Bài giảng Lý thuyết tín hiệu - Chương 2, Phần 4: Tín hiệu xác định - Võ Thị Thu Sương

Chương II: TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH
1. Các thông số đặc trưng của tín hiệu
2. Tín hiệu xác định thực
3. Tín hiệu xác định phức
4. Phân tích tín hiệu ra các thành phần
5. Phân tích tương quan tín hiệu
6. Phân tích phổ tín hiệu
7. Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính
6. Phân tích phổ tín hiệu
6.1 Phổ của tín hiệu năng lượng
6.2 Phổ của tín hiệu công suất
6.3 Mật độ phổ năng lượng, mật độ phổ công suất 
6.1 Phổ của tín hiệu năng lượng
6.1.1 Định nghĩa
6.1.2 Các tính chất của phổ
6.1.3 Phổ của một số tín hiệu thường gặp
Phổ của tín hiệu năng lượng được xác định bởi biến đổi 
thuận Fourier. Biến đổi Fourier là một công cụ tóan được 
định nghĩa là một cặp biến đổi thuận – ngược như sau:
6.1.1 Định nghĩa
( ) ( ) ( ) .
j t
X F x t x t e d t
1 1
( ) ( ) ( ) .
2
j t
x t F X X e d
x(t) và gọi là cặp biến đổi Fourier( )X
( ) ( )x t XKý hiệu
( ) ( )
j
X X e P jQ
• Đặc điểm ( )X
trong trường hợp tổng quát là một hàm phức( )X
( ) , , ,X P Q
phổ pha, phổ thực, phổ ảo. 
có tên gọi tương ứng là phổ biên độ
2 2
( )X P Q
( )
Q
a r c tg
P
6.1.2 Các tính chất của phổ
. ( ) . ( ) . ( ) . ( )a x t b y t a X b Y
1. Nếu x(t) là tín hiệu thực thì P( ),|X( )| là hàm chẵn 
theo , Q( ), ( ) là hàm lẽ theo 
3. Tính chất tuyến tính
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t X
x t X
x t X
x t X
2. 
( )
t
x a X a
a
4. Tính chất đối xứng
( ) ( )x t X
5. Tính chất đồng dạng
6. Tính chất dịch chuyển trong miền thời gian 
0
0
( )
j t
x t t X e
6.1.2 Các tính chất của phổ
0
0
( )
j t
x t t X e
( ) 2X t x
7. Tính chất dịch chuyển trong miền tần số (điều chế)
6.1.2 Các tính chất của phổ (tt)
0
0
( )
j t
x t e X
0 0 0
1
( ) c o s
2
x t t X X
0
0
( )
j t
x t e X
0 0 0
1
( ) s in
2
x t t X X
j
6.1.2 Các tính chất của phổ (tt)
9. Vi phân trong miền thời gian
( )
( ) . ( )
n
n
n
d x t
j X
d t
( )
( ) 1, 2 , 3 . . .
n
n n
n
d X
j t x t n
d
8. Vi phân trong miền tần số
( )
1 : ( )
d X
n tx t j
d
2
2
2
( )
2 : ( )
d X
n t x t
d
11. Tích chập trong miền thời gian
( ) ( ) ( ) ( )x t y t X Y
12. Tích chập trong miền tần số
1
( ) . ( ) ( ) ( )
2
x t y t X Y
6.1.2 Các tính chất của phổ (tt)
10. Tích phân trong miền thời gian
1
( ) ( )
t
x d X
j
6.1.2 Các tính chất của phổ (tt)
13. Phổ của hàm tương quan và tự tương quan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y
x t y t d t x t y t
Theo định nghĩa ta có
( ) ( ) ( )
x y
F X Y
Đối với hàm tự tương quan x(t) = y(t)
2
( ) ( ) ( )
x
F X mật độ phổ năng lượng
14. Định lý Parseval
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
x t y t d t X Y d
Khi x(t) = y(t) 2 2
1
( ) ( )
2
x
x t d t X d E
Đl Parseval cho ta một sự liên hệ giữa năng lượng được 
xác định trong miền thời gian và miền tần số
6.1.2 Các tính chất của phổ (tt)
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp
( ) 1( ) ( > 0 )
t
x t e t 1
t
0
( )x t
( )X
( )
1
2
2
1
1( )
t
e t
j
2 2
1
X 1ta n
1
( )X
j
2 2
2t
e
1
t
( )x t ( )X
2
( )
t
x t e
2 2
2
X
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)
1t
2
T
2
T
)(tx
t
tx
T
( )X
2
T
4
T
2
T
4
T
1
2
t TT S a
T
2
TX T S a
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)
0
( ) tx t S a
0
( )X
0
0
Áp dụng tính chất đối xứng ta có:
2
T S a
T
t T
t
1 tx
0 0
2
0
3
00
2
0
3
0
00
2
tS a
0 0
2 S a t
0
2
2
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)
( ) tx t
T
1
t
TT
)(tx X
2
T
3
T
4
T
2
T
3
T
4
T
T
( )
2
x
T S a
T
T
T
t T
x t
Áp dụng tính chất phổ của hàm tự tương quan ta có:
2
2
T
F T T S a
T
2
2
Tt T S a
T
20
( ) tx t S a
t
1 tx
0 0
2
0
3
00
2
0
3
( )X
0
2
0
2
0
2
0
00
2
tS a
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)
2 2
/ 2( ) tex t
( )x t1
t
( )X2
2 2 2 22/ 2 / 22te e
6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)
6. Phân tích phổ tín hiệu
6.1 Phổ của tín hiệu năng lượng
6.2 Phổ của tín hiệu công suất
6.3 Mật độ phổ năng lượng, mật độ phổ công suất 
6.2 Phổ của tín hiệu công suất
6.2.1 Phổ của tín hiệu công suất không tuần hòan
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan
6.2.1 Phổ của tín hiệu công suất không tuần 
hòan 
Các tín hiệu công suất không có phổ Fourier thông thường. Để 
tìm phổ của tín hiệu công suất không tuần hòan, ta có thể biểu 
diễn nó bởi giới hạn của một dãy tín hiệu năng lượng.
0
( ) lim ( )
x
x t x t
Mỗi phần tử có phổ Fourier( )x t
0
( ) lim ( )X X
( )X F x t
→ Phổ Fourier giới hạn
Tín hiệu CS x(t) được biểu diễn qua dãy tín hiệu năng lượng sau:
Nếu tồn tại giới hạn của dãy phổ thì ta sẽ có phổ của 
tín hiệu x(t):
( )X
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan (tt) 
( ) tx t t
t
1 X
2 2
/ 2
20
1
lim
2
t
t e
2 2 2 2
/ 2 / 2
2
1
2
t
e e
2 2
/ 2
0
lim 1X e
Chọn dãy hàm gần đúng của (t) là dãy hàm Gausse
Các phần tử của dãy có ảnh Fourier là:
Phổ của (t):
1t
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan (tt) 
( ) 1x t
t
1 x t
X
2
(tính chất đối xứng)
( ) g n ( )x t S t
1
t
0
)(tx
-1
( )X
0
l im s g n ( )
t
x t t e
0
2 2
0
2
1 1
t j t t j t j
X e e d t e e d t
2 2
0
2 2
lim
j
X
j
1 2
2
g n ( )
j
S t
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan (tt) 
( ) 1( )x t t
1
t
0
)(tx ( )X
1 1
1 s g n ( )
2 2
t t
áp dụng kết qủa của hai ví dụ trên ta có:
1
X
j
1 11
c o s 1( )
0 0( ) ( )0 2
0 0
t t
j j
0
0 00 2
0
2 2
s in 1( )t
j j
t
(áp dụng định lý điều chế cho tín hiệu 1(t)
1
1( )t
j
0 00 2
0
.1( )
2 2
c o s t t
j
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan 
Để tìm phổ của tín hiệu tuần hòan ta biểu diễn chúng dưới 
dạng chuỗi Fourier.
0( )
jn t
n
n
x t X e
0
0
1
( )
T
jn t
n
X x t e d t
T
0
2
, 0 ; 1; 2 .. .n
T
0
0
2 ( )
jn t
e nTa có:
Phổ Fourier giới hạn của tín hiệu tuần hòan
Tín hiệu TH x(t) được biểu diễn thành chuỗi Fourier phức sau:
0
2 ( )
n
n
X X n (1)
CuuDuongThanCong.com 
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
 Các tín hiệu tuần hòan đặc biệt:
0
( ) c o sx t t
0 0
( )X
0
( ) s inx t t
0 0
( )X j j
0( )
j t
x t e
0
( ) 2X
(Áp dụng tính 
chất điều chế)
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
 Ví dụ 1: Phổ của dãy xung vuông góc đơn cực
/2/2
A
t
......
T-T
x(t) 5T
Ta có hệ số khai triển Fourier
0 0
/ 2 / 2
0
/ 2 / 2
1
( )
2
T
jn t jn t
n
T
nA A
X x t e d t e d t S a
T T T
0
2
n
A n
X S a n
T T
X
2
T
2 42
T
24
2
T
A
0
2
T
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
 Ví dụ 2: Phổ của phân bố lược
...... t
0 T 2T 3T-T-2T
1 ||| t
T T
0
/ 2
/ 2
1 1
T
jn t
n
T
X t e d t
T T
0
1
2
n
X n
T
......
0
1
T
0
X
0
2
0
2 0
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
 Nhận xét:
Gọi xT(t) = x(t) (t/T) là phần trung tâm của tín hiệu tuần 
hòan x(t). THTH x(t) sẽ được biểu diễn bởi tích chập của 
xT(t) và phân bố lược.
1
( ) ( ) | | |
T
t
x t x t
T T
Với xT(t) là THNL thời hạn hữu hạn (-T/2,T/2) sẽ có phổ 
Fourier là XT( ) = F[xT(t)] 
và
0
1 1
|| | 2
n
t
n
T T T
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
Theo tính chất về phổ của tích chập ta có:
0
1 1
|| | .2
T T
n
t
x t X n
T T T
Hay
0
0
2
T
n
X n
X n
T
(2)
Từ (1), (2) →
0T
n
X n
X
T
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
 Tính chất:
( )
( )
( )
n
n
n
x t X
x t X
x t X
2. 
( )
n
x t X ( )
n
y t Y
n n
n n
X X1. 
3 . . ( ) . ( ) . .
n n
a x t b y t a X b Y
4 . ( ) ; a R ( -0 )
n
t
x a X
a
0
0
5 . ( )
jn t
n
x t t X e
06 . ( )
jn t
n m
x t e X
7 . ( )
n n
x y t X Y
8 .
i n i
i
x t y t X Y
2
x
9 . ( )
 ( )
n n
n
x y t X Y
x x t X
2 2 22
x 0
1
1 0 . ( )
 P ( ) 2
n n
n
n n
n n
x t y t X Y
x t X X X
6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt) 
6.3 Mật độ phổ năng lượng – Mật độ phổ 
công suất 
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng
6.3.2 Mật độ phổ công suất 
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan
b. Tín hiệu tuần hòan
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng
Mật độ phổ năng lượng của tín hiệu năng lượng là đại 
lượng 2
X
Theo tính chất của phổ(tc 13) ta có:
2
x
X
Như vậy và ( là cặp biến đổi Fourier
j
x
e d
1
2
j
x
e d
Với tín hiệu thực, HTTQ chẵn, do đó mật độ phổ năng 
lượng cũng là hàm chẵn theo .
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng (tt)
Như vậy năng lượng của TH có thể được xác định theo 3 cách 
sau:
Khi thay = 0 vào HTTQ ta có:
1
0
2
x x
d E
Năng lượng của TH được xác 
định trong miền tần số
(1) Tính trực tiếp từ tích phân bình phương tín hiệu Ex = [x
2].
(2) Tính từ hàm tự tương quan Ex= (0).
0
1 1
2
x
E d ( khi chẵn)
(3) Tính từ mật độ phổ năng lượng
Năng lượng một dải tần = 2- 1
1 2 2
2 1 1
1 1 1
2 2
x x
E d d E d
( khi chẵn)
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng (tt)
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng (tt)
Ví dụ: Tìm mật độ phổ năng lượng và năng lượng của tín 
hiệu x(t) = e- t1(t) ( >0)
Ta có: 1X
j
2 2
1
1 1
2
F e 1
2
x
E
Năng lượng tín hiệu trong dải tần :
3
,
3
2 2
3
3
1 1 1 1
1 2 6
x x
E d E
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng (tt)
Mật độ phổ năng lượng tương hỗ:
j
x y x y x y
F e d
1 1
2
j
x y x y x y
F e d
y x y x
F
1
y x y x
F
Tương tự:
x y y x
Bởi vì HTQ có tính chất nên
y x
x y
6.3 Mật độ phổ năng lượng – Mật độ phổ 
công suất 
6.3.1 Mật độ phổ năng lượng
6.3.2 Mật độ phổ công suất 
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan
b. Tín hiệu tuần hòan
6.3.2 Mật độ phổ công suất
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan 
Ta có HTTQ của THCS x(t): 
/ 2
/ 2
1
lim
T
T
T
x t x t d t
T
/ 2 / 2
/ 2 / 2
1
lim
T T
j
T
T T
F x t x t d t e d
T
/ 2
/ 2
1
lim
T
j t
T
T
T
e d
T
1
lim
T
T T
Phổ Fourier giới hạn 
/ 2 / 2
/ 2 / 2
1
lim
T T
j
T
T T
x t x t d t e d
T
Như vậy HTTQ và mật độ phổ CS là cặp biến đổi Fourier 
giới hạn 
trong đó T( ) là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu 
xT(t) = x(t) (t/T) tức x(t) được xét trong khỏang thời 
gian T
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan 
l im
T
T T
và
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan 
 Công suất của TH
/ 2
2
/ 2
1
lim ( )
T
x
T
T
P x t d t
T
1
2
x
P d
Tín hiệu xT(t) có năng lượng : 
/ 2
2
/ 2
1
( )
2
T
T
x T
T
E x t d t d
Công suất của x(t) được xác định theo biểu thức sau:
1 1
lim
2
T
T
d
T
1 1 1
lim
2 2
T
T
d d
T
Như vậy CS của tín hiệu có thể được xác định theo các cách 
sau:
(1) Tính trực tiếp từ trị trung bình bình phương tín hiệu Px = 
.
(2) Tính từ hàm tự tương quan Px= (0).
(3) Tính từ mật độ phổ công suất 
0
1 1
2
x
P d d ( khi chẵn)
1 2 2
2 1 1
1 1 1
2 2
x
P d d d
a. Tín hiệu công suất không tuần hòan 
b. Tín hiệu tuần hòan
Theo tính chất của phổ ta có:
2
x n
X
Như vậy, mật độ phổ công suất của THTH:
2
0 0
2 2
x n n
n n
X n n
2
n n
X là hệ số khai triển Fourier của HTTQ
Mật độ phổ công suất của THTH là phổ của HTTQ
Công suất được xác định từ mật độ phổ công suất :
2 2
0
1
2
x n n
n n
P d X n d X
x n
n
P
0
1
2
x n
n
P
Với tín hiệu thực, phổ biên độ là hàm chẵn, do đó
b. Tín hiệu tuần hòan (tt)