài 
toán (ví dụ giới hạn về tín hiệu điều khiển và trạng 
thái) trực tiếp vào bài toán điều khiển, trong khi lời 
giải trực tiếp từ các phương pháp điều khiển phi tuyến 
khác cần phải kiểm tra điều kiện ràng buộc một cách 
gián tiếp. Điều đó khiến cho việc thiết kế bộ điều 
khiển thuận lợi hơn. Tuy nhiên, nhược điểm của điều 
khiển dự báo phi tuyến là trong mỗi bước thời gian k, 
bộ điều khiển cần giải một bài toán tối ưu phi tuyến, 
một việc yêu cầu phải tính toán rất lớn. Bên cạnh đó, 
bài toán tối ưu phi tuyến nói chung thường khó để tìm 
được lời giải tối ưu toàn cục. Vì vậy, nếu có đưa bài 
toán tối ưu về một dạng có lời giải toàn cục trong thời 
gian tính toán ngắn hơn là một hướng nghiên cứu. 
Mặt khác, trong thực tế, các tham số trong đối 
tượng điều khiển thường không biết chắc chắn. Chúng 
ta chỉ ước lượng được giá trị nằm trong một khoảng 
nào đó chứ không nắm được giá trị chính xác. Việc 
Hình 1. Mô hình tay robot 
Tóm tắt 
Bài báo trình bày một phương pháp điều khiển dự 
báo bền vững cho hệ phi tuyến Lur’e, một mô hình 
hệ phi tuyến phổ biến trong thực tế, với các tham 
số không được xác định chắc chắn. Các tham số 
được giả thiết thuộc một tập lồi đã biết. Bài toán 
được đưa về dưới dạng bất đẳng thức ma trận 
tuyến tính có thể giải được bằng các công cụ tính 
toán hiện hành. Tín hiệu điều khiển tìm được dưới 
dạng tín hiệu phản hồi tuyến tính và được chứng 
minh là đảm bảo hệ sẽ ổn định tiệm cận tại gốc 
tọa độ. Phương pháp được minh họa bằng ví dụ 
kèm kết quả mô phỏng. 
Từ khóa: MPC-Điều khiển dự báo, điều khiển phi 
tuyến, LMI, điều khiển tối ưu, điều khiển bền 
vững, hệ Lure. 
Abstract 
This paper proposes a method to design a robust 
model predictive controller for an Lur’e system 
with uncertain parameters, which is popular in 
practice. The uncertain parameters are assumed 
to belong to convex sets. The problem is 
formulated as a Linear Matrix Inequalities, which 
can be solved by available solvers. The result is a 
linear feedback control signal that can be proved 
to asymptotically stabilize the closed loop system. 
The method is illustrated with an example with 
simulation results. 
Keywords: MPC, nonlinear Control, LMI, 
optimal control, robust control, lure systems. 
43 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) JMST 
không chắc chắn này cũng làm tăng thêm độ khó cho 
bài toán điều khiển phi tuyến nói chung. Một cách tiếp 
cận với hệ phi tuyến có tham số không chắc chắn là sử 
dụng phương pháp điều khiển bền vững [1], [2]. 
2. Vấn đề cần giải quyết 
Hệ phi tuyến Lure phổ biến trong các hệ thống điều 
khiển, ví dụ như hệ thống tay máy robot linh hoạt [2], 
[6] và Hình 1, được mô tả bởi phương trình: 
�˙�(t)=Ax(𝑡)+Bu(𝑡)+Gg(𝑧(𝑡)), 𝑧(𝑡)=Hx(𝑡) (1) 
Trong đó: 
x, u lần lượt là vector biến trạng thái và tín hiệu 
điều khiển; 
A, B là ma trận trạng thái và ma trận tín hiệu vào, 
có chiều n x n và n x m. A, B có thể không biết rõ giá 
trị chắc chắn, chỉ biết rằng giá trị của hai ma trận A, B 
thuộc một tập lồi có các đỉnh là: 
 (A,B)=conv ((𝐴1,B1), (𝐴2,B2),..., (𝐴𝜃,B𝜃)) (1a) 
G và H là ma trận hằng đã biết và g(z) là khâu phi 
tuyến bị giới hạn trong miền cho trước (sector-
bounded, xem Hình 2), cụ thể, hàm số này thỏa mãn 
điều kiện: 
 (wz − 𝑔(𝑧))
𝑇
𝑔(𝑧) ≥ 0, (2) 
Trong đó w=diag(𝑤1,w2,...,w𝑝) là ma trận hằng số. 
Bài toán đặt ra là tìm tín hiệu điều khiển u để tối 
ưu năng lượng tiêu thụ của hệ, hay nói cách khác là 
phiếm hàm mục tiêu J đại diện cho năng lượng của hệ 
đạt giá trị nhỏ nhất, với: 
 J = ∫ (𝑥(𝑡)𝑇Qx(𝑡)+u(𝑡)𝑇Ru(𝑡))
∞
𝑡
𝑑𝑡, (3) 
 Trong đó ma trận Q và R là ma trận trọng số đối 
xứng xác định dương, được chọn trước. 
Tín hiệu điều khiển và trạng thái của hệ phải nằm 
trong các giới hạn kỹ thuật cho phép: 
𝑥min<x<xmax,umin<u<umax . Các giới hạn này có thể 
viết dưới dạng toán học như sau (xem, Ví dụ, [6]): (x,u) 
nằm trong đa diện: 
C={[𝑥𝑇𝑢𝑇]𝑇 ∈ 𝑅n+m: 𝑐𝑖
𝑇x+d𝑖
𝑇𝑢 ≤ 1,i=1,2,...𝑙} (4) 
3. Kết quả chính và chứng minh 
Mục này sẽ trình bày cách xây dựng phương pháp 
điều khiển bền vững cho hệ Lur’e không tham số chắc 
chắn, chứng minh tính ổn định của phương pháp và 
tính khả thi của việc giải bài toán tối ưu cho mỗi bước 
thời gian. 
Trước hết, cần nhắc lại một bổ đề đã được chứng 
minh trong [2] mà sẽ được sử dụng trong phần sau. 
Chú ý rằng trong phần này, chúng ta cần tìm tín 
hiệu điều khiển tuyến tính có dạng u = Kx, vì vậy giới 
hạn được viết dưới dạng như sau: 
C={[𝑥𝑇𝑢𝑇]𝑇 ∈ 𝑅n+m: (𝑐𝑖
𝑇+d𝑖
𝑇𝐾)𝑥 ≤ 1,i=1,2,..., 𝑙} (5) 
Hình 2. Khâu phi tuyến sector bound trong hệ Lur’e 
Bồ đề 1 ([2]): 
Ellipsoid E={𝑥 ∈ 𝑅𝑛: 𝑥𝑇Px ≤ 𝛼} nằm trong đa 
diện: 
C={[𝑥𝑇𝑢𝑇]𝑇 ∈ 𝑅n+m: (𝑐𝑖
𝑇+d𝑖
𝑇𝐾)𝑥 ≤ 1,i=1,2,..., 𝑙} 
khi và chỉ khi: 
(𝑐𝑖
𝑇+d𝑖
𝑇𝐾)(αP−1)(𝑐𝑖
𝑇+d𝑖
𝑇𝐾)
𝑇
≤ 1;i=1,2,..., 𝑙 (6) 
Chứng minh: Xem trong tài liệu [2]. 
Bổ đề 1 chỉ ra rằng nếu điều khiện (6) được thỏa 
mãn thì tất cả các điểm thuộc ellipsoid 𝑥𝑇Px ≤ 𝛼sẽ 
nằm trọn trong đa diện C, tức là các điểm đó đều thỏa 
mãn về giới hạn điều khiển và trạng thái của hệ thống. 
Mặt khác, điều kiện về sector-bound (2) có thể 
được viết dưới dạng ma trận như sau: 
[
𝑥
𝑔]
𝑇
[ 0 −0.5𝐻
𝑇𝑤𝑇
0.5wH 𝐼
] [
𝑥
𝑔] ≤ 0, (7) 
Tiếp theo sẽ trình bày định lý nhằm đảm bảo tính 
ổn định của hệ thống điều khiển. 
Định lý 1: 
Xét đối tượng điều khiển (1) thỏa mãn các điều 
kiện (1a) và (2). Nếu tồn tại ma trận X đối xứng xác 
định dương kích thước n x n và ma trận Y kích thước 
m x n và α dương sao cho ma trận 
[
−𝐴𝑗𝑋 − 𝑋𝐴𝑗
𝑇 − 𝐵𝑗𝑌 − 𝑌
𝑇𝐵𝑗
𝑇 −𝐺𝛼 − 0.5𝑋𝐻𝑇𝑤𝑇
−𝐺𝑇𝛼 − 0.5𝑋𝑤𝐻𝑋 𝛼𝜏𝐼
] >
0, với j=1, ...,θ (8a) 
[
1 𝑐𝑖
𝑇𝑋 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌
(𝑐𝑖
𝑇𝑋 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌)𝑇 𝑋
] > 0,với i=1, 2, , l 
 (8b) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) 
JMST 
44 
thì hệ kín tương ứng với tín hiệu điều khiển u(t) = 
Kx(t) trong đó K = YX-1 sẽ ổn định tiệm cận và thỏa 
mãn các điều kiện ràng buộc (4) của trạng thái và tín 
hiệu điều khiển. Ngoài ra, với 𝑃 = 𝛼𝑋−1 , ít nhất 
ellipsoid E={𝑥 ∈ 𝑅𝑛: 𝑥𝑇Px ≤ 𝛼} là miền hấp dẫn 
của hệ kín với điểm cân bằng 0. Nói cách khác, nếu 
trạng thái hệ xuất phát trong ellipsoid E thì hệ sẽ ổn 
định với điểm cân bằng 0. 
Chứng minh: Áp dụng công thức phần bù Shur 
[2], (8b) tương đương với 
1 − (𝑐𝑖
𝑇𝑋 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌)𝑋−1(𝑐𝑖
𝑇𝑋 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌)𝑇 > 0, 𝑖 =
1,2, . . . , 𝑙 (9) 
Sử dụng K = YX-1 và 𝑃 = 𝛼𝑋−1, (9) tương đương 
với: 
1 − (𝑐𝑖
𝑇𝑋 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌)(𝛼𝑃)−1(𝑐𝑖
𝑇𝑋 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌)𝑇 > 0, 𝑖 =
1,2, . . . , 𝑙 (10) 
Áp dụng Bổ đề 1, ta thấy (10) thỏa mãn điều kiện 
(6), nghĩa là ellipsoid E luôn nằm trong miền C, tức là 
các điều kiện ràng buộc về trạng thái và tín hiệu điều 
khiển đều thỏa mãn. 
Tiếp theo ta phải chỉ ra ellipsoid E là tập bất biến 
(invariant set), qua đó khẳng định hệ ổn định tiệm cận 
với tín hiệu điều khiển u(t) = Kx(t). Thật vậy, xét hàm 
Lyapunov có dạng 𝑉(𝑥) = 𝑥𝑇𝑃𝑥. Hê kín tương ứng 
với đối tượng (1) sẽ ổn định nếu: 
�˙� = 𝑥𝑇(𝐴𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 + 𝐾
𝑇𝐵𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐵𝑗𝐾)𝑥 +
𝑔𝑇𝐺𝑇𝑃𝑥 + 𝑥𝑇𝑃𝐺𝑔 < 0 với j=1, ...,θ (11) 
Viết (11) dưới dạng ma trận, ta có: 
[
𝑥
𝑔]
𝑇
[
𝐴𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 + 𝐾
𝑇𝐵𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐵𝑗𝐾 𝑃𝐺
𝐺𝑇𝑃 0
] [
𝑥
𝑔] < 0 
với j=1, ...,θ (12) 
Áp dụng kỹ thuật biến đổi S-procedure (xem 
trong [2]), (12) sẽ thỏa mãn khi tồn tại 𝜏 > 0 sao 
cho điều kiện sau đây được thỏa mãn: 
 [
𝐴𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 + 𝐾
𝑇𝐵𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐵𝑗𝐾 𝑃𝐺 + 𝜏2𝐻
𝑇𝑤
𝐺𝑇𝑃 + 𝜏2𝑤𝐻 −𝜏𝐼
] <
0 với j=1, ...,θ (13) 
Tiếp tục biến đổi (13) bằng cách nhân vế trái với 
ma trận dường chéo 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑃−1, 𝐼) (vì ma trận 
𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑃−1, 𝐼) xác định dương nên dấu của (13) không 
đổi). Sau đó thế 𝑃−1, 𝐾 bằng X, Y và 𝛼, ta dễ dàng 
thu được công thức (8a). Đây cũng là điều cần chứng 
minh. 
Dựa trên kết quả Định lý 1, định lý sau đây là kết 
quả chính của bài báo, trong đó tín hiệu điều khiển 
đảm bảo giữ hệ ổn định và cực tiểu hóa hàm mục tiêu 
(3). 
Định lý 2: 
Xét đối tượng điều khiển (1) thỏa mãn các điều 
kiện (1a) và (2). Bộ điều khiển dự báo sẽ giải bài toán 
tối ưu sau đây trong mỗi bước tính toán tk, 
 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒𝛼𝑘,𝑋𝑘,𝑌𝑘𝛼𝑘 (14) 
sao cho: 
[
1 𝑥𝑇(𝑡𝑘)
𝑥(𝑡𝑘) 𝑋
] > 0, (14a) 
[
1 𝑐𝑖
𝑇𝑋𝑘 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌𝑘
(𝑐𝑖
𝑇𝑋𝑘 + 𝑑𝑖
𝑇𝑌𝑘)
𝑇 𝑋𝑘
] > 0, 
với i=1, 2, ,l (14b) 
 với j=1, ...,θ (14c) 
sau khi đo đạc 𝑥(𝑡𝑘), 
sau đó tính 𝑃𝑘 = 𝛼𝑋𝑘
−1, 𝐾𝑘 = 𝑌𝑘𝑋𝑘
−1. 
Theo đó: 
(i) Bài toán tối ưu (14) là tối ưu lồi khi cố định 𝜏 >
0. Khi bài toán giải được ở t = 0 thì sẽ giải được ở tk. 
(tính khả thi của bài toán tối ưu), 
(ii) Giá trị 𝛼𝑘 luôn là chặn trên của phiếm hàm 
mục tiêu (3) tại mỗi thời điểm tk, 
(iii) Nếu bài toán tối ưu là khả thi khi t = 0, tín 
hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑘𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑡𝑘, 𝑡𝑘+1] sẽ đảm 
bảo hệ ổn định tiệm cận. 
Chứng minh: 
 (i) Sử dụng điều kiện (14c) và các kỹ thuật biến 
đổi tương tự như phần chứng minh cho Định lý 1, ta 
thấy điều kiện (14c) thỏa mãn khi: 
𝑥𝑇(𝐴𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐴𝑗𝐾
𝑇𝐵𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐵𝑗𝐾 + 𝑄 +
𝐾𝑇𝑅𝐾)𝑥 + 𝑔𝑇𝐺𝑇𝑃𝑥 + 𝑥𝑇𝑃𝐺𝑔 < 0 với j=1, ...,θ 
 (15) 
Xét hàm Lyapunov có dạng 𝑉𝑘(𝑥) = 𝑥
𝑇𝑃𝑘𝑥 . 
Đạo hàm bậc nhất của hàm này có dạng 
�˙� = 𝑥𝑇(𝐴𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐴𝑗𝐾
𝑇𝐵𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐵𝑗𝐾)𝑥 + 𝑔
𝑇𝐺𝑇𝑃𝑥 +
𝑥𝑇𝑃𝐺𝑔 với j=1, ...,θ (16) 
Do ma trận Q và R là ma trận xác định dương nên 
khi điều kiện (15) thỏa mãn thì �˙� luôn xác định âm 
khi t >tk. (15) và (16) cũng đảm bảo rằng: 
𝑥(𝑡𝑘+1)
𝑇𝑃𝑘𝑥(𝑡𝑘+1) < 𝑥(𝑡𝑘)
𝑇𝑃𝑘𝑥(𝑡𝑘) (17) 
Kết hợp với điều kiện (14a), (17) chỉ ra rằng: 
𝑥(𝑡𝑘+1)
𝑇𝑃𝑘𝑥(𝑡𝑘+1) < 𝑥(𝑡𝑘)
𝑇𝑃𝑘𝑥(𝑡𝑘) < 𝛼 (18) 
45 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) JMST 
(18) cho thấy nghiệm của bài toán giải tại 𝑡𝑘 cũng 
sẽ là nghiệm của bài toán giải tại 𝑡𝑘+1, tức là nếu bài 
toán giải được tại 𝑡𝑘 thì cũng sẽ tồn tại lời giải tai 𝑡𝑘. 
Với k bắt đầu từ 0, ta có kết luận (i). 
(ii) (15) có thể được viết dưới dạng: 
 𝑥𝑇(𝑄 + 𝐾𝑇𝑅𝐾)𝑥 < −𝑥𝑇(𝐴𝑗
𝑇𝑃 + 𝑃𝐴𝑗𝐾
𝑇𝐵𝑗
𝑇𝑃 +
𝑃𝐵𝑗𝐾)𝑥 − 𝑔
𝑇𝐺𝑇𝑃𝑥 − 𝑥𝑇𝑃𝐺𝑔 với j=1, ...,θ (19) 
Chú ý rằng 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑘𝑥(𝑡) và vế phải của (19) là 
�˙� , do đó (19) chính là: 
𝑥𝑇𝑄𝑥 + 𝑢𝑇𝑅𝑢 < −�˙� (20) 
Tích phân hai vế của (20) từ 𝑡𝑘 đến ∞ , ta có 
𝐽(𝑡𝑘) < 𝑥(𝑡𝑘)
𝑇𝑃𝑘𝑥(𝑡𝑘), so sánh với (18) sẽ có: 
𝐽(𝑡𝑘) < 𝛼𝑘 (21) 
Như vậy, hàm mục tiêu luôn bị chặn bởi giá trị 𝛼𝑘 
tại mỗi 𝑡𝑘. Ý nghĩa của kết luận này là khi giải bài 
toán (14) để cực tiểu hóa giá trị của 𝛼𝑘, chúng ta cũng 
cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu. 
(iii) Với hàm Lyapunov đã chọn, chúng ta đã chỉ 
ra rằng trong miền (𝑡𝑘, 𝑡𝑘+1) đạo hàm của nó xác 
định âm, tức là hàm Lyapunov luôn giảm. Chúng ta 
cần chỉ ra rằng tại các điểm không liên tục như 𝑡𝑘+1 
thì hàm Lyapunov cũng giảm chứ không tăng. Thật 
vậy, do kết luận của chứng minh trong (i) nên dẫn tới: 
𝑥(𝑡𝑘+1)
𝑇𝑃𝑘+1𝑥(𝑡𝑘+1) < 𝑥(𝑡𝑘)
𝑇𝑃𝑘𝑥(𝑡𝑘) (22) 
Như vậy, hệ kín ổn định tiệm cận với tín hiệu điều 
khiển uk= Kk xk. Định lý 2 đã chỉ ra cách thức hoạt 
động của bộ điều khiển. Tại thời điểm tk bộ điều khiển 
đo giá trị trạng thái xk, giải bài toán tối ưu (14) để thu 
được giá trị ma trận Kk và đưa ra tín hiệu điều khiển 
uk= Kk xk.. Sau đó quá trình này lại lặp lại. 
4. Ví dụ và kết quả mô phỏng 
Trong phần này một ví dụ sẽ được trình bày để 
minh họa phương pháp thiết kế bộ điều khiển dự báo 
bền vững đã trình bày ở trên. Xét đối tượng điều khiển 
là một tay máy robot (Hình 1) được mô tả bởi phương 
trình toán như sau: 
𝑥1˙ = 𝑥2
𝑥2˙ = −(48.6 − 𝛿)𝑥1 − 1.25𝑥2 + 48.6𝑥3 + 21.6𝑢
𝑥3˙ = 𝑥4
𝑥4˙ = 19.5𝑥1 − 16.7𝑥3 − 3.33𝑔(𝑥3)
(22) 
Trong đó 𝛿 là tham số không chắc chắn, có thể 
thay đổi từ 0,1 đến 3. Hàm số g(z) là hàm phi tuyến, 
có dạng: 
𝑔(𝑧) = 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛(𝑧) (23) 
Như vậy hàm g(x) luôn nằm giữa miền 0 ≤
𝑔(𝑧) ≤ 2𝑧, thỏa mãn điều kiện (2) với w=2. 
Trạng thái ban đầu của hệ tại x0=(1.2,0,0,0). Yêu 
cầu điều khiển về gốc tọa độ với 
|𝑢| < 1, |𝑥1| < 𝜋 2⁄ , |𝑥3| < 𝜋 2⁄ (24) 
Ma trận Q và R được chọn là Q=diag(1,0.1,1,0.1), 
R=0,1. 
5. Kết luận 
Bài báo đã trình bày một phương pháp điều khiển 
dự báo bền vững dựa trên LMI dành cho hệ Lur’e có 
tham số không chắc chắn dưới các điều kiện ràng buộc 
về trạng thái và tín hiệu điều khiển. Bằng các chứng 
minh toán học rõ ràng và ví dụ minh họa được mô 
phỏng, bài báo đã cho thấy phương pháp thiết kế bộ 
điều khiển giải quyết được bài toán đề ra. 
Bài báo là bước đầu của các nghiên cứu mở rộng 
sau này. Thứ nhất, nghiên cứu có thể được mở rộng ra 
cho bài toán với hệ rời rạc. Thứ hai, do các định lý nêu 
Hình 3. Kết quả mô phỏng tín 
hiệu điều khiển và đại lượng 
Hình 4. Kết quả mô phỏng các trạng thái hệ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) 
JMST 
46 
ra trong bài là các điều kiện đủ nên lời giải sẽ còn dư 
địa để cải thiện. Ví dụ, có thể trong quá trình điều 
khiển, thông tin về hệ được cập nhật để giảm tính 
không chắc chắn của tham số trong hệ, qua đó chất 
lượng điều khiển sẽ được cải thiện. Thứ ba, ngoài 
phương pháp dựa trên LMI với cửa sổ dự báo đến vô 
cùng, có thể sử dụng phương pháp điều khiển dự báo 
với cửa sổ hữu hạn và so sánh kết quả hai phương pháp 
điều khiển, đánh giá phương pháp nào cho kết quả tốt 
hơn về mặt lý thuyết. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Basil Kouvaritakis, Mark Cannon: Model 
Predictive Control, Nhà xuất bản Springer, 2016. 
[2] Stephen Boyd, Laurent El Ghaoui, Eric Feron, 
Venkataramanan Balakrishnan: Linear matrix 
inequalities in system and control theory, Nhà xuất 
bản SIAM, 1994. 
[3] Rolf Findeisen, Frank Allgöwer, Lorenz T. 
Biegler: Assessment and Future Directions of 
Nonlinear Model Predictive Control (Lecture Notes 
in Control and Information Sciences), NXB 
Springer, 2007. 
[4] Sasa V. Rakovic, William S. Levine: Handbook 
of Model Predictive Control, NXB Birkhause, 2019. 
[5] Lars Grune, Jurgen Pannek: Nonlinear Model 
Predictive Control: Theory and Algorithms, NXB 
Springer, 2017. 
[6] [Christoph Böhm: Predictive Control using Semi-
definite Programming - Efficient Approaches for 
Periodic Systems and Lur'e Systems, Luận án Tiến 
Sĩ, Đại học Stuttgart, 2011. 
Ngày nhận bài: 09/01/2020 
Ngày nhận bản sửa lần 01: 14/02/2020 
Ngày nhận bản sửa lần 02: 05/03/2020 
Ngày duyệt đăng: 15/03/2020