Bài giảng Mô hình hóa nhận dạng và mô phỏng - Chương 2: Mô hình hóa

I
dt
dH
IT 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Nhiệt trở truyền nhiệt: 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Nhiệt trở truyền nhiệt: 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
hRV 12
Nhiệt trở đối lưu: 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Nhiệt trở bức xạ: 
hRR 12
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
2.3.5 Phân tích vật lý hệ lưu chất lỏng 
a. Các phần tử lưu chất 
Các biến trong hệ lưu chất : 
• Áp suất: p [N/m2] 
• Thể tích: V [m3] 
 • Lưu lượng: q [m3/sec] 
 dt
dV
q 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Các phần tử hệ lưu chất : 
• Lưu trở: 
Lưu trở của đường ống: 
 [N.sec/m] 
Lưu trở đường ống còn tính theo: 
Công thức trên chỉ đúng trong trường hợp lưu chất chảy tầng (có 
hướng), và đường ống dẫn lưu chất dài (l > 20d) 
4
128
d
l
RL

q
p
RL 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Lưu trở: 
Lưu trở của van: phi tuyến 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Lưu trở: 
Lưu trở của van: phi tuyến 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Lưu trở: 
Lưu trở của van: phi tuyến 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Dung: 
pg
A
CL 
p
V
CL 
 qdt
C
p
L
1
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Dung: 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Dung: 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
• Quán tính: 
a
l
IL
dt
dq
Ip L 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
2.3.6 Một số ví dụ: 
Ví dụ 2.5: Mô hình hóa hệ thống sau: 
Cách 1: Dùng định luật Newton 
Chiếu lên phương chuyển động, 
áp dụng định luật II Newton: 
 sin)()( PtFtxm 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Cách 2: Dùng công thức Euler–Lagrange: 
Động năng: 
Thế năng: 
Áp dụng công thức Euler–Lagrange: 
2
2
1
xmT  
 sinmgxU 
 sin
2
1 2 mgxxmUTL 
Fmgxm
dt
d
F
x
L
x
L
dt
d




 sin)( 

Fmgxm sin
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.6: Mô hình hóa hệ thống giảm sốc của xe máy : 
Cách 1: Dùng định luật Newton 
)()()()( txbtkxtftxm  
)()()()( tftkxtxbtxm 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Cách 2: Áp dụng công thức Euler-Lagrange: 
Động năng: 
Thế năng: 
2
2
1
xmT  
2
2
1
kxU 
22
2
1
2
1
kxxmUTL 
xbf
x
L
x
L
dt
d






xbfkxxm
dt
d
 )(
)()()()( tftkxtxbtxm 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Cách 3: Áp dụng sự tương đồng giữa hệ thống điện và hệ thống cơ: 
Thế: f ↔ U 
Lượng: x ↔ q 
Dung: 1/k ↔ C 
 Trở: b ↔ R 
 Cảm: m ↔ L 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Cách 3: Áp dụng sự tương đồng giữa hệ thống điện và hệ thống cơ: 
Quan hệ giữa dòng và áp của mạch điện tương: 
)(
1
)( sULs
Cs
RsI 
)(
1)( 2 sULs
C
Rs
s
sI
)(
1
)( 2 sULs
C
RssQ 
)()(
1
)()( tutq
C
tqRtqL 
)()()()( tftkxtxbtxm 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.7: Mô hình hóa hệ con lắc ngược 
Trong đó: 
 M : trọng lượng xe [Kg] 
 m : trọng lượng con lắc [Kg] 
 l : chiều dài con lắc [m] u : lực tác động vào xe [N] 
 g : gia tốc trọng trường [m/s2] 
 x : vị trí xe [m] 
 θ : góc giữa con lắc và phương thẳng 
 đứng [rad] 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Cách 1: Dùng định luật Newton 
Gọi (xP, yP) là tọa độ của vật nặng m ở đầu con lắc, ta có: 
Áp dụng định luật II Newton cho chuyển 
động theo phương x, ta có: 
Thay xP vào: 


cos
sin
ly
lxx
P
P
F
dt
xd
m
dt
xd
M P 
2
2
2
2
Flx
dt
d
m
dt
xd
M )sin(
2
2
2
2

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Triển khai đạo hàm: 
Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động quay của con lắc 
quanh trục ta được: 
Thay xP và yP vào: 
 Khai triển các đạo hàm và rút gọn ta được: 
 sinsincos
2
2
2
2
mgll
dt
yd
ml
dt
xd
m PP 
FmlmlxmM   )(cos)(sin)( 2
 sinsin)cos(cos)sin(
2
2
2
2
mglll
dt
d
mllx
dt
d
m 
 sincos mgmlxm 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Kết hợp hai phương trình: 
Ta được: 
FmlmlxmM   )(cos)(sin)( 2
 sincos mgmlxm 
2
2
)(cos
sincos)(sin


mmM
mgmlF
x


lmMml
mlgmMF
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
2
2





CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Cách 2: Dùng công thức Euler–Lagrange 
Gọi (xP, yP) là tọa độ của vật nặng m ở đầu con lắc, ta có: 
Động năng của vật nặng đầu con lắc: 
Động năng của xe: 


cos
sin
ly
lxx
P
P
2222 )sin(
2
1
)cos(
2
1
2
1
2
1
  lmlxmyxT PPP 
222
2
1
cos
2
1
  mlxmlxmTP 
2
2
1
xMTC  
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Động năng của hệ thống: 
Thế năng của hệ thống chính là thế năng vật nặng đầu con lắc: 
Phương trình 
Euler – Lagrange: 
222
2
1
cos)(
2
1
  mlxmlxmMTTT PC 
cosmglU 
 cos
2
1
cos)(
2
1 222 mglmlxmlxmML 
0 









LL
dt
d
F
x
L
x
L
dt
d


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Phương trình Euler – Lagrange: 
Suy ra: 
0sincos
)(sin)(cos)( 2


mgmlxm
FmlmlxmM


2
2
)(cos
sincos)(sin


mmM
mgmlF
x


lmMml
mlgmMF
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
2
2





CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.8: Mô hình hệ tay máy hai bậc tự do 
l1, l2 : chiều dài của 2 cánh tay 
m1, m2 : khối lượng 
φ1, φ2 : góc quay của các khớp cánh tay 
τ1, τ2 : moment làm quay các khớp nối 
Tọa độ của cánh tay máy trong hệ tọa độ De-cac: 
22112
22112
111
111
coscos
sinsin
cos
sin
lly
llx
ly
lx
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Vận tốc : 
Động năng: 
111
111
1
1
1
sin
cos




l
l
y
x
v
222111
222111
2
2
2
sinsin
coscos




ll
ll
y
x
v
)(
2
1
)(
2
1 2
2
2
22
2
1
2
11 yxmyxmT  
)sinsincos(cos
2
1
2
1
2
1
212121212
2
2
2
22
2
1
2
12
2
1
2
11


llm
lmlmlmT
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Thế năng: 
)coscos(cos 22112111 llgmglmU 
)coscos(cos
)sinsincos(cos
2
1
2
1
2
1
22112111
212121212
2
2
2
22
2
1
2
12
2
1
2
11
llgmglm
llm
lmlmlmUTL


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Phương trình Euler–Lagrange: 
Thay vào 
2
22
1
11










LL
dt
d
LL
dt
d


11121
2
22121212
221212121
2
121
sin)()sincoscos(sin
)sinsincos(cos)(
 
glmmllm
llmlmm


2222
2
12121212
121212122
2
22
sin)sincoscos(sin
)sinsincos(cos
 
glmllm
llmlm


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.9: Mô hình toán bồn chứa chất lỏng (Single Tank) 
A: tiết diện ngang bồn chứa 
a: tiết diện van xả 
k: hệ số tỉ lệ với công suất 
 máy bơm 
Phương trình cân bằng: 
Dòng vào: 
Dòng ra: 
Trong đó: : áp suất 
 : hệ số xả 
)()())(( tqtqtAh
dt
d
outin 
)(.)( tuktqin 
)()/2()( 222 tpCatq Dout 
)()( tghtp 
6,0 DC
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.9: Mô hình toán bồn chứa chất lỏng (Single Tank) 
Phương trình cân bằng: 
))(2)(.(
1
)( tghaCtuk
A
th D 

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.10: Mô hình toán hệ bồn nối tiếp (Cascade Tank) 
Phương trình cân bằng: 
))(2)(2(
1
)(
))(2)(.(
1
)(
222111
2
2
11111
1
1
tghCatghCa
A
th
tghCatuk
A
th
DD
D


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.11: Mô hình toán hệ bồn liên kết (Coupled Tank) 
Phương trình cân bằng: 
)||2)sgn(2.(
1
)||2)sgn(2.(
1
2112121222222
2
2
2112211211111
1
1
hhgahhCghCauk
A
h
hhgahhCghCauk
A
h
DD
DD


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.12: Sự tương đồng giữa hệ lưu chất và hệ thống điện: 
Để 2 mô hình trên tương 
đương ta cần giả thiết bồn 
chứa rất lớn, khi hệ thống 
vận hành độ cao mực chất 
lỏng trong bồn chứa thay 
đổi không đáng kể. 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.13: Mô hình toán lò sấy 
θs (t) : nhiệt độ nguồn nhiệt 
θ (t) : nhiệt độ lò sấy 
H (t) : dòng nhiệt 
Dòng nhiệt 
Phương trình cân bằng: 
T
S
R
tt
tH
)()(
)(
 
)(
)(
tH
dt
td
CT 

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Nhiệt trở 
 d: chiều dài lò sấy 
 A: tiết diện ngang 
 k: hệ số dẫn nhiệt 
 CT = cM : nhiệt dung 
 c: nhiệt dung riêng của môi trường truyền nhiệt 
 M: khối lượng môi trường truyền nhiệt 
Mô hình toán của lò sấy 
Ak
d
RT
2
)()(
)(
tt
dt
td
CR STT 

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Trường hợp lò sấy dài, có thể mô hình hóa bằng cách chia làm 
nhiều ngăn: 
Dòng nhiệt: 
2
21
2
1
1
1
)()(
)(
)()(
)(
T
T
S
R
tt
tH
R
tt
tH


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Trường hợp lò sấy dài, có thể mô hình hóa bằng cách chia làm 
nhiều ngăn: 
Phương trình cân bằng: 
Mô hình toán hệ thống 
)(
)(
)()(
)(
2
2
2
21
1
1
tH
dt
td
C
tHtH
dt
td
C
T
T


2
212
2
2
21
1
11
1
)()()(
)()()()()(
T
T
TT
S
T
R
tt
dt
td
C
R
tt
R
tt
dt
td
C


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
2.4 PHÂN TÍCH TOÁN HỌC 
• Kết hợp tất cả các hệ phương trình mô tả đặc tính động của các bộ 
phận chức năng để được hệ phương trình mô tả hệ thống. 
• Tuyến tính hóa quan hệ phi tuyến để được mô tả toán học tuyến tính 
Xét hệ phi tuyến bậc n có p ngõ vào, q ngõ ra mô tả bởi phương 
trình trạng thái. 
trong đó: 
 là vector trạng thái, 
 là vector tín hiệu vào, 
 là vector tín hiệu ra; 
 là vector hàm mô tả đặc tính động của hệ phi tuyến. 
)(),(()(
))(),(()(
tutxhty
tutxftx
ntx  )(
ptu  )(
qty  )(
qn hf   (.),(.)
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Khai triển Taylor xung quanh điểm làm việc tĩnh , ta có thể mô 
tả hệ thống bằng phương trình trạng thái tuyến tính: 
Trong đó: 
)(~)(~)(~
)(~)(~)(~
tutxty
tutxtx
DC
BA
xtxtx )()(~
),( ux
ututu )()(~
ytyty )()(~ )),(( uxhy 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng được tính như sau: 
),(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
),(
...
............
...
...
uxn
nnn
n
n
ux
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A




















CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng được tính như sau: 
),(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
),(
...
............
...
...
uxn
nnn
n
n
ux
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
B




















CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng được tính như sau: 
),(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
),(
...
............
...
...
uxn
qqq
n
n
ux
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
C




















CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng được tính như sau: 
),(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
),(
...
............
...
...
uxp
qqq
p
p
ux
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
D




















CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Kết hợp các khối trog mô tả toán học hệ thống: 
• Phương pháp đại số sơ đồ khối – Phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu 
và công thức Mason để tìm hàm truyền tương đương của hệ tuyến 
tính. 
• Đánh giá sự phù hợp của mô hình 
• Dùng mô hình để dự báo đáp ứng của hệ thống đối với tín 
hiệu vào cho trước. 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.14: Mô hình toán hệ con lắc ngược truyền động dùng động 
cơ DC, xét ảnh hưởng của ma sát: 
Đặc tính động của hệ xe–con lắc 
có xét đến ảnh hưởng của ma sát: 
Thực hiện Tương tự như thí dụ 2.7, 
tuy nhiên lực tác động phải kể thêm lực ma sát: 
Trong đó: fC - lực ma sát tác động lên xe 
 fP - lực ma sát tác động lên con lắc 
CfFmlmlxmM 
 )(cos)(sin)( 2
Pfmgmlxm  sincos

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
* Đặc tính ma sát: 
Giả thiết có cả ma sát tĩnh và ma sát nhớt tác động làm cản trở 
chuyển động của xe và con lắc. Các lực ma sát này có thể mô tả 
bằng các phương trình sau: 
Trong đó: Ax, Bx, Cx, Aθ, Bθ, Cθ > 0 
||)sgn(
||
xBeAxf x
xC
xC
x   
||)sgn(
||  


   BeAf CP 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
* Đặc tính động cơ 
Trong đó: 
La : điện cảm phần ứng Ra : điện trở phần ứng 
Ia : dòng điện phần ứng Va : điện áp phần ứng 
Eb : sức phản điện (sđđ phần ứng) Kb : Hệ số tốc độ động cơ 
ω : tốc độ quay động cơ r : bán kính puli 
Kg : hệ số giảm tốc độ 
dt
dx
r
K
KE
EIRV
dt
dI
L
g
bb
baaa
a
a
 ;
 ;
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
* Đặc tính động cơ 
Trong đó: 
Jm : moment quán tính động cơ ω : tốc độ quay động cơ 
Tm : moment động cơ Tl : mô men tải 
Bm : hệ số ma sát Ki : hệ số mô men 
Kg : hệ số giảm tốc độ r : bán kính puli 
Ia : dòng điện phần ứng 
rFTIKKT
BTT
dt
d
J
lagim
mlm
. ;
 

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
* Hệ phương trình động học của động cơ 



rFT
iKKT
BTT
dt
d
J
dt
dx
r
K
Ke
eiRv
dt
di
L
l
agim
mlm
g
bb
baaa
a
a
.




FI
r
KK
x
r
BK
x
r
JK
Vx
r
KK
IRIL
a
gimgmg
a
gb
aaaa


22
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
* Đặc tính động cơ có thể biểu diễn theo Ia , x và F như sau: 
FI
r
KK
x
r
BK
x
r
JK
Vx
r
KK
IRIL
a
gimgmg
a
gb
aaaa


22
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Do đó mô hình toán học của hệ xe con lắc với tín hiệu vào là điện 
áp cấp cho động cơ như sau: 
FI
r
KK
x
r
BK
x
r
JK
Vx
r
KK
IRIL
fmgmlxm
fFmlmlxmM
a
gimgmg
a
gb
aaaa
P
C




22
2
sincos
)(cos)(sin)(


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Do đó mô hình toán học của hệ xe con lắc với tín hiệu vào là điện 
áp cấp cho động cơ như sau: 
a
gb
aaaa
P
Ca
gimg
mg
Vx
r
KK
IRIL
fmgmlxm
fI
r
KK
x
r
BK
mlmlx
r
JK
mM






sincos
)(cos)(sin)(
2
2
2
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Ví dụ 2.15: Xây dựng mô hình tuyến tính của hệ con lắc ngược xung 
quanh vị trí thẳng đứng. 
Hệ phương trình mô tả đặc tính động phi tuyến của hệ con lắc ngược 
(xem ví dụ 2.7) với biến đầu vào là lực tác động vào hệ thống: 
Véc tơ tín hiệu vào 
Véc tơ tín hiệu ra: (là tín hiệu có thể ghi nhận 
được bằng sensor: tốc độ xe và góc nghiêng θ). 
2
2
)(cos
sincos)(sin


mmM
mgmlu
x


lmMml
mlgmMu
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
2
2





1)(   ptu
2)(   qty
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Đặt biến trạng thái: 
TT xxxxxxtx ],,,[],,,[)( 4321  
  





(.)
2
1
11
2
21
4
2
1
2
21111
2
4
3
2
1
)(cos
sincos)(sin
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
)(
f
x xmmM
xxmgxxmlu
x
lmMxml
xxxmlxgmMxu
tx
x
x
x
x
))(),(()( tutxftx 
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Biến tín hiệu ra: 
Điểm cân bằng ở vị trí thẳng đứng: 
Tuyến tính hóa xung quanh điểm cân bằng: 
Với các ma trận hệ số A, B, C, D 
(.)
3
1
)(
)(
)(
h
x
x
tx
t
ty 

TT txtyyty )](),([],[)( 21  
)0,0(),( ux
)(~)(~)(~
)(~)(~)(~
tutxty
tutxtx
DC
BA
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Xác định các ma trận hệ số A, B, C, D 


































000
1000
000
0010
)0,0(4
4
3
4
2
4
1
4
4
3
3
3
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
1
2
4
1
3
1
2
1
1
1
)0,0(
g
M
m
Ml
mM
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Xác định các ma trận hệ số A, B, C, D 










M
Ml
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
4
)0,0(
4
3
2
1
)0,0(
1
0
1
0
B
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 
Xác định các ma trận hệ số A, B, C, D 


















0100
0001
)0,0(4
2
3
2
2
2
1
2
4
1
3
1
2
1
1
1
)0,0(
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
C
)0,0(
)0,0(
2
1
)0,0( 0
0






u
h
u
h
u
h
D