Chinh phục kỳ thi THPT Quốc gia - Hình giải tích Oxyz (Phần 1)

trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , 
đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là. 
A. 1 3 1
5 1 3
x y z 
. B. 1 1 1
5 2 3
x y z . 
C. 1 1 1
5 1 2
x y z 
. D. 1 1 1
5 1 3
x y z 
. 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi M là giao điểm của d và . Khi đó, 1 2 ; ; 2 3M t t t . 
Do điểm M P nên 1;1;1M . 
Đường thẳng có , 5;1;3d Pu u n 
   
. Vậy 1 1 1:
5 1 3
x y z 
. 
Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 4 0P x y z và 
đường thẳng 1 2: .
2 1 3
x y zd Phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )P , 
đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là: 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 137 
A. 1 1 1
5 2 3
x y z . B. 1 3 1
5 1 3
x y z 
. 
C. 1 1 1
5 1 3
x y z 
. D. 1 1 1
5 1 2
x y z 
. 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có VTPT của mp ( )P là (1; 2;1)n ; VTCP của đường thẳng d là (2;1; 3)du 
. 
Vì 
( )
d
P  
  
 nên VTCP của là ( ) , (5; 1; 3)P du n u 
 . 
Lại có   ( )
( )
d M
M d P
P
   
. 
Khi đó (1;1;1)M . 
Vậy phương trình đường thẳng 1 1 1:
5 1 3
x y z 
. 
Câu 68: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 2:
2 1 3
x y zd 
 và mặt phẳng 
 : 2 6 0P x y z . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng nằm 
trong mặt phẳng P cắt và vuông góc với d ? 
A. 2 4 1
1 7 3
x y z . B. 2 2 5
1 7 3
x y z . 
C. 2 4 1
1 7 3
x y z . D. 2 2 5
1 7 3
x y z . 
Lời giải 
Chọn B 
Đường thẳng d tham số 
2
3
2 3
x t
y t
z t
. 
Gọi M d P  . Tọa độ M là nghiệm hệ 
2
3
2 3
2 6 0
x t
y t
z t
x y z
1
2
2
5
t
x
y
z
 2;2;5M . 
Gọi là đường thẳng cần tìm , 1;7;3P du n u 
   
. 
Vậy đường thẳng cần tìm 2 2 5
1 7 3
x y z . 
Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2 4 0 P x y z và đường thẳng 
1 2:
2 1 3
 x y zd . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng 
thời cắt và vuông góc với đường thẳng d . 
A. 1 3 1
5 1 3
x y z . B. 1 1 1
5 1 3
x y z . 
C. 1 1 1
5 1 2
x y z . D. 1 1 1
5 1 3
x y z . 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 138 
Lời giải 
Chọn D 
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là: 1;2;1 
Pn . 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là 2;1;3 du . 
Phương trình tham số của đường thẳng 
1 2
:
2 3
x t
d y t
z t
. 
Xét phương trình: 1 2 2 2 3 4 0 7 7 0 1 t t t t t . 
Suy ra giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P là 1;1;1A . Ta có: A . 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là: , 5; 1; 3 
dPu n u . 
Phương trình chính tắc của đường thẳng 1 1 1:
5 1 3
x y z . 
Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 5 1:
1 1 1
x y z 
 và mặt 
phẳng : 2 3 4 0P x y z . Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P sao cho d cắt và 
vuông góc với đường thẳng . 
A. 1;2;1u 
. B. 1;2;1u 
. C. 1; 2;1u 
. D. 1;2; 1u 
. 
Lời giải 
Chọn B 
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương 1;1; 1u 
. 
Mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến 1;2; 3n 
. 
 , 1;2;1u n 
. 
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 
 nên d nhận 1;2;1du 
 
 làm vectơ chỉ phương. 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 139 
 DẠNG TOÁN 8: GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG. 
Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng có 
phương trình 2 1
1 1 2
x y z và vuông góc với mặt phẳng : 2 1 0x y z . Giao 
tuyến của và  đi qua điểm nào trong các điểm sau. 
A. 2;1;1A . B. 2;1;0D . C. 0;1;0B . D. 1;2;1C . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có véc – tơ chỉ phương của đường thẳng là 1;1;2u
. 
Véc – tơ pháp tuyến của mặt phẳng : 2 1 0x y z là 1;1; 2n 
. 
Vì là mặt phẳng chứa đường thẳng có phương trình 2 1
1 1 2
x y z và vuông góc 
với mặt phẳng : 2 1 0x y z nên có một véc – tơ pháp tuyến là 
 , 4;4;0 4 1; 1;0 4.n u n a 
 
. 
Gọi d   , suy ra d có véc – tơ chỉ phương là , 2;2;2 2 1;1;1du a n 
 
. 
Giao điểm của đường thẳng có phương trình 2 1
1 1 2
x y z và mặt phẳng 
 : 2 1 0x y z là 3;2;2I . 
Suy ra phương trình đường thẳng 
3
: 2
2
x t
d y t
z t
. 
Vậy 2;1;1A thuộc đường thẳng d . 
Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 3 2 2 5 0P x y z và 
 : 4 5 1 0Q x y z . Các điểm , A B phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng 
 P và Q . Khi đó AB cùng phương với véctơ nào sau đây? 
A. w 3; 2;2 
 
. B. v 8;11; 23 
. C. k 4;5; 1 
. D. u 8; 11; 23 
. 
Lời giải 
Chọn D 
* Ta có: 3; 2;2PP n 
, 4;5; 1QQ n 
. 
* Do 
P
Q
AB P AB n
AB Q AB n
     
 nên đường thẳng AB có véctơ chỉ phương là: 
 ; 8; 11; 23Q Pu n n 
* Do AB
 
 cũng là một véc tơ chỉ phương của AB nên // 8; 11; 23AB u 
 
. 
Câu 73: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , 0; 2;1B , mặt phẳng : 7 0P x y z . Đường 
thẳng d nằm trên P sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A , B có phương trình 
là 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 140 
A. 7 3
2
x t
y t
z t
. B. 7 3
2
x t
y t
z t
. C. 7 3
2
x t
y t
z t
. D. 
2
7 3
2
x t
y t
z t
. 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có 3; 1;0AB 
 
; 3 5; ;1
2 2
I 
 là trung điểm của AB và ,A B nằm ở hai phía của mặt 
phẳng P . 
Gọi là mặt phẳng trung trực của AB và P  . Khi đó chính là đường thẳng 
thuộc mặt phẳng P và cách đều hai điểm ,A B . 
Phương trình mặt phẳng đi qua 3 5; ;1
2 2
I 
 và có véc tơ pháp tuyến 3; 1;0AB 
 
 là: 
53 0 3 7 0
2 2
x y x y 
. 
Khi đó d là đường giao tuyến của và P . 
Véctơ chỉ phương của : , 1;3; 2 1; 3; 2d Pd u n n 
   
, d đi qua 0;7;0A . 
Vậy d có phương trình tham số là: 7 3
2
x t
y t
z t
 ( t là tham số). 
Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng 
2 1:
1 1 2
x y z 
 và vuông góc với mặt phẳng : 2 1 0x y z . Khi đó giao tuyến 
của hai mặt phẳng ,  có phương trình 
A. 2 1
1 5 2
x y z 
. B. 1
1 1 1
x y z 
. C. 1 1
1 1 1
x y z . D. 2 1
1 5 2
x y z 
. 
Lời giải 
Chọn B 
2 1:
1 1 2
x y z 
 đi qua 2;1;0M và có : 1;1; 2vtcp u 
. 
 : 2 1 0x y z có : 1;1;2vtpt n 
. 
, 4; 4;0 4 1; 1;0
:
đi quaM
vtpt u n
 . 
Phương trình : 2 1 0x y 1 0x y . 
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ,  . Ta có: 
 0; 1;0
, 2;2; 2 2 1;1; 1
:d
đi qua N
vtcp n n 
  . 
Phương trình 1:
1 1 1
x y zd 
. 
Câu 75: Trong không gian Oxyz , Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt 
phẳng : 2 1 0x y z và : 2 0x y z 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 141 
A. 
2
2
1 3
x t
y t
z t
. B. 
1
1 2
3
x t
y t
z t
. C. 
1
1 2
3
x t
y t
z t
. D. 
1 3
1 2
x t
y t
z t
. 
Lời giải 
Chọn C 
 : 2 1 0x y z có vectơ pháp tuyến là: 1;2;1n 
 
. 
 : 2 0x y z có vectơ pháp tuyến là: 1; 1; 1n 
 
. 
Khi đó: , 1;2; 3n n  
  
. 
Vì đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 1 0x y z và 
 : 2 0x y z nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là u cùng phương với 
,n n  
  
. Do đó chọn 1; 2;3u . 
Tọa độ ; ;M x y z thỏa hệ phương trình: 2 1 0
2 0
x y z
x y z
. 
Cho 1x ta được: 2 2 1 1;1;0
1 0
y z y
M
y z z
. 
Phương trình đường thẳng đi qua điểm 1;1;0M và có vectơ chỉ phương 1; 2;3u 
là: 
1
: 1 2
3
x t
y t
z t
. 
 DẠNG TOÁN 9: ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
CHÉO NHAU. 
Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1
4 1 5:
3 1 2
x y z 
 và 
2
2 3:
1 3 1
x y z . Giả sử 1M , 2N sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai 
đường thẳng 1 và 2 . Tính MN
 
. 
A. 5; 5;10MN 
 
 B. 2; 2;4MN 
 
 C. 3; 3;6MN 
 
 D. 1; 1;2MN 
 
Lời giải 
Chọn B 
1 có VTCP 1 3; 1; 2u 
 
 và 2 có VTCP 2 1;3;1u 
 
. 
Gọi 4 3 ;1 ; 5 2M t t t và 2 ; 3 3 ;N s s s . 
Suy ra 2 3 ; 3 4;2 5MN t s t s t s 
 
. 
Ta có 1
2
. 0
. 0
MN u
MN u
  
  
2 3 0
8 9 0
s t
s t
1
1
s
t
. 
Vậy 2; 2;4MN 
 
. 
Câu 77: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau 3 2 1:
4 1 1
x y zd 
 và 
1 2' :
6 1 2
x y zd 
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng vuông góc 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 142 
chung của d và 'd ? 
A. 1 1 1
1 2 2
x y z . B. 1 1
1 2 2
x y z . 
C. 1 1
1 2 2
x y z . D. 1 1
1 2 2
x y z . 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi 
3 4 ; 2 ; 1
6 ;1 ;2 2 b
A a a a d
B b b d
 sao cho 
AB d
AB d
 
  
Ta có 4 6 3; 3;2 3AB a b b a b a 
 
; 4;1;1du 
 
; 6;1;2du 
 
; 
. 0
. 0
d
d
AB u
AB u 
  
  
4 4 6 3 3 2 3 0
6 4 6 3 3 2 2 3 0
a b b a b a
a b b a b a
1
0
a
b
 1; 1;0A , 0;1;2B , 1;2;2AB 
 
. 
Vậy phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và 'd là 1 1
1 2 2
x y z . 
Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vuông góc chung của hai 
đường thẳng 2 3 4:
2 3 5
x y zd và 1 4 4:
3 2 1
x y zd 
A. 1
1 1 1
 x y z . B. 2 2 3
2 3 4
 x y z . 
C. 2 2 3
2 2 2
 x y z . D. 2 3
2 3 1
x y z . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có M d suy ra 2 2 ;3 3 ; 4 5 M m m m . Tương tự N d suy ra 1 3 ;4 2 ;4 N n n n
. Từ đó ta có 3 3 2 ;1 2 3 ;8 5 
 
MN n m n m n m . 
Mà do MN là đường vuông góc chung của d và d nên 
 
  
MN d
MN d
2 3 3 2 3. 1 2 3 5 8 5 0
3 3 3 2 2. 1 2 3 1 8 5 0
n m n m n m
n m n m n m
38 5 43
5 14 19
m n
m n
1
1
m
n
. 
Suy ra 0;0;1M , 2;2;3N . 
Ta có 2;2;2 
 
MN nên đường vuông góc chung MN là 1
1 1 1
 x y z . 
Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1
1 2:
2 1 1
x y zd 
 và
2
1 1 3:
1 7 1
x y zd 
 . Đường vuông góc chung của 1d và 2d lần lượt cắt 1d , 2d tại A và B . 
Tính diện tích S của tam giác OAB . 
A. 3
2
S . B. 6S . C. 6
2
S . D. 6
4
S . 
Lời giải 
Chọn C 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 143 
Phương trình tham số 
1
1 1
1
1 2
:
2
x t
d y t
z t
, 1 2; 1;1a 
 
 là VTCP của . 
Phương trình tham số 
2
1 2
2
1
: 1 7
3
x t
d y t
z t
, 2 1;7; 1a 
 
là VTCP của . 
 1 1 2 ; ; 2A d d A a a a  . 
 2 1 ;1 7 ;3B d d B b b b  . 
 2 2 ;1 7 ;5AB b a b a b a 
 
AB là đường vuông góc chung của 1d và 2d 
1 1
2 2
. 0
. 0
AB d AB a
AB d AB a
   
  
  
2 2 2 1 7 5 0
2 2 7 1 7 5 0
b a b a b a
b a b a b a
1;0; 26 6 0
0
52 6 0 1;1;3
Ab a
a b
b a B
 . 
Ta có 
 1;0; 2 ; 1;1;3 ; , 2; 1;1OA OB OA OB 
    
 .Vậy 1 6,
2 2OAB
S OA OB 
  
. 
Câu 80: Trong không gian Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng 
1
: 0
5
x t
d y
z t
 và 
0
: 4 2
5 3
x
d y t
z t
 có phương trình là 
A. 4 2
2 3 2
x y z 
. B. 4 2
2 3 2
x y z 
. 
C. 4 2
2 3 2
x y z 
. D. 4 2
1 3 1
x y z 
. 
Lời giải 
Chọn A 
Giả sử AB là đường vuông góc chung của d và d với A d , B d . 
Ta có 1;0;1du 
 
, 0; 2;3du 
 
, 
1;0; 5
1;2 4; 3 10
0;4 2 ;3 5
A a a
BA a b a b
B b b
 
. 
Khi đó 
1 3 10 0. 0 3
12 2 4 3 3 10 0. 0
d
d
a a bu BAd AB a
d AB bb a bu BA 
   
  
  
4;0; 2
4; 6; 4 2;3;2
0;6;2
A
BA u
B
 
 là một VTCP của AB . 
Kết hợp với AB qua 4;0; 2A 4 2:
2 3 2
x y zAB 
. 
1d
2d
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 144 
 DẠNG TOÁN 10: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA D LÊN (P). 
Câu 81: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của 
đường thẳng 1 2 3
2 3 1
x y z trên mặt phẳng Oxy ? 
A. 
1
2 3
0
x t
y t
z
. B. 
1
2 3
0
x t
y t
z
. C. 
1 2
2 3
0
x t
y t
z
. D. 
1
2 3
0
x t
y t
z
. 
Lời giải 
Chọn C 
Đường thẳng 1 2 3
2 3 1
x y z qua 1; 2;3M và 3;1;4N . 
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của M và N trên Oxy ta có 1; 2;0M , 3;1;0N . 
Phương trình hình chiếu cần tìm là: 
1 2
: 2 3
0
x t
M N y t
z
. 
Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 3 1 1:
2 1 3
x y zd 
. Hình chiếu 
vuông góc của d trên mặt phẳng Oyz là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là 
A. 0;1;3u 
. B. 0;1; 3u 
. C. 2;1; 3u 
. D. 2;0;0u 
. 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có d cắt mặt phẳng Oyz tại 5 70; ;
2 2
M M 
, chọn 3;1;1A d và gọi B là hình 
chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oyz 0;1;1B . 
Lại có 3 90; ;
2 2
BM 
 
. Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm sẽ cùng 
phương với vectơ BM
 
 nên chọn đáp án B. 
Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 3 5 2 8 0P x y z và đường 
thẳng 
7 5
: 7 
6 5
x t
d y t t
z t
 . Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng 
d qua mặt phẳng .P 
A. 
11 5
: 23
32 5
x t
y t
z t
. B. 
13 5
: 17
104 5
x t
y t
z t
. 
C. 
5 5
: 13
2 5
x t
y t
z t
. D. 
17 5
: 33
66 5
x t
y t
z t
. 
Lời giải 
Chọn C 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 145 
Gọi 7; 7;6M d . Gọi ; ;N x y z là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng P và I là 
trung điểm MN . 
Ta có: 
PMN kn
I P
  
 7; 7; 6 3; 5;2
3 5 2 84 0
x y z k
x y z
. 
Giải hệ, ta có: 4k 5;13; 2M . Do đó: 
5 5
: 13
2 5
x t
y t
z t
. 
Câu 84: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng 1 2:
1 2 1
x y zd 
 trên 
mặt phẳng Oyz . 
A. 
1
: 0
0
x t
d y
z
. B. 
0
: 4 2
1
x
d y t
z t
. C. 
0
: 4 2
1
x
d y t
z t
. D. 
0
: 4 2
1
x
d y t
z t
. 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: 
1
: 2 2
x t
d y t
z t
 Hình chiếu d của d lên mặt phẳng Oyz là: 
0
: 2 2
x
d y t
z t
Cho 1t , ta được 0; 4;1A d 
0
: 4 2
1
x
d y t
z t
. 
Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1: 1 2
2
xd y z . Hình chiếu 
của d lên mặt phẳng Oxy là 
A. 
1 2
1
0
x t
y t
z
. B. 
1 2
1
0
x t
y t
z
. C. 
1 2
1
0
x t
y t
z
. D. 
0
1
0
x
y t
z
. 
Lời giải 
Chọn B 
 Phương trình tham số của đường thẳng 
1 2
: 1
2
x t
d y t
z t
. 
 Do mặt phẳng : 0Oxy z nên hình chiếu của d lên Oxy là 
1 2
1
0
x t
y t
z
. 
Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
. Hình chiếu song 
song của d lên mặt phẳng Oxz theo phương 1 6 2:
1 1 1
x y z 
 có phương trình là 
 CĐ: TỌA ĐỘ OXYZ HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM 
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12 Trang | 146 
A. 
3
0
1 2
x t
y
z t
. B. 
1 2
0
5 4
x t
y
z t
. C. 
3 2
0
1
x t
y
z t
. D. 
3 2
0
1 4
x t
y
z t
. 
Lời giải 
Chọn A 
Giao điểm của d và mặt phẳng Oxz là: 0(5;0;5)M . 
Trên 
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
 chọn M bất kỳ không trùng với 0(5;0;5)M ; ví dụ: (1; 2;3)M . Gọi A là 
hình chiếu song song của M lên mặt phẳng Oxz
theo phương 1 6 2:
1 1 1
x y z 
. 
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với 1 6 2:
1 1 1
x y z 
. 
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và Oxz 
+/ Ta tìm được (3;0;1)A 
Hình chiếu song song của 
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
 lên mặt phẳng Oxz
theo phương 
1 6 2:
1 1 1
x y z 
 là đường thẳng đi qua 0(5;0;5)M và (3;0;1)A . 
Vậy phương trình là 
3
0
1 2
x t
y
z t
. 
 HẾT 