Bài giảng Kỹ thuật điện 1 - Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa. Graph Kirchhoff - Nguyễn Việt Sơn

uyễn Việt Sơn - 2010
10
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
III. Phương pháp dòng vòng.
 Phương pháp dòng vòng là phương pháp lập phương trình mạch theo luật Kirchhoff 2 với biến là
dòng điện quy ước chảy trong các vòng của mạch Kirchhoff.
 Nội dung phương pháp:
 Nguồn chính tắc: Nguồn áp. (Nếu có các nguồn dòng cần đổi thành nguồn áp tương đương)
 Nguồn dòng có chiều đi vào đỉnh nào thì nguồn áp tương đương có chiều đi vào đỉnh đó.
 Độ lớn:
 Chọn chiều của dòng điện vòng tương ứng với các vòng của mạch (nên chọn chiều dòng vòng
cùng chiều với chiều của đa số các nguồn áp có trong vòng).
 Viết phương trình mạch theo luật Kirchhoff 2 (n - d + 1 phương trình) với biến là dòng điện
vòng đã chọn.
.td nh nhE J Z
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
11
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
III. Phương pháp dòng vòng.
Ví dụ: Lập phương trình mạch theo phương pháp dòng vòng cho mạch điện sau.
1I
2I
3I
4I
5I
1E
Z2
Z1
Z5
Z4
Z3
5E
J
C
A B
2VI
1E
Z2
Z1
Z4
Z5
5E
C
A B
Z3
3E
 Chuyển nguồn dòng thành nguồn áp tương đương:
3 3.E Z J
 Chọn chiều dòng điện vòng:
 Lập phương trình mạch theo luật Kirchhoff 2 với
biến là dòng điện trong các vòng:
 Vòng 1:
1 2 1 Z Zk k
vong vong
U E U U E
   
1VI
3VI
1 1 21 2 2 1
1 21 2 2 1
. . .
( ). .
KL vongKK
V V V
V V
Z EZ
I Z I Z I Z E
Z Z I Z I E
 Vòng 2:
1 2 32 2 3 4 4 3. ( ). .V V VZ I Z Z Z I Z I E
 Vòng 3:
2 34 4 5 5. ( ).V VZ I Z Z I E
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
12
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
III. Phương pháp dòng vòng.
1 1
1 2 2
22 2 3 4 4 3
4 4 5
3 5
0
.
0
V
V
V
I E
Z Z Z
Z Z Z Z Z I E
Z Z Z
I E
vongZ
vongI
vongE
 Nhận xét:
 Giải hệ phương trình ta được nghiệm:
 Cần tìm dòng điện trong các nhánh.
1 2 3, ,V V VI I I
1E
Z2
Z1
Z4
Z5
5E
C
A B
Z3
3E
2VI
1VI
3VI
1I
2I
4I
5I
 Nhánh không nguồn: 1 1 2 2 3 31 2 4 5 ; ; ( ) ; V V V V V VI I I I I I I I I I
 Nhánh có nguồn:
2I
3I
4I
5I
Z3
J
A B
2VI
1I
1 2 3
1 1 23
23
0
V V V
V
I I I J
I J I I I
I J I
Nút A: Nút B:
3 4 5
2 3 33
23
0
V V V
V
I I I J
I J I I I
I J I
hoặc
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
13
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
III. Phương pháp dòng vòng.
1 1
1 2 2
22 2 3 4 4 3
4 4 5
3 5
0
.
0
V
V
V
I E
Z Z Z
Z Z Z Z Z I E
Z Z Z
I E
vongZ
vongI
vongE
1E
Z2
Z1
Z4
Z5
5E
C
A B
Z3
3E
2VI
1VI
3VI
 Nhận xét:
 Ma trận tổng trở vòng Zvong:
 Zkk = Σ tổng trở có trong vòng thứ k.
 Zkl = Σ tổng trở chung giữa vòng k và vòng l.
 Dương nếu Ivong k và Ivong l cùng chiều nhau.
 Âm nếu Ivong k và Ivong l ngược chiều nhau.
 Ma trận nguồn áp vòng:
Evong k = Σ các nguồn áp có trong vòng k
 Dương nếu nguồn áp cùng chiều dòng vòng
 Âm nếu nguồn áp ngược chiều dòng vòng.
 Số phương trình: (n – d + 1) thường dùng để giải những mạch có số vòng ít
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
14
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế độ
xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
I. Phương pháp dòng nhánh.
II. Phương pháp thế nút.
III. Phương pháp dòng vòng.
IV. Khái niệm về graph Kirchhoff.
V. Các định lý về lập phương trình Kirchhoff.
VI. Ma trận cấu trúc A, B.
VII. Lập phương trình bằng ma trận cấu trúc.
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
15
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
IV. Khái niệm về Graph Kirchhoff.
 Graph là 1 tập d đỉnh (nút) và n nhánh (cung) có hoặc không định chiều nối giữa các đỉnh đó.
 Graph Kirchhoff là 1 graph mô tả cách chắp nối gavanic giữa các vật dẫn, sự phân bố các vùng
năng lượng và sự phân bố các cặp biến dòng, áp nhánh của hệ.
 Nhánh:
 Vật lý: Nhánh đặc trưng cho một vùng năng lượng.
 Hình học: Nhánh là một cung nối giữa 2 đỉnh, có định chiều.
 Đỉnh: Là chỗ chắp nối của 3 nhánh trở lên. 1
2
6
4
3
2
1
5
IV
IIIII
I
Sơ đồ mạch Kirchhoff = Cấu trúc + thông số Graph Kirchhoff = Cấu trúc
e(t)Z6
Z5
Z4Z3
Z2Z1Ví dụ:
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
16
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
IV. Khái niệm về Graph Kirchhoff.
 Cây: Là tập hợp các nhánh của graph nối đủ giữa các đỉnh nhưng không tạo thành vòng kín.
 Cành: Là tập hợp các nhánh của 1 cây. Tùy theo cách chọn cành khác nhau mà một graph có thể có
nhiều cây khác nhau.
Số cành trong 1 cây: d - 1
 Bù cây: Là tập các nhánh cùng với cây tạo thành graph đã cho.
 Bù cành: Là tập hợp các nhánh tạo nên bù cây. Như vậy mỗi bù cành cùng với cành tạo thành 1
vòng kín.
Số bù cành trong 1 graph: n - d + 1
Ví dụ:
6
4
3
2
1
5
IV
IIIII
I
6
4
3
2
1
5
IV
IIIII
I
6
4
3
2
1
5
IV
IIIII
I
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
17
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều
hòa - Graph Kirchhoff
I. Phương pháp dòng nhánh.
II. Phương pháp thế nút.
III. Phương pháp dòng vòng.
IV. Khái niệm về graph Kirchhoff.
V. Các định lý về lập phương trình Kirchhoff.
V.1. Định lý về lập phương trình Kirchhoff 2.
V.2. Định lý về lập phương trình Kirchhoff 1.
VI. Ma trận cấu trúc A, B.
VII. Lập phương trình bằng ma trận cấu trúc.
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
18
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
V.1. Định lý về lập phương trình Kirchhoff 2.
 Định lý 1: Các áp cành trên một cây làm thành 1 tập đủ áp nhánh độc lập.
Chứng minh:
 Các áp cành trên 1 cây không tạo thành 1 vòng kín chúng độc lập với nhau.
 Các áp bù cành khác cùng với áp cành tạo thành vòng kín chúng phụ thuộc vào áp cành
theo luật Kirchhoff 2.
 Số phương trình độc lập viết theo luật Kirchhoff 2 là: n - d + 1.
 Định lý 2: Các hệ phương trình cân bằng áp trên các vòng kín khép bởi mỗi bù cành làm thành
1 hệ đủ phương trình độc lập.
Chứng minh:
 Mỗi vòng chứa riêng và duy nhất 1 áp bù cành và nó phụ thuộc vào áp cành chúng độc lập
với nhau.
 Các phương trình cân bằng áp trên các mắt lưới của 1 graph phẳng tạo thành 1 hệ đủ và độc
lập.
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
19
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
V.2. Định lý về lập phương trình Kirchhoff 1.
 Định lý 1: Các dòng bù cành trên một bù cây tạo thành một tập dòng nhánh độc lập.
Chứng minh:
 Bù cành không chứa tập cắt đỉnh nên chúng không bị ràng buộc bởi luật Kirchhoff 1 chúng
độc lập với nhau.
 Số phương trình độc lập viết theo luật Kirchhoff 1: d – 1.
 Định lý 2: Phương trình cân bằng dòng trên các tập cắt ứng với mỗi cành làm thành hệ đủ và
độc lập.
Chứng minh:
 Do mỗi tập cắt chứa riêng một dòng nhánh.
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
20
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế độ
xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
I. Phương pháp dòng nhánh.
II. Phương pháp thế nút.
III. Phương pháp dòng vòng.
IV. Khái niệm về graph Kirchhoff.
V. Các định lý về lập phương trình Kirchhoff. 
VI. Ma trận cấu trúc A, B.
VI.1. Ma trận đỉnh - nhánh A.
VI.2. Ma trận bù - nhánh B.
VII. Lập phương trình bằng ma trận cấu trúc.
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
21
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI. Ma trận cấu trúc A.
Mạch điện Graph 
Kirchhoff
Ma trận cấu trúc
VI.1. Ma trận đỉnh - nhánh A.
1
0
1
ija
nếu nhánh j đi ra khỏi nút i
nếu nhánh j không dính với nút i
nếu nhánh j đi vào nút i
6
4
3
2
1
5
IV
III
II
I
Ví dụ: Lập ma trận đỉnh - nhánh A của graph cho bởi hình bên.
1 2 3 4 5 6
I
II
III
IV
Đỉnh
Nhánh
-1 0 0 1 0 -1
1 1 1 0 0 0
0 0 -1 0 -1 1
0 -1 0 -1 1 0
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
22
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI.1. Ma trận đỉnh - nhánh A.
 Tính chất:
 Cột: Nhánh thứ i nối 2 đỉnh nào với nhau, và chiều dương của nhánh.
 Hàng: Đỉnh thứ j có những nhánh nào và chiều của mỗi nhánh tại đỉnh đó.
 Mỗi hàng của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại ma trận Athừa
Ma trận Ađủ = Ma trận Athừa - 1 hàng
Ví dụ:
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1
duA
cây bù cành1 2 3 4 5 6
I
II
III
IV
Đỉnh
Nhánh
-1 0 0 1 0 -1
1 1 1 0 0 0
0 0 -1 0 -1 1
0 -1 0 -1 1 0
6
4
3
2
1
5
IV
III
II
I
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
23
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI.1. Ma trận đỉnh - nhánh A.
 Ứng dụng:
 Lập phương trình theo luật Kirchhoff 1:
 Lập phương trình quan hệ giữa điện áp các nhánh và điện thế nút: 
. 0nhA I
1
1
...nh
n xn
I
I
I
trong đó
.tnh nutU A 
1 1
1 1x(d-1) 1
... ; ...nut nh
nd xn
U
U
U
trong đó
bỏ đi đỉnh có 
thế bằng 0
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
24
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI.1. Ma trận đỉnh - nhánh A.
 Chú ý:
Từ ma trận Ađủ ta có thể khôi phục lại được cấu trúc của graph bằng cách:
 Khôi phục lại ma trận Athừa.
 Số hàng của ma trận bằng số đỉnh của graph
 Số cột của ma trận bằng số nhánh của graph.
Ví dụ: Cho ma trận Ađủ. Vẽ lại graph.
1 1 1 1 0
1 1 0 0 1
duA
1 1 1 1 0
1 1 0 0 1
0 0 1 1 1
 1 2 3 4 5
thua
I
A II
III
5
4
2
III
3
II
I
1
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
25
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI.2. Ma trận bù - nhánh B.
 Một graph hoàn toàn xác định nếu ta chỉ rõ tập các nhánh có định chiều và tập các bù cành khép kín 
qua một cây và chỉ rõ mỗi vòng kín gồm các nhánh nào.
1
0
1
ijb
nếu nhánh i tham gia vòng và cùng chiều với bù cành j
nếu nhánh i không không tham gia vòng với bù cành j
nếu nhánh i tham gia vòng và ngược chiều với bù cành j
Ví dụ: Lập ma trận bù - nhánh B của graph cho bởi hình bên.
5
4
2
III
3
II
I
1
6
1 2 3 4 5 6
3
4
5
6
Bù
Nhánh
-1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 -1 0 0 1 0
-1 1 0 0 0 1
Bù cànhCành
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
26
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế độ
xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI.2. Ma trận bù - nhánh B.
 Tính chất:
 Cột: Nhánh j tham gia những vòng nào, và chiều của nó so với chiều của vòng (quy ước chiều
của vòng là chiều của bù).
 Bù cành chỉ tham gia vào vòng của riêng mình mà không tham gia vào các vòng khác.
 Hàng: Cho biết graph có bao nhiêu vòng, mỗi vòng có bao nhiêu nhánh tham gia và chiều của
nó.
B = (Bcành | Bbù) = (Bcành | I)
. 0nhB U
1
1
...nh
n
xn
U
U
U
trong đó:
 Ứng dụng:
 Lập phương trình theo luật Kirchhoff 1:
 Lập phương trình quan hệ giữa dòng điện nhánh và dòng điện bù:
11
1 1
... ; ...
k
bu
nh bu
n bu
xn xk
I I
I I
I I
.tnh buI B I
 trong đó:
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
27
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VI.2. Ma trận bù - nhánh B.
 Chú ý: Từ ma trận B ta cũng có thể vẽ lại được graph đã cho.
Ví dụ:
1 1 0 0 0
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
B
Số nhánh: 5 (1, 2, 3, 4, 5).
Số bù cành: 3 (4, 5, 6)
Số cành: 5 – 3 = 2 Số đỉnh: 3
bù cànhcành
1 0 1 0 0 3
1 1 0 1 0 4
1 1 0 0 1 5
 1 2 3 4 5
III
II
I
2
1
3
4
5
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
28
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế độ
xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
I. Phương pháp dòng nhánh.
II. Phương pháp thế nút.
III. Phương pháp dòng vòng.
IV. Khái niệm về graph Kirchhoff.
V. Các định lý về lập phương trình Kirchhoff.
VI. Ma trận cấu trúc A, B.
VII. Lập phương trình bằng ma trận cấu trúc.
VII.1. Luật Ohm theo nghĩa rộng.
VII.2. Lập phương trình.
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
29
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VII.1. Luật Ohm theo nghĩa rộng.
 Nhánh không nguồn:
1
nh. Z
.
nhnh nh nh
nh nhnh
U Z I Y
I Y U
Znh
nhU
nhI
 U .nh nh nhnh Z nh nhU U E I Z E
Znh
ZU
nhE
nhI
nhU
 Nhánh có nguồn áp:
 .( )
nhnh
nh nh nhnhnh
nh
U E
I I Y U E
Z
 Nhánh có nguồn dòng:
ZnhnhI
nhJ
ZI
nhU
.
( )
nh nh nhnh
Z nh nh Znh nh
nhnh nhnh
I Y U J
I I J I I J
U Z I J
ZnhnhI
nhJ
nhE
ZI
nhU
 Nhánh có nguồn dòng - nguồn áp:
 ( ).nh nh nhnh Z nh nh nhU U E U I J Z E
 .( )nh nhnh nhnhI Y U E J
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
30
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VII.2. Lập phương trình.
a. Ma trận thông số.
 Ma trận tổng trở nhánh:
11 1
1
...
... ...
...
n
nh kk
n nn nxn
Z Z
Z Z
Z Z
Zkk: Tổng trở nhánh k
Zkl: Tổng trở tương hỗ nhánh k và nhánh l
 Ma trận nguồn áp nhánh:
1
1
...nh
n
xn
E
E
E
: là giá trị nguồn áp nhánh iiE
 Ma trận nguồn dòng nhánh:
1
1
...nh
n
xn
J
J
J
: là giá trị nguồn dòng nhánh iiJ
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
31
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở chế
độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VII.2. Lập phương trình.
b. Lập phương trình với ma trận A.
. 0nhA I
 Xuất phát từ phương trình:
.( )nh nhnh nhnhI Y U E J
 Mặt khác, ta có:
. . . . . 0
 . . . .( . )
nhnh nhnh nh
t
nhnhnutnh nh
AY U AY E A J
AY A A J Y E 
Suy ra:
. . .
.( . )
t
nut nh
nhnut nh nh
Y AY A
J A J Y E
Đặt:
. 
nut
nut nut nutnut
nut
J
J Y
Y
 Mà:
.
.( )
t
nh nut
nh nhnh nhnh
U A
I Y U E J
Như vậy ta tính được:
Trình tự tính toán bằng Matlab:
 Vào số liệu: , , , .nh nhnhA Z E J
 Tính các ma trận:
( )nh nhY inv Z . .
t
nut nhY AY A 
.( . )nhnut nh nhJ A J Y E
\nutnut nutJ Y 
 Kết quả:
.
.( )
t
nh nut
nh nhnh nhnh
U A
I Y U E J
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
32
Chương 3: Phương pháp cơ bản tính mạch tuyến tính ở 
chế độ xác lập điều hòa - Graph Kirchhoff
VII.2. Lập phương trình.
b. Lập phương trình với ma trận B.
. 0nhB U
 Xuất phát từ phương trình:
( ).nh nhnh nh nhU I J Z E
 Mặt khác, ta có:
. . . . . 0
 B. . . .( . )
nh nhnhnh nh
t
bu nh nhnh nh
B Z I B Z J B E
Z B I B E Z J
Suy ra:
. 
vong
bu vong buvong
vong
E
Z I E I
Z
 Vậy ta có:
.
.( )
t
nh bu
nh nhnh nhnh
I B I
U Z I J E
Như vậy ta tính được:
Trình tự tính toán bằng Matlab:
 Vào số liệu: , , , .nh nhnhB Z E J
 Tính các ma trận:
. . tvong nhZ B Z B 
.( . )vong nh nhnhE B E Z J
\bu vong vongI E Z
 Kết quả:
.
.( )
t
nh bu
nh nhnh nhnh
I B I
U Z I J E
. . .
.( . )
t
vong nh
vong nh nhnh
Z B Z B
E B E Z J
Đặt: