Chinh phục kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề: Vận dụng cao môn Toán

12R . 
I2I1
BA
Ta có 
2 2
1 2 1 2 1 22 3 12 13 4 12 313 16T iz z AB I I R R . 
Vậy max 313 16T . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có 2 1 1 2 1iz i z i . Gọi 0 1 2z i có điểm biểu diễn là 1; 2I . 
Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của 1z , 2z . Vì 1 2 2z z nên I là trung điểm của AB . 
Ta có 2 2 2 21 2 2 4 16 4z z OA OB OA OB OI AB . 
Dấu bằng khi OA OB . 
Lời giải 
Chọn B 
 VÍ DỤ 1: Cho hai số phức 1z , 2z thỏa mãn 1 3 5 2z i và 2 1 2 4iz i . Tìm giá 
trị lớn nhất của biểu thức 1 22 3T iz z . 
A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 313 2 5 . 
 VÍ DỤ 2: Giả sử 1z , 2z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 2 1iz i và 
1 2 2z z . Giá trị lớn nhất của 1 2z z bằng 
A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3 . 
 VÍ DỤ 3: Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 6 3 1 3 5 10u i u i , 1 2v i v i . 
Giá trị nhỏ nhất của u v là: 
A. 
10
3
 B. 
2 10
3
 C. 10 D. 
5 10
3
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 237 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
 Ta có: 3 6 3 1 3 5 10u i u i 
5 10
6 1 3
3
u i u i 1 2
5 10
3
MF MF . 
u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm 1 20;6 , 1;3F F , tâm 
1 9
;
2 2
I
 và độ dài 
trục lớn là 
5 10
2
3
a 
5 10
6
a . 
 1 2 1 21; 3 : 3 6 0F F F F x y . 
 Ta có: 1 2v i v i v i NA NB 
v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với 1; 2 , 0;1A B . 
 1;3AB , 
1 1
;
2 2
K
 là trung điểm của AB : 3 2 0d x y . 
22
1 27
2
3 102 2
,
21 3
d I d
Dễ thấy 1 2F F d 
2 10
min min ,
3
u v MN d I d a . 
 VÍ DỤ 4: Xét các số phức z a bi ( ,a b ) thỏa mãn 3 2 2z i . Tính a b khi 
 1 2 2 2 5z i z i đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 4 3 . B. 2 3 . C. 3 . D. 4 3 . 
Lời giải 
Chọn D 
Cách 1: 
Đặt 3 2z i w với w x yi ,x y . Theo bài ra ta có 2 22 4w x y . 
Ta có 
2 2 221 2 2 2 5 4 2 1 3 4 2 1 3P z i z i w w i x y x y 
2 2 2 2
20 8 2 1 3 2 5 2 2 1 3x x y x x y 
 2 2 2 2 22 2 22 2 1 1 3 2 1 1 3x y x x y x y x y 
 2 3 2 3 6y y y y . 
2 2
1
1
6 3 0
3
4
x
x
P y y
y
x y
. 
Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi 2 2 3z i . 
Cách 2: 
V
ũ
V
ă
n
B
ắ
c
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 238 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
3 2 2z i 2MI ;2M I với 3;2I . 
1 2 2 2 5 2P z i z i MA MB với 1;2A , 2;5B . 
Ta có 2IM ; 4IA . Chọn 2;2K thì 1IK . Do đó ta có 2.IA IK IM 
IA IM
IM IK
IAM và IMK đồng dạng với nhau 2
AM IM
MK IK
 2AM MK . 
Từ đó 2P MA MB 2 MK MB 2BK . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK . 
Từ đó tìm được 2;2 3M . 
Cách 3: 
Gọi ;M a b là điểm biểu diễn số phức .z a bi Đặt 3;2I , 1;2A và 2;5B . 
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn C có tâm I , bán kính 2R sao cho biểu thức 
2P MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Trước tiên, ta tìm điểm ;K x y sao cho 2MA MK M C . 
Ta có 
2 2
2 22 4 4MA MK MA MK MI IA MI IK 
 2 2 2 2 2 2 22 . 4 2 . 2 4 3 4MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA * . 
 * luôn đúng 
2 2 2
4 0
3 4 0
IA IK
M C
R IK IA
 
. 
4 3 4 2
4 0
24 2 0
x x
IA IK
yy
 . 
Thử trực tiếp ta thấy 2;2K thỏa mãn 2 2 23 4 0R IK IA . 
Vì 
2 2 2 21 3 10 4BI R nên B nằm ngoài C . 
Vì 2 21 4KI R nên K nằm trong C . 
Ta có 2 2 2 2 2MA MB MK MB MK MB KB . 
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . 
Do đó 2MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của C và đoạn thẳng .BK 
Phương trình đường thẳng : 2BK x . 
Phương trình đường tròn 
2 2
: 3 2 4C x y . 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
2 2
2 2
3 2 4 2 3
x x
x y y
 hoặc 
2
2 3
x
y
. 
Thử lại thấy 2;2 3M thuộc đoạn BK . 
Vậy 2a , 2 3b 4 3a b . 
 VÍ DỤ 5: Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn i 1 2i 3z và biểu thức 
 2 5 2i 3 3iT z z đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T . Giá trị tích của 
 .M n là 
A. 10 21 B. 6 13
C. 5 21 D. 2 13 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 239 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
Lời giải 
Chọn A 
Gọi iz x y , với ,x y . Khi đó ;M x y là điểm biểu diễn cho số phức z . 
Theo giả thiết, i 1 2i 3z 2 i 3z 
2 2
2 1 9x y . 
Ta có 2 5 2i 3 3iT z z 2 3MA MB , với 5; 2A và 0;3B . 
Nhận xét rằng A , B , I thẳng hàng và 2 3IA IB . 
Cách 1: 
Gọi là đường trung trực của AB , ta có : 5 0x y . 
2 3T MA MB PA PB . Dấu “ ” xảy ra khi M P hoặc M Q . 
Giải hệ 
2 2
5 0
2 1 9
x y
x y
8 2 2 2
;
2 2
P
 và 
8 2 2 2
;
2 2
Q
. 
Khi đó max 5 21M T . 
Vậy . 10 21M n . 
Cách 2: 
Ta có A , B , I thẳng hàng và 2 3IA IB nên 2 3 0IA IB . 
 2 22 3MA MB 
2 2
2 3MI IA MI IB 2 2 25 2 3MI IA IB 105 . 
Do đó 
2
2 2. 2 3. 3T MA MB 2 25 2 3MA MB 525 hay 5 21T . 
Khi đó max 5 21M T . Dấu “ ” xảy ra khi M P hoặc M Q . 
Vậy . 10 21M n . 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
CÂU 1: Trong các số phức z thỏa mãn 2 1 2z z gọi 1z và 2z lần lượt là các số phức có môđun nhỏ 
nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức 1 2w z z là 
A. 2 2w . B. 2w . C. 2w . D. 1 2w . 
CÂU 2. Cho số phức z và w thỏa mãn 3 4z w i và 9z w . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
T z w . 
A. max 176T . B. max 14T . C. max 4T . D. max 106T . 
CÂU 3: số phức z thỏa mãn 1 2 1 2 4 2i z i z . Gọi maxm z , minn z và số phức 
w m ni . Tính 
2018
w 
A. 
10094 . B. 10095 . C. 10096 . D. 10092 . 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 240 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
CÂU 4: Cho số phức z thỏa mãn 5 1 3 3 1z i z i z i . Tìm giá trị lớn nhất M của 2 3z i ? 
A. 
10
3
M B. 1 13M C. 4 5M D. 9M 
Chọn C 
CÂU 5: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
z i
P
z
 , với z là số phức khác 0 và 
thỏa mãn 2z . Tính tỷ số 
M
m
. 
A. 5
M
m
 B. 3
M
m
 C. 
3
4
M
m
 D. 
1
3
M
m
CÂU 6: Cho số phức z thỏa mãn 1 1z i , số phức w thỏa mãn 2 3 2w i . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của z w . 
A. 13 3 B. 17 3 C. 17 3 D. 13 3 
CÂU 7: Cho số phức z thỏa 1z . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 
5 3 46 2 1P z z z z . Tính M m . 
A. 4m , 3n . B. 4m , 3n C. 4m , 4n . D. 4m , 4n . 
CÂU 8: Cho hai số phức 1 2,z z thỏa mãn 1 1 2z i và 2 1z iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 
1 2z z ? 
A. 2 1m . B. 2 2m . C. 2m . D. 2 2 2m . 
CÂU 9: Xét các số phức z a bi , ,a b thỏa mãn 
2
4 15 1z z i i z z . Tính 4F a b khi 
1
3
2
z i đạt giá trị nhỏ nhất 
A. 7F . B. 6F . C. 5F . D. 4F . 
CÂU 10: Cho số phức z thỏa mãn 1z . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 21 1P z z z . Giá trị của .M m bằng 
A. 
13 3
4
. B. 
13 3
8
. C. 
3
3
. D. 
3 3
8
. 
CÂU 11: Cho hai số phức 1z , 2z thỏa mãn 1 3 5 2z i và 2 1 2 4iz i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 1 22 3T iz z . 
A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 313 2 5 . 
CÂU 12: Cho số phức 1z , 2z thỏa mãn 1 12z và 2 3 4i 5z . Giá trị nhỏ nhất của 1 2z z là: 
A. 0 . B. 2 C. 7 D. 17 
CÂU 13: các số phức z thỏa mãn 4 3 2 z i . Giả sử biểu thức P z đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất khi z lần lượt bằng 1 1 1 z a b i 1 1, a b và 2 2 2 z a b i 2 2, a b . Tính 1 2 S a a 
A. 4 S . B. 6 S . C. 8 S . D. 10 S . 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 241 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
CÂU 14: Cho các số phức z thỏa mãn 2 4 2 1 2 z z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
3 2 P z i . 
A. min 4 P . B. min 2 P . C. min
7
2
 P . D. min 3 P . 
CÂU 15: Cho các số phức z thỏa mãn 1 8 3 53 z i z i . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 P z i . 
A. max 53 P . B. max
185
2
 P . C. max 106 P . D. max 53 P . 
CÂU 16: Cho số phức z thỏa mãn 2z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1 4P z z z z i 
bằng: 
A. 4 2 3 . B. 2 3 . C. 
14
4
15
 . D. 
7
2
15
 . 
GIẢI CHI TIẾT 
CÂU 1: Chọn B 
Đặt z a bi ,a b thì 2 1 2z z 
2
1 2a bi a bi 
2 2 1 2 2a b abi a bi 
2
2 2 2 2 2 21 4 4a b a b a b 
4 4 2 2 2 21 2 6 2 0a b a b a b 
2
2 2 21 4 0a b b 
 2 2 2 21 2 1 2 0a b b a b b 
2 2
2 2
1 2 0
1 2 0
a b b
a b b
TH1: 
2 2 1 2 0a b b 
22 1 2a b . 
Khi đó tập hợp điểm ;M a b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm 1 0;1I , bán kính 
2R , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là 1 0; 2 1M và 2 0;1 2M 
 2 1 1 2w i i 2w i 2w 
TH2: 
2 2 1 2 0a b b 
22 1 2a b . 
Khi đó tập hợp điểm ;M a b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm 2 0; 1I , bán kính 
2R , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là 3 0; 2 1M và 4 0; 2 1M 
 2 1 1 2w i i 2w i 2w . 
CÂU 2. Chọn D 
Đặt ,z x yi x y . Do 3 4z w i nên 3 4w x y i . 
Mặt khác 9z w nên 
2 2 2 22 3 2 4 4 4 12 16 25 9z w x y x y x y 
 2 22 2 6 8 28x y x y 1 . Suy ra 
2 22 2 3 4T z w x y x y . 
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có 2 2 22 2 2 6 8 25T x y x y 2 . 
Dấu " " xảy ra khi 
2 22 2 3 4x y x y . 
Từ 1 và 2 ta có 2 2. 28 25 106 106T T . Vậy 106MaxT . 
CÂU 3: Chọn C 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 242 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
Ta có 1 2 1 2 4 2i z i z 1 1 4z i z i . 
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , 1 1;1F là điểm biểu diễn của số phức 1 1z i và 
 2 1; 1F là điểm biểu diễn của số phức 2 1z i . Khi đó ta có 1 2 4MF MF . Vậy tập hợp 
điểm M biểu diễn số phức z là Elip nhận 1F và 2F làm hai tiêu điểm. 
Ta có 1 2 2 2 2 2 2F F c c c . 
Mặt khác 2 4 2a a suy ra 2 2 4 2 2b a c . 
Do đó Elip có độ dài trục lớn là 1 2 2 4A A a , độ dài trục bé là 1 2 2 2 2B B b . 
Mặt khác O là trung điểm của AB nên m max z maxOM 1OA 2a và 
n min z minOM 1 2OB b . 
Do đó 2 2w i suy ra 6w 
2018 10096w . 
CÂU 4: Gọi 0;1A , 1;3 , 1; 1B C . Ta thấy A là trung điểm của BC 
2 2 2
2
2 4
MB MC BC
MA
2
2 2 2 22 2 10
2
BC
MB MC MA MA . 
Ta lại có : 5 1 3 3 1z i z i z i 
2 25 3 10.MA MB MC MB MC 
 2 225 10 2 10MA MA 2 5MC 
Mà 2 3 2 4z i z i i 2 4z i i 2 5 4 5z i . 
Dấu " " xảy ra khi 
2 5
1
2 4
z i
a b
, với z a bi ; , a b . 
 2 3 
2 5
z i loai
z i
. 
CÂU 5: Chọn B 
Gọi 1
z i
T T z i
z
 . 
Nếu 1T Không có số phức nào thoả mãn yêu cầu bài toán. 
Nếu 
1
1 2 1
1 1 2
i i
T z z T
T T
. 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình tròn tâm 1;0I có bán kính 
1
2
R . 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 243 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
3
2
1
2
M OB OI R
m OA OI R
3
M
m
 . 
CÂU 6: Chọn B 
Gọi ;M x y biểu diễn số phức z x iy thì M thuộc đường tròn 1C có tâm 1 1;1I , bán kính 
1 1R . 
 ;N x y biểu diễn số phức w x iy thì N thuộc đường tròn 2C có tâm 2 2; 3I , bán kính 
2 2R . Giá trị nhỏ nhất của z w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . 
Ta có 1 2 1; 4I I 1 2 17I I 1 2R R 1C và 2C ở ngoài nhau. 
minMN 1 2 1 2I I R R 17 3 
CÂU 7: Chọn A 
Vì 1z và 
2
.z z z nên ta có 
1
z
z
 . 
Từ đó, 5 3 46 2 1P z z z z 4 4 46 2 1z z z z 4 4 46 2 1z z z . 
Đặt 4z x iy , với ,x y . Do 1z nên 4 2 2 1z x y và 1 , 1x y . 
Khi đó 6 2 1P x iy x iy x iy 
2 22 6 2 1x x y 
2 6 2 2 2x x 
2
2 2 1 3x . 
Do đó 3P . Lại có 1 1x 0 2 2 2x 1 2 2 1 1x 4P . 
Vậy 4M khi 4 1z và 3m khi 
4 1 3 i
2 2
z . Suy ra 1M m . 
CÂU 8: Chọn D 
Đặt 1 ; ,z a bi a b 2z b ai 
 1 2z z a b b a i . 
Nên 
2 2
1 2 12.z z a b b a z 
Ta lại có 1 1 12 1 1 2z i z i z 
1 2 2z . Suy ra 1 2 12. 2 2 2z z z . 
Dấu " " xảy ra khi 0
1 1
a b
. 
Vậy 1 2min 2 2 2m z z . 
CÂU 9: Chọn A 
Ta có 
2
4 15 1z z i i z z 
2
4 15 1a bi a bi i i a bi a bi 
2
8 15 2 1b a 
suy ra 
15
8
b . 
2 2 2 21 1 1 13 2 1 2 6 8 15 4 24 36 4 32 21
2 2 2 2
z i a b b b b b b 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 244 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
Xét hàm số 24 32 21f x x x với 
15
8
x 
15
8 32 0,
8
f x x x  suy ra f x là hàm số đồng biến trên 
15
;
8
 nên 
15 4353
8 16
f x f
. 
Do đó 
1
3
2
z i đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
1 4353
2 16
 khi 
15 1
;
8 2
b a . 
Khi đó 4 7F a b . 
CÂU 10: Chọn A 
Đặt 1 1 2t z z nên  0;2t . 
Do 1z nên . 1z z 21 . 1 1P z z z z z z z z . 
Ta có 
22 1 1 1 . 1 2t z z z z z z z z z nên 2 2z z t . 
Vậy 2 3P f t t t , với  0;2t . 
Khi đó, 
2
2
3 khi 3 2
3 khi0 3
t t t
f t
t t t
 nên 
2 1 khi 3 2
2 1 khi0 3
t t
f t
t t
. 
 0f t 
1
2
t . 
 0 3f ; 
1 13
2 4
f
; 3 3f ; 2 3f . 
Vậy 
13
4
M ; 3m nên 
13 3
.
4
M m . 
CÂU 11: Chọn A 
Ta có 1 13 5 2 2 6 10 4z i iz i 1 ; 2 21 2 4 3 6 3 12iz i z i 2 . 
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 12iz , B là điểm biểu diễn số phức 23z . Từ 1 và 2 suy ra 
điểm A nằm trên đường tròn tâm 1 6; 10I và bán kính 1 4R ; điểm B nằm trên đường tròn 
tâm 2 6;3I và bán kính 2 12R . 
I2I1
BA
Ta có 
2 2
1 2 1 2 1 22 3 12 13 4 12 313 16T iz z AB I I R R . 
Vậy max 313 16T . 
CÂU 12: Chọn B 
Gọi 1 1 1iz x y và 2 2 2iz x y , trong đó 1x , 1y , 2x , 2y ; đồng thời 1 1 1;M x y và 
 2 2 2;M x y lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 1z , 2z . 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 245 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
Theo giả thiết, ta có: 
2 2
1 1
2 2
2 2
144
3 4 25
x y
x y
 . 
Do đó 1M thuộc đường tròn 1C có tâm 0;0O và bán kính 1 12R , 2M thuộc đường tròn 
 2C có tâm 3;4I và bán kính 2 5R . 
Mặt khác, ta có 
 2
1 25 7
O C
OI R R
 nên 2C chứa trong 1C . 
(C2)
(C1)
M2
O
M1
I
Khi đó 1 2z z 1 2M M . Suy ra 1 2 1 2 minminz z M M 1 2 1 22 2M M R R . 
CÂU 13: Chọn C 
Gọi z a bi , , a b 
 4 3 2 4 3 2 4 3 2 z i a ib i a b i 
2 2
4 3 4 a b 
Khi đó tập hợp các điểm ;M a b biểu diễn số phức z a bi thuộc vào đường tròn C có tâm 
 4; 3 I , 2 R . Ta có 2 23 4 5 OI . 
Suy ra 
max
5 2 7 z OI R , 
min
5 2 3 z OI R . 
Gọi là đường thẳng qua hai điểm OI ta có 
phương trình của :3 4 0 x y . Gọi M và N lần lượt là hai giao điểm của và C 
sao cho 3 OM và 7 ON khi đó 
3 12 9
;
5 5 5
7 28 21
;
5 5 5
OM OI M
ON OI N
1
2
28 21
5 5
12 9
5 5
z i
z i
28 12
8
5 5
 S . 
CÂU 14: Chọn D 
Ta có 2 4 2 1 2 z z i z i 2 2 1 2 0 z i z i z i
2 0
2 1 2
z i
z i z i
. 
Do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm 0;2A và 
đường trung trực của đoạn thẳng BC với 0; 2 B , 1; 2 C . 
Ta có 1;0 BC , 
1
;0
2
M là trung điểm BC nên phương trình đường trung trực của BC là 
: 2 1 0 x .Đặt 3;2 D , 3 DA , 
7
,
2
 d D . 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 246 
 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC 
Khi đó 3 2 P z i DN , với N là điểm biểu diễn cho z . 
Suy ra min min , , 3 P DA d D . 
CÂU 15: Chọn C 
Xét 1;1 , 8;3A B ta có 53 AB 
 các điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB 
1 2 P z i MM với M là điểm biểu diễn số phức z , M là điểm biểu diễn số phức 
1 2 z i 
Phương trình đường thẳng : 2 7 5 0 AB x y 
Hình chiếu vuông góc của M lên AB là 
1
87 13
;
53 53
M 
Ta có A nằm giữa 1M và B nên P MM lớn nhất 1 MM lớn nhất 8 3  M B z i 
max 106 P . 
CÂU 16: Chọn A 
Gọi i, ,z x y x y . Theo giả thiết, ta có 2 22 4z x y . 
Suy ra 2 , 2x y . 
Khi đó, 2 1 2 1 4P z z z z i 2 22 22 1 1 2x y x y y 
 2 22 22 1 1 2P x y x y y 22 2 1 2y y . 
Dấu “ ” xảy ra khi 0x . 
Xét hàm số 22 1 2f y y y trên đoạn  2; 2 , ta có: 
2
2
1
1
y
f y
y
2
2
2 1
1
y y
y
; 
1
0
3
f y y . 
Ta có 
1
2 3
3
f
; 2 4 2 5f ; 2 2 5f . 
Suy ra 
 
2; 2
min 2 3f y
 khi 
1
3
y . 
Do đó 2 2 3 4 2 3P . Vậy min 4 2 3P khi 
1
i
3
z . 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 247