Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ

Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
Biến đổi năng lượng 
điện cơ
-Phân tích Hệ thống điện cơ
dùng phương pháp năng lượng
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Các yếu tố trong hệ thống cơ khí: khối lượng (động năng), lò xo (thế năng), và 
bộ giảm xóc (tắt dần). Định luật Newton được dùng cho các phương trình 
chuyển động.
 Xét một khối lượng M = W/g được treo bởi một lò xo có độ cứng K. Tại điều 
kiện cân bằng tĩnh, trọng lực W = Mg bằng với lực lò xo Kl, trong đó l là độ giãn 
của lò xo gây bởi trọng lượng W.
 Nếu vị trí cân bằng được chọn làm gốc, chỉ có lực gây dịch chuyển được xem 
xét. Xét sơ đồ như hình Fig. 4.35(c).
 Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x bằng tổng đại số của 
tất cả các lực tác động lên vật thể theo chiều dương của x.
Hệ thống lò xo
KxxM  0 KxxM hay
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Nếu vị trí ban đầu được chọn làm gốc (Fig. 4.36), vậy
Hệ thống lò xo với yếu tố tổn hao
MgKyyM  MgKyyM 
KlMg 
 0 lyKyM 
 Chú ý
 Xét vật thể M được đặt trên một lò xo (Fig. 4.37), và một bộ giảm xóc. f(t) là 
lực tác động. x được đo từ vị trí cân bằng tĩnh. Một bộ giảm xóc lí tưởng có lực 
tỉ lệ với vận tốc giữa 2 điểm, kí hiệu như trên hình Fig. 4.38.
M
x
fK1 fB1f(t)
fK2
dt
dx
BxKxKtf
ffftfxM BKK
21
21

Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Viết các phương trình cơ học cho hệ thống trong hình Fig. 4.40.
M1
x1
K2x
11B x x2B
K1x1
f1(t)
23B x
M1
x2
K3x2
x2B
K2x
f2(t)
 Đặt x2 – x1 = x
 1111122122111 xKxBxxBxxKtfxM 
 2323122122222 xKxBxxKxxBtfxM 
Ví dụ 4.17
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
Động học của hệ thống được mô tả qua việc viết các phương trình điện học và 
cơ học. Những phương trình này được kết hợp với nhau cho ra một tập hợp các 
phuơng trình vi phân bậc nhất dùng để phân tích. Đây được coi là mô hình trạng 
thái của hệ thống.
 VDụ. 4.19: Cho hệ thống như hình Fig. 4.43, viết các phương trình điện học 
và cơ học của chuyển động dưới dạng phương trình trạng thái. Từ thông móc 
vòng như VD. 4.8,
 xR
iN
xRR
iN
gc
22
 
 xR
iN
Wm
2
22
' 
 Về mặt điện học,
 dt
dx
AxR
iN
dt
di
xR
N
iRvs
0
2
22 2

Mô hình trạng thái
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Về phía cơ,
 xAR
iN
f
dt
dx
BlxK
dt
xd
M e
2
0
22
2
2

Trong đó l > 0 là vị trí cân bằng tĩnh của phần chuyển động. Nếu vị trí của phần 
chuyển động được xác định từ điểm cân bằng thì các phương trình cơ học có 
biến (x – l). Quan hệ ở trên có được với điều kiện sau,
0
2
2
dt
lxd
dt
lxd
 Mô hình trạng thái của hệ thống là tập hợp 3 phương trình vi phân bậc nhất. 
Ba biến trạng thái là x, dx/dt (hay v), và i.
Mô hình trạng thái (tt)
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Ba phương trình bậc nhất có được bằng việc lấy vi phân x, v, và i, được biểu 
diễn dưới dạng đạo hàm
v
dt
dx
 BvlxK
xAR
iN
Mdt
dv
2
0
221

 svv
AxR
iN
iR
xLdt
di
0
2
2 21

Trong đó
 xR
N
xL
2
 32111 ,, xxxfx 
 32122 ,, xxxfx 
 uxxxfx ,,, 32133 
Mô hình trạng thái (tt)
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Xét phương trình . Nếu ngõ vào u là hằng số, thì bằng 
việc đặt , ta nhận được các phương trình đại số 
. Phương trình này có thể có nhiều nghiệm được gọi là các điểm cân 
bằng tĩnh.
 Trong các hệ thống ít biến, có thể giải bằng hình học. Nếu hệ thống 
nhiều biến, cần dùng các kĩ năng số học để tìm nghiệm.
 Với VDụ. 4.19, đặt các đạo hàm bằng 0, ta được
 uxfx , 
0 x uxf ˆ,0 
0 ev Rvi s
e 
 xif
xAR
iN
lxK ee
e
,
2
0
22

xe có thể tìm được bằng hình học, bằng cách tìm điểm giao nhau của 
–K(x – l) và fe(ie, x).
Điểm cân bằng
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Hai phương pháp: ẩn và hiện. Phương pháp Euler là phương pháp hiện, dễ 
dàng thiết lập hơn cho các hệ thống nhỏ. Với các hệ thống lớn, phương pháp ẩn 
tốt hơn cho sự ổn định số học.
 Xét phương trình
Trong đó x, f, và u là các vector.
 Thời gian tích phân sẽ được chia thành các bước đều nhau t (Fig. 4.45). 
Trong một bước từ tn tới tn+1, hàm lấy tích phân được giả sử là hằng số tại giá trị 
tương ứng với thời điểm tn. Vì vậy,
 uxfx ,  00 xx 
11
,
n
n
n
n
t
t
t
t
dtuxfdttx
  nnnnnnnn tutxfttutxftttxtx ,,11 
Phép tích phân số
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Tính x(t) tại t = 0.1, 0.2, và 0.3 seconds.
 22 xtx  10 x
  nnnn txftxx ,1 
 Chọn t = 0.1 s. Công thức tổng quát để tính x(n+1) là
,...2,1,0 n
 10 x Tại t0
Tại t1 = 0.1 s
 2120, 200 txf
   8.021.01, 0001 txftxx
 8.01 x 344.18.021.0, 211 txf
   6656.0344.11.08.0, 1112 txftxx
 tương tự, 5681.03 x
 4939.04 x
Ví dụ 4.21
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Tìm i(t) bằng phương pháp Euler. R = (1 + 3i2) W, L = 1 H, và v(t) = 10t V.
 tviR
dt
di
L tvii
dt
di
 231 00 i
 Đặt i = x, và v(t) = u
 tuxftuxx
dt
dx
,,31 2 000 xx 
 nnnnn tuxtfxx ,,1 ,...2,1,0 n
 00 x 00 u 0,, 000 tuxf 01 x 
 01 x 25.01 u 25.025.0001,, 2111 tuxf
 00625.025.0025.012 xx 
Ví dụ 4.22
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Mô hình động học của hệ thống điện học được mô tả bằng các phương trình vi 
phân. Sự ổn định của hệ thống phi tuyến rất được quan tâm. Một vài công cụ để phân 
tích sự ổn định sẽ được giới thiệu.
 Nghiệm thời gian của hệ thống động nhận được bằng việc lấy tích phân và các 
điểm cân bằng được tính bằng hình học. Với các hệ thống bậc cao, các kĩ thuật số 
học được dùng để tìm các điểm cân bằng.
 Việc biết các điểm cân bằng tĩnh ổn định hay không là cần thiết. Nếu trạng thái x
hay ngõ vào u có nhiều nhiễu, thì cần phải mô phỏng trong miền thời gian. Nếu xung 
quanh các điểm cân bằng có các nhiễu loạn nhỏ, thì chỉ cần dùng phép phân tích 
tuyến tính để xác định điểm cân bằng ổn định hay không. Đôi khi, các hàm năng 
lượng có thể được dùng để đánh giá sự ổn định của hệ thống trong trường hợp nhiều 
nhiễu, mà không cần phải mô phỏng trong miền thời gian.
Ổn định của hệ thống điện cơ – Giới thiệu
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Điểm cân bằng đại diện cho trạng thái xác lập hiện tại của hệ thống, ví dụ xét 
một hệ thống điện. Hệ thống vật lý có thể tùy thuộc vào nhiễu loạn nhỏ (vdụ 
những thay đổi của tải), mà dẫn tới các dao động và thậm chí mất điện, hay các 
nhiễu loạn lớn (vdụ làm hỏng hay phóng điện).
 Trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là
 uxfx , 
 Mở rộng f(x, u) thành chuỗi Taylor quanh điểm cân bằng xe và ngõ vào hằng số
, uˆ
 u
u
f
x
x
f
uxfuu
u
f
xx
x
f
uxfuxf eee 








0000
ˆ,ˆˆ,,
hay
 u
u
f
x
x
f
uxfuxfx e 




00
ˆ,,
Tuyến tính hóa
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Cho , , và . Tuyến tính hóa hệ 
thống quanh điểm cân bằng ta được
 uxxfx ,, 2111 
 uxxfx ,, 2122 
exxx 111 
exxx 222 uuu ˆ 
u
u
f
u
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x












0
2
0
1
2
1
02
2
01
2
02
1
01
1
2
1


A
 Các định trị của A nhận được bằng việc giải phương trình det(A – I) = 0. Hệ 
thống ổn định nếu tất cả định trị nằm ở mặt phẳng bên trái ( phần thực < 0).
Tuyến tính hóa hệ thống bậc 2
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
xx
x
xf
M
x
dt
d
M
B
dt
xd


 2
0
0
2
2 1

 Xét mô hình của một hệ thống bậc 2
 uxf
dt
dx
B
dt
xd
M ,
2
2
Có dạng tuyến tính
 Đặt và , dạng phương trình trạng thái là
1xx 2xx 
2
1
2
02
1 10
x
x
MBx
x


 Phương trình đặc tính,
0
1
2
0


MB
020
2 
M
B
Sự ổn định của hệ thống bậc 2
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Trường hợp I (B > 0, M > 0, )020 
2
02
2
4
 
M
B 2
02
2
4
 
M
B 2
02
2
4
 
M
B
 Cả 3 trường hợp hệ thống đều ổn định.
 Trường hợp II (B > 0, M > 0, )
 Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ thống không ổn định nếu , hoặc 
cận ổn định nếu .
 VDụ. 5.1.
020 
 Các nghiệm của phương trình đặc tính
2
02
2
21
42
,  
M
B
M
B
020 
020 
Sự ổn định của hệ thống bậc 2 (tt)
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Khi có các nhiễu lớn, việc phân tích sự ổn định của các hệ thống phi tuyến có 
thể cần các kĩ thuật số học phức tạp. Trong nhiều trường hợp, thông tin có ích có 
thể nhận được bằng cách trực tiếp, để tránh phép tích phân. Kĩ thuật này dựa 
trên các hàm năng lượng, và được biết dưới tên gọi là phương pháp Lyapunov. 
Có thể nhận được các nghiệm tốt với các hệ thống bảo toàn.
 Trong hệ thống bảo toàn, tổng năng lượng được giữ không đổi, điều này được 
dùng trong việc phân tích sự ổn định của hệ thống. Xén một con lắc như hình Fig. 
5.2, bao gồm 1 vật thể khối lượng M được nối với một trục quay (không có ma 
sát) qua một thanh cứng.
 Cho V() = 0 tại  = 0, tại mọi vị trí , thế năng được tính bằng
  cos1 MglV
Các phương pháp hàm năng lượng cho hệ thống 
phi tuyến
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Không có lực nào ngoài trọng lực, và hệ thống được bảo tòan, nên
  sin
2
2
lMg
dt
d
J 
 Vế phải biểu diễn dưới dạng đạo hàm âm của hàm vô hướng thế năng. Khi đó,
   









V
MglMgl cos1sin




V
dt
d
J
2
2
Dẫn tới
 Các điểm cân bằng là nghiệm của
 0sin 


 


Mgl
V
 Trong khoảng – tới + , 0 ,  e
Các hệ thống bảo toàn
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Xét
0
2
2



 V
dt
d
J
 Nhân với d/dt ta được
 EVdt
d
J 
energy Potential
energy Kinetic
2
2
1



0
2
2


dt
dV
dt
d
dt
d
J



 Tích phân theo t, ta được
 Phân tích ổn định có thể thực hiện cho 3 trường hợp khác nhau (xem sách)
Năng lượng
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Xét hệ thống dưới, giả sử cả hệ thống điện và cơ đều không chứa các yếu tố 
gây tổn hao.
Mech.
system
Electro-
mechanical
coupling
Te or fe
 or x
+
_
+
_
+
_
I2
I1
1
2
 Nếu  hoặc i tại mỗi cổng được giữ 
không đổi, một sự di động không đổi 
có thể xảy ra ở hệ thống điện cơ. 
Không có năng lượng hay đồng năng 
lượng chảy vào cổng điện. Ở phía hệ 
thống cơ, không có các yếu tố gây 
tổn hao
 Thế năng tổng quát:
  ,, 21
' IIWUV m 
  ,, 21  mWUV
(hằng số i1 và i2)
(hằng số 1 và 2)




U
T m (lực cơ)
Hàm năng lượng trong hệ thống điện cơ
Biến đổi năng lượng điện cơ Bộ môn Thiết bị điện
 Phương trình moment
0
2
2



 V
dt
d
J
 Các điểm cân bằng nhận được bằng cách giải
0 



V
 Tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng e ta được
0
2
2
2
2





 e
V
dt
d
J
 e ổn định nếu , e không ổn định nếu
0
2
2


 e
V


 
0
2
2


 e
V



 VDụ 5.3 và 5.4
Quan hệ giữa ổn định tuyến tính và thế năng