Chinh phục kỳ thi THPT Quốc gia - Ứng dụng tích phân

MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 108 
Ta có 
2 2
2 2 0. tan 30
3
R xNM y R x NP MN . 
MNP có diện tích 
2 21 1. .
2 2 3
R xS x NM NP . 
Thể tích hình nêm là 
2 2
1
1d d
2 3
R R
R R
R xV S x x x
3
2 31 1 2 3
3 92 3
R
R
RR x x
. 
* Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm: 
2 3
1
2 2 tan
3 3
V R h R , trong đó 
2
ABR , PMN . 
Câu 183: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho một mô hình 3 D mô phỏng 
một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5 cm ; khi cắt 
hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có 
độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công 
thức 23
5
y x cm , với x cm là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm 
mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị 3cm ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm 
tròn kết quả đến hàng đơn vị ) 
A. 29 . B. 27 . C. 31. D. 33 . 
Lời giải 
Chọn A 
Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình 
vẽ trên. 
Parabol P có phương trình 2: , 0P y ax h a 
Có ;0B h P 20 ah h 1 0a dohh 
Diện tích S của thiết diện: 
2
21 4dx
3
h
h
hS x h
h 
 , 
23
5
 h x 
2
4 23
3 5
S x x 
Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình: 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 109 
25 5
0 0
4 2dx 3 dx 28,888
3 5
 V S x x 
 329 cmV 
Câu 184: (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một chi tiết máy được thiết 
kế như hình vẽ bên. 
Các tứ giác ,ABCD CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5cm . Tứ giác ABEF là hình chữ nhật 
có 3,5BE cm . Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol P có đỉnh parabol 
nằm trên cạnh EF . Thể tích của chi tiết máy bằng 
A. 3395
24
cm . B. 350
3
cm . C. 3125
8
cm . D. 3425
24
cm . 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi hình chiếu của ,P Q trên AF và BE là R và S . Vật thể được chia thành hình lập phương 
.ABCD PQRS có cạnh 2,5cm , thể tích 31
125
8
V cm và phần còn lại có thể tích 2V . Khi đó thể 
tích vật thể 1 2 2
125
8
V V V V . 
Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng với F , Ox trùng với FA , Oy trùng với tia Fy song song 
với AD . Khi đó Parabol P có phương trình dạng 2y ax , đi qua điểm 51;
2
P 
 do đó 
25 5
2 2
a y x . 
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm ,0 1;0;0M x x ta được thiết 
diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là 25
2
 MN x và 5
2
 MK do đó diện tích 225
4
S x x 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 110 
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có 
1
2
2
0
25 25
4 12
V x dx 
Từ đó 3125 25 425
8 12 24
V cm 
Câu 185: (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình 
elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm . Biết cứ 31000cm dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố 
giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước 
sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. 
A. 183000 đồng. B. 180000 đồng. C. 185000 đồng. D. 190000 đồng. 
Lời giải 
Chọn A 
Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình 
2
2 125
2
y 
2 2
2
2
25 1
2 14
xy
2
2
25 1
2 14
xy . 
Do đó thể tích quả dưa là 
2
14 2
2
14
25 1
2 14
xV x 
 d
22 14 2
2
14
25 1
2 14
dx x 
142 3
2
14
25 .
2 3.14
xx 
225 56.
2 3
8750
3
3cm . 
Do đó tiền bán nước thu được là 8750 .20000 183259
3.1000
 đồng. 
Câu 186: (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018) Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích 
thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường 
Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân) 
A. 3320V cm . B. 31005,31V cm . C. 3251,33V cm . D. 3502,65V cm . 
Lời giải 
Chọn C 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 111 
Parabol có phương trình 2 25 8
8 5
y x x y 
Thể tích tối đa cốc: 
10
0
8 . 251,33
5
V y dy . 
Câu 187: (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Có một cốc nước thủy tinh hình 
trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng 
nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm 
miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy. 
A. 3240 cm . B. 3240 cm . C. 3120cm . D. 3120 cm . 
Lời giải 
Chọn A 
Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có: 
 2 2 2 21 . . tan
2
S x R x R x 2 21 tan2S x R x . 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 112 
Thể tích hình cái nêm là: 2 2 31 2tan d tan2 3
R
R
V R x x R 
 . 
Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên 32 tan
3kn
V R . 
3 32 . 240cm
3kn
hV R
R
 . 
Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ Oxyz 
Gọi S x là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox với khối 
nước, mặt phẳng này cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 0 h x . 
Gọi , ,  IOJ FHN OE x 
6tan
10
IJ EF
OJ OE
 6
10
xEF 66
10
xHF . 
66
10cos 1
6 10
x
HF x
HN

 ; arccos 1
10
 
x 
 2
1 1.2 . .sin 2
2 2
  HMNhinhquatS x S S HN HM HN 
2
2 16 arccos 1 .6.6.2 1 1 1
10 2 10 10
x x xS x 
210 10
0 0
d 36arccos 1 36 1 1 1 d 240
10 10 10
x x xV S x x x
 . 
Câu 188: (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho vật thể đáy là hình tròn có 
bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox 
tại điểm có hoành độ 1 1x x thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của 
vật thể đó là 
O xE J
H
M
N
F
I

x S x
10cm
12cm
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 113 
A. 3V . B. 3 3V . C. 4 3
3
V . D. V . 
Lời giải 
Chọn C 
Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng 
vuông góc với trục Ox được thiết diện là tam giác đều do 
đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục 
Oy tại điểm O . 
Cạnh của tam giác đều thiết diện là: 22 1a x . 
Diện tích tam giác thiết diện là: 
2
23 1 3
4
aS x . 
Thể tích khối cần tìm là: 
11 1 3
2
0 0 0
4 32 2 3 1 2 3
3 3
xV Sdx x x
 . 
Câu 189: (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân 
có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á 
được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền sân là một elip E có trục lớn dài 150m , trục 
bé dài 90m (hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của 
 E và cắt elip ở ,M N (hình 3) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm 
I (phần tô đậm trong hình 4) với MN là một dây cung và góc 090 .MIN Để lắp máy điều 
hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên 
mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể 
tích xấp xỉ bao nhiêu? 
1-x2
O x
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 114 
Hình 3 
A. 357793m . B. 3115586m . C. 332162m . D. 3101793m . 
Lời giải 
Chọn B 
Chọn hệ trục như hình vẽ 
Ta cần tìm diện tích của S x thiết diện. 
Gọi ,d O MN x 
2 2
2 2: 1.75 45
x yE 
Lúc đó 
2 2
2
2 22 2 45 1 90 175 75
x xMN y
2 2 2
2
2 2
90 90. 1 . 1
75 2 752 2
MN x xR R
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 115 
2
2 2 2
2
1 1 1 1 20252 . 1 .
4 2 4 2 2 75
xS x R R R 
Thể tích khoảng không cần tìm là 
75 2
3
2
75
20252 . 1 115586 .
2 75
xV m 
Câu 190: (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang 
(mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài 
(mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng 
(như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 
là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). 
A. 31,52mV . B. 31,31mV . C. 31,27mV . D. 31,19mV . 
Lời giải 
Chọn A 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
Theo đề bài ta có phương trình của Elip là 
2 2
11 4
4 25
x y . 
Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. 
Gọi 1S là diện tích của Elip ta có 1
1 2.
2 5 5
S ab . 
Gọi 2S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . 
Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên 
ta có phương trình của đường thẳng MN là 1
5
y . 
Mặt khác từ phương trình 
2 2
11 4
4 25
x y ta có 24 1
5 4
y x . 
Do đường thẳng 1
5
y cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là 3
4
 và 3
4
 nên 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 116 
3 3
4 4
2 2
2
3 3
4 4
4 1 1 4 1 3d d
5 4 5 5 4 10
S x x x x
 . 
Tính 
3
4
2
3
4
1 d
4
I x x
 . 
Đặt 1 1sin d cos d
2 2
x t x t t . 
Đổi cận: Khi 3
4
x thì 
3
t ; Khi 3
4
x thì 
3
t . 
3 3
2
3 3
1 1 1 1 2 3. cos d 1 cos 2 d
2 2 8 8 3 2
I t t t t
 . 
Vậy 2
4 1 2 3 3 3
5 8 3 2 10 15 20
S 
. 
Thể tích của dầu trong thùng là 3 .3 1,52
5 15 20
V 
. 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 117 
 DẠNG TOÁN 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Câu 191: (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 
liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y f x trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. 
Tìm mệnh đề đúng 
A. 0 5 3f f f . B. 3 0 5f f f . 
C. 3 0 5f f f . D. 3 5 0f f f . 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có 
5
3
5 3 0f x x f f d , do đó 5 3f f . 
3
0
3 0 0f x x f f d , do đó 3 0f f 
5
0
5 0 0f x x f f d , do đó 5 0f f 
Câu 192: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x 
như hình bên. Đặt 22 1g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. 1 3 3g g g B. 1 3 3g g g 
C. 3 3 1g g g D. 3 3 1g g g 
 BÀI TẬP NỀN TẢNG & VẬN DỤNG  
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 118 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có 2 2 1g x f x x 
 10 1
3
x
g x f x x
x
. 
Bảng biến thiên 
Suy ra 3 1g g và 3 1g g . (1) 
Gọi 1S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: '( ), 1, 3, 1y f x y x x x 
Gọi 2S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1, '( ), 1, 3y x y f x x x 
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: 1 2 0S S . 
Suy ra: 1 2 0S S 
1 3
3 1
1 d 1 d 0f x x x x f x x
1 3
3 1
1 d 1 d 0f x x x f x x x
3
3
1 d 0f x x x
 . 
Khi đó: 
3 3
3 3
3 3 d 2 1 d 0g g g x x f x x x
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 1 3 3g g g . 
Câu 193: (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số ( )y f x . Đồ thị ( )y f x của hàm số như 
hình bên. Đặt 22g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 119 
A. 3 3 1g g g B. 1 3 3g g g 
C. 3 3 1g g g D. 1 3 3g g g 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có  2 2 0 3;1; 3g x f x x g x x . 
Từ đồ thị của y f x ta có bảng biến thiên của hàm g x . 
Suy ra 3 1g g . 
Kết hợp với BBT ta có: 
1 3 3 3
3 1 1 1
d d d dg x x g x x g x x g x x
 3 1 3 1 3 3g g g g g g 
Vậy ta có 3 3 1g g g . 
Câu 194: (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số 'y f x như 
hình vẽ. Đặt 22 .h x f x x Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. 4 2 2h h h B. 2 2 4h h h 
C. 4 2 2h h h D. 2 4 2h h h 
Lời giải 
Chọn D 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 120 
Ta có  ' 2 ' ; ' 0 2; 2; 4 .h x f x x h x x 
Bảng biến thiên 
Suy ra 2 4h h . 
Kết hợp với đồ thị hàm số y=x ta có 
4
2
d 0 4 2 0 4 2 .h x x h h h h 
Vậy ta có 2 4 2h h h . 
Câu 195: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị của hàm số f x như hình bên dưới. 
Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. 0 2 1f f f . B. 0 1 2f f f . 
C. 2 0 1f f f . D. 1 0 2f f f . 
Lời giải 
Chọn B 
Theo đồ thị, ta có: 
0
1
0 1 d 0f f f x x
 0 1f f 1 , 
2 0 2
1 1 0
2 1 d d d 0f f f x x f x x f x x
 1 2f f 2 . 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 121 
Từ 1 và 2 0 1 2f f f . 
Câu 196: (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số .f x Đồ thị của hàm số 
 y f x trên  3;2 như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol 
2 . y ax bx c ) 
Biết 3 0, f giá trị của 1 1 f f bằng 
A. 23
6
 B. 31
6
 C. 35
3
 D. 9
2
Lời giải 
Chọn B 
Parabol 2 y ax bx c có đỉnh 2;1 I và đi qua điểm 3;0 nên ta có 
2
2 12
4 2 1 4 4 3.
9 3 0 3
b
aa
a b c b y x x
a b c c
Do 3 0 f nên 1 1 1 0 0 1 2 1 3 f f f f f f f f 
1 0 1
2
0 1 3
( )d ( )d 2 4 3 d
 f x x f x x x x x 
1
2
1 2
3
3 8 312 4 3 d 1 .
2 3 6
 S S x x x 
Với 1 2,S S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , y f x trục Ox và 
hai đường thẳng 1, 0 x x và 0, 1. x x 
Dễ thấy 1 2
31; .
2
 S S
Câu 197: (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số 
 y f x như hình vẽ. Đặt 22 1g x f x x . 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 122 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. 1 3 5g g g . B. 1 5 3g g g . 
C. 5 1 3g g g . D. 3 5 1g g g . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có 2 1g x f x x ; 0g x 1f x x . 
Dựa vào đồ thị ta có các nghiệm sau: 
1
3
5
x
x
x
. 
Ta có bảng biến thiên 
Ngoài ra dựa vào đồ thị ta có 
3 5
1 3
1 1d d
2 2
g x x g x x
 3 51 3g x g x 
 3 1 3 5g g g g 5 1g g . 
Vậy 3 5 1g g g . 
Câu 198: (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số 
 3 2( ) , , , , 0y f x ax bx cx d a b c d a có đồ thị là C . Biết rằng đồ thị C đi 
qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số '( )y f x cho bởi hình vẽ bên. 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 123 
Tính giá trị (4) (2)H f f ? 
A. 45H . B. 64H . C. 51H . D. 58H . 
Lời giải 
Chọn D 
Theo bài ra 3 2( ) , , , , 0y f x ax bx cx d a b c d a do đó y f x là hàm bậc hai 
có dạng 2y f x a x b x c . 
Dựa vào đồ thị ta có: 
1
4
4
c
a b c
a b c
3
0
1
a
b
c
 23 1y f x x . 
Gọi S là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục Ox , 4,x 2x . 
Ta có 
4
2
2
3 1 dx 58S x . 
Lại có: 
44
2 2
dx 4 2S f x f x f f . 
Do đó: 4 2 58H f f . 
Câu 199: (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x 
như hình vẽ bên. Đặt 
 
2;6
maxM f x
 , 
  2;6minm f x , T M m . Mệnh đề nào dưới đây 
đúng? 
A. 0 2T f f . B. 5 2T f f . 
C. 5 6T f f . D. 0 2T f f . 
Lời giải 
Chọn B 
 CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 124 
Gọi 1S , 2S , 3S , 4S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x với 
và trục hoành. 
Quan sát hình vẽ, ta có 
 
0 2
2 0
d df x x f x x
 0 02 2f x f x 
 0 2 0 2f f f f 2 2f f 
 
2 5
0 2
d df x x f x x 0 52 2f x f x 
 0 2 5 2f f f f 0 5f f 
 
5 6
2 5
d df x x f x x 5 52 6f x f x 
 5 2 5 6f f f f 2 6f f 
Ta có bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
 
2;6
max 5M f x f
 và 
 
2;6
min 2m f x f
Khi đó 5 2T f f .